Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 19

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 19 Теория вероятностей и математическая статистика (2653): Книга - 3 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 19 - страница

1о4 а)' Найти распределение вектора ($2 — $>, ььз — $>) б) Найти плотность р(х>, хз) распределения вектора '(в<2> — ь«>, $<з> — ь<»). в) Найти распределение случайной величины (в<2> — и<»)/(ь<з> — ь<»). 3.271. Случайные величины $>, вз, ьз и 1<» -= ь<2> «ь<з> те же, что в задаче 3.270.

а) Найти распределение вектора Цз — $>, ьз — ьз). б) Найти плотность р(х>, хз) распределения вектора (5<2> — $«» $<з> — 1<2>) в) Найти распределение случайной величины =(5<2> — $<»)/Д<з> — $<2>) 3.272. Случайные величины $>, $2, Ь независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Положим если ЕД2 = О, ! ь ) зяп (ВДз), если ьДз ~ О, где здп(х) = х/>х~ при х чь О. а) Найти вектор математических ожиданий и матрицу ковариаций вектора Ц>, зз, ьз). б) Найти распределение $2 и совместные распределе- ния векторов Ц>, ьз) и Цз, сз). в) Найти плотность р(х<,хз,хз) распределения вектора Ць ~2, фз).

Является ли оно нормальным) 3.273. Исполйзуя предыдущую задачу; построить при- мер случайного вектора (3>, ььз, ..., $ ), распределение которого не является нормальным, но любые п — 1 его координат взаимно независимы и име>от пор>лальпое рас- пределение с математическим ожиданием 0 и диспер- сией 1. 3.274'. Случайный вектор $ =($>, ..., $2) ил<ест сфе- рически симметричное нормальное распределение с нуле- вым вектором математических ожиданий и единичной ко- вариациовной матрицей. Найти распределение вектора 3А, где А — действительная матрица с й строками и т столбцами. 3.275. Случайная величина $ =(3>, ..., С„)', имеющая нормальное распределение в <><" с нулевым математиче- ским ожиданием и невырождевпой матрицей ковариаций А = »ао1, не зависит от случайной действительной вели- чины Ч, имеющей функцию распределения г'(х), М>4~ = 1.

Найти мателсатичсское ожидание и матрицу ковариа- ций случайной величины сД =(>)о<, ..., ЧЬ ). 3.276, Случайные величины $>, $2...., $, <) незавп- симы и имеют стандартное нормальное распределение. 105 Найти распрелелевие вектора Ь = ($, (/ 1 — а," + цап Ьэ (7 1 — а', + ца„... , $„(~ 1 — а„+ ца„),. где ссь аи ..., а„— числа из отрезка (О, Ц. 3.277.

Случайные величины йн эи ..., $„. независимы; ~< имеет нормальное распределение с параметрами (О, о',), 1 = 1, 2, ..., и. Найти распределение вектора Ч =йн Ь+ Ь Ь+ Ь+ Ь ", Ь+ Ь+."+ 5.). 3.278. Случайвые величины $ь $и ... независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, 1). Найти мпнимальвое значение к, при котором Р (шах (1 Ц~ 1, 1521, ..., 1~э 1) ) 2) ) г 3.279.

Случайный вектор $ =Дь ..., $,) имеет й-мервое иормальвое распределевве с математическим ожиданием а ы В' и ковариациоввой матрицей А. Что больше: 1п 1М$~... ф,1, М 1в 1$~... $,1 или 1и М1Ь... $„17 3.280. Случайный вектор $ =(~ь $з) ю В' имеет двумерное нормальное распределение с нулевым вектором математических оя<идавий и ковариапиоявой матрипей с ы ы !.Найти условное распределевие ~~ при уело~э г оы вии вт=х. 3.281. Распределение случайного вектора $ ($н $э)ю юЛт таково, что при любом хе( — сч, ч) условное распределение $~ при условии $з =х и условное распределение $з при условии $~ х нормальны. Являетсв ли вормальвыч распределевие вектора $7 Глава 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

ПРОИЗВОДЯЩИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В курсе математического анализа рассматриваются различвые виды сходимости последовательвостей функций: равномерная сходимость, сходимость почти всюду, сходимость в средпем квадратичвом и т. и. По аяалогвч с этим и в теории вероятностей рассматриваются раз- 106 личные виды сходимости последовательвостей случайных величин (как функций, заданных ва пространстве элемевтарвых событий), а также последовательностей функций распределевия.

Приведем определевия тех видов сходимости последовательвостей случайнЫх величин, которые используются аваи . гяие:.ву" г * и ° т )( стве (И,,Ф, Р) заданы случайные величивы $„Г, (е7) (ю ш И, и 1, 2, ...) и случайная величина $ = $(ю), ю Я И. Последовательность $н $м ...

сходится к случайной величине $ с вероятностью 1 (почти наверное), если ~740"'~)'( Р(е7 си И; 1пп $ (ю) = $(о))) = 1. Последовательность $н вы ... сходится' к слуочайвой7.улхл( величике $ но вероятности, если для любого е ) О и, Г Нш Р (1 $„— $ ) ) е) = О. , Г7 ЬУ-~%В'йи:с'т7: Последовательность ьь $м ... сходится к случайной величине $ в среднем квадратичном, если . р')Р 1пв М1в„— $1' = О.

~( ~ "~г)-. ~ . и-~ .. -;.,~, ' ~сг~ ур~;Т,'7 Последовательвость функций распределевия Р„(х) Р($„( х), я = 1, 2, ..., слабо сходится к функции распределеиия г"(х) Р(э~х), если для любой точки х, где р'(х) непрерывна, выполвяется соотвошевие 1пп Р„(х) =- г (х) с''6~Юв ~' ~ 7 н а ./ (в атом случае говорят такя~е, что последовательность случайпых величие $н $м ... сходится к $ ко расиредеч лению; при этом $, $~, $7, ... могут быть заданы ва различных вероятностных пространствах).

Все эти определевия естествеввым образом распростравяются и ва случайные величины $в $ю ... и принимающие векторпые значения. Понятие сходвмоств по в е р о я т в о с т и чаще всего используется, когда предельвая случайвая величина $ имеет вырождепяое распределение (Р($ = а) = 1 для некоторого числа а) и ~, +(,+" +(„ эл = в х 107 где ьь ьт, ...— случайные величины (не обязательно независимые нли одинаково распределенные): если 1(шР1~ ' ~'и — а~ е(=0 для любого е) О, (4.1) то говорят, что последовательность Ьт, Ьм .., удовлетворяет закону больших чисел.

Из тьеравепсгва Чебышева Р (( 5 — М5 ! йиь е) ( — ' нетрудно вывести, что если случайные величины пе коррелирозаны, Мь„= а, Сть„= от «(и = 1, 2, ...), то (4.1) выполняется; однако закону больптих чисел удовлетворяют и другие последовательности случайных величин (см. задачи $1). Если вместо (4.1) выполнено соотношение (т (вт) + ... + ', (вт) Р )те: 1пп ' = а~ = 1ь (4,2) п и '.,+" +4„ т. о. последовательность сходится к числу а с в е р о я т н о с т ь ю 1, то говорят, что последовательность ~ь Ьг, ... удовлетворяет усиленному закону больших чисел. Соотноптение (4.2), выполняется, например, если случайные величины ьь ьт, ...

не коррелированы, Мь,=а, (ть ог«(п.=1, 2, ...), см. задачи 4.22 — 4.24. Пример сходимости по р а с яр ел ел е н и ю дает Центральная предельная теорема. Ясли (ь ьт, ...— нввависимььв одинаково распредвлвнныв 'случайные величины, Мь„=-а, Оь,=от«(п 1, 2, ...), то для любого х, — «х « ((, ш ... + ~„ иа 1!тР ' ' '" (хь == ) в итьгь(и- Ф(х). и и о тити / 1ьь2я Сходимость распределений центрированных и нормированных сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению имеет место и при других предполонтениях о случайных слагаемых (см. задачу 4Л34 н другие задачи из $5).

Друтвм важным примером сходнмости по распределению являются теоремы о сходимости к распределению Пуассона (см. аадачи 4Л05 н 4.113). 103 Практическое значение предельных теорем состоит в том, что они позволяют аппроксимировать распроделе~тттн допредельных случайных величин 5 (при достаточно болыпих и) распределением предельной случайной величины 5; это особенно полезно в тех случаях, когда аналитическая запись функции распределения $ проще выражения для функции распределения 5 . Следует иметь в виду, однако, что вопрос о том, достаточно лн велико и для того, чтобы обеспечить нужную точность приблиятевия, в каждом случае требует особого исследования; см., например, задачи 2.61, 2.62, а также 4.107, 4Л23, 4Л24.

Доказательства предельных теорем могут использовать как прямые веровтностные методы (изучение распределений допредельных случайных величин или нх моментов, см. задачи из 4 2), так и аналитические методы, основанные на использовании свойств производящих или характеристических функций распределений допредельных случайных величин (см. задачи из 4 5). Если случайная величина а принимает только целые неотрицательные значения, то производятцей функцией распределения 5 называется функция комплексного переменного г тРт (г) = Мгь =- ~~~ гьР ($ = )т)ь ( г ) (1; ь-в производящую функцию можно рассматривать и в случае, когда 5 принимает и отрицательные значения, если область сходимости ряда в правой части последнего равенства отлична от окружности !г! = 1. Если случайная величина $ принимает действительные значения, то характеристической функцией распределения 5 называется функция действительного переменного 2 ~т(т)- Мент, и «т « ...

в частности, если распределение $ абсолютно непрерывно и имеет плотность рт(х), то ьи ~1 (1) = ) втт"рт (х) Нх, Перечислим важнейшие свойства производящих и характеристических функций. 1. Если Р((г( «' ) =1, то функции тт(~)=Мвтп и трт (г) = Мг' непрерывны и тт (О) = тут (1) = 1. 2. если м ~ 5 Р ( О для некоторого целого л ~ 1, то — )д (1) - 1'мг, — »рд (г) ' = мЬ» ' О (по поводу обращения этих утверждений см. задачи 4.67, 4.95, 4,96). 3. Еслк случайные величины $», $1, ..., 5.

независимы, то 1;,„,„.,„(1) — 11 (1) ...1,„(1), Ч'д,+...+д (г) = цг,(г) "тг„(г) (обратпое утверждение неверно, см. задачу 4 157)'. 4. Если проиаводящие (илк характеристические) функции распределений случайных величин 5» и 51 совпадают, то совпадают и функции распределения 51 и 51. 5. (Теорема в~епрерывности.) Последовательность Р„(х) = РЦ„< х) (п 1, 2, ...) функций распределения слабо сходится к функции распределения Р(х) Р(г<х) тогда в только тогда, когда существует непрерывная функция ) (1) — Пш 1. (1), где )„(1) Мв"дв. В этом случае )(1) Ме»", и сходимость 1„(1)- 1(1) равномерна на каждом конечном интервале значений й 6. (»)1ормулы обращения) Если функция ((1) = Меа' абсолютно ивтегрируема, то распределение случайной величины $ имеет ограниченную непрерывную плотность р(х) и р (х) ~ в-»».~ (1)»(1.

Г Если х и х+й — точки непрерывности функции распределения Р(х) Р($ ОЯ х), то ОО г (г + Л) — Р (г) 1 . ( 1 1) 1 л — Ипд ) 7(1) е-' ' ' в-»»ва»х. ' '-ОО Проиаводящие и характеристические функции вектор. ных случайных величин $ ($1, ..., 51)жВО определяют- 11О ся формулами )1(11...,, гд) = М ехр(1(1»г»+ ... + гдьд)), »рд(г„..., гд) = М г, ... гд . Их свойства аналогичны свойствам производящих и характеристических функций одномерных случайных величин. Например, если М(Ц) '... )Ьд) (оо для целых т»..гд)0 то д" 1+ "+'Д „11 (11, °, 'д) — 1"'+"""м$ '... $~,", В») (Од) »рд (г„..., гд) — М$1 ' ...

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее