Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)

А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 6

DJVU-файл А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 6 Теория вероятностей и математическая статистика (2652): Книга - 3 семестрА.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы): Теория вероятност2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 6 - страница

Событие А»м,Ф называется атомом, если Р(А) ) О и для любого В»= А либо Р(В) = О, либо Р(В) = = Р(А). Вероятностное пространство называется нватомическим, если опо яе имеет атомов; если же П представимо в виде объедипекия непересекающихся атомов, вероятяостиое пространство называется атомичввким. Пусть (П, М) — некоторое измеримое пространство.

Вещественная функция 1 = 1(ю), определенная ка (В, лб), иазываегся ивмвримой откосителько о-алгебры хб или хб-или»риной, если прообраз любого борелевского множества прииадлежит лб: 1 '(В) = (о» щ О, ](ы)»п В)»м Ф, В»п Я. Гели ((), лб] есть измеримое простракство (б»п, Яи 1, где (кп евклидова про»»у стракство п измерений, а Як — борелевская о-алгебра, то любая Яп - изме- и и римая функция ](х), х ~ »'», называется борвлевской.

Рассмотрим вероятностное пространство (В, Ф, Р). Случайной в»личиной ка (И, хб, Р) называется любая вещественная функция $ = С(ы), измеримая относительно лб. Случайным вектором со зпачекиями в (Ыи, Яп ] (п-мериой случайной величиной) иааывается любая лб-измеримая функция з (ы) = (з»(ы), ..., $»(ы)) со значениями в Ип. 24 мвримыми или лр-измеримыми множествами.

Пусть П = Я есть воществонпая прямая и пусть д' — класс всех непересекающихся интервалов вида (а, ь]. Обозиачим через Я Яи= Я (Я) о-алгебру, порождеппу»о классом ь'. Эта и-алгебра кодмножеств прямой называется борвлввской п-алгвброй, а ее элемеяты борвлввскими множвствами. Аналогично определяется борелевская о алгебра и бореловскис мвожсства в евклидооом пространство п измерений. Веролтностным прострапвтвом называется тройка ((), Я, Р), где П вЂ” не- пустое множество, .Ф вЂ” о-алгебра подмножеств Сд Р— вещественная фупкция, определеппая иа Ф и удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) Р(А) ) О для любого А»м .Ф; 2) Р((]) = 1; 3) если Аи Аз, ... »п.Ф и А» (] А» Я при ! Ф у, то Вещественная фувкция Е(в) является случайной величиной, если для любого веществевяого х (с: х) = (в щ й ) С(в) ( х) )ы.4.

о-алгеброй, корожденкой случайной величиной Е, иазывается а-алгеора, порождевлая классом всех событий вида (в щ П: Е (в) )и В), где В пробегает множество всех борелевских множеств прямой. Эта о-алгебра совпалает с о-алгеброй, порожденной событиями вида (в )и й ) Е (в) ( х), где х — произвольное вещественное чпсло. Пусть А — сооытие. Индикатором А называется случайная величияа ~1 при вщА, 1 =1 (в)= (О при в~А. Случайная величииа $ нааывается простой, если ока представима в виде л1лл )1А) ( (1) где события А), ..., А образуют разбиевие П, а хи ..., т — веществсивые числа.

Математическим ожиданием ЕЕ простой случвйкой величины (1) называется величина ЕЕ= у; х,.р(А)). г=т Математическим ожидкнием неотрицательной с.гучайной величикы $ называется ковечкый или бескоиечвый предел ее=Вше„, где сь Ег, ...— мояотоино неубывающая последовательность простых случайпых величин, при каждом о) сходящаяся к $; Еь(в) — ь $(в) при к-ь со, Пусть ьь — яроиавольяая случайная величипа. Положим Еь = Е'1()ма) Ь = )Е) '1ы в Очевидно, $ = $+ — $ .

Митемотическим ожиданием случайной величины $ называется всличипа ЕС = ЕЕ+ — Ее в том случае, когда ЕЕ" и Е;" ве равны оо одповремекпв Если ЕЕ+ = ЕЕ- = = го, то говорлт, что математическое ожидание случайной величивы $ ке существует. (Иногда говорят, что математическое ожидание ке существует и в том случае, когда оно бескояечво.) Математическое ожидание случайвой величины $ есть ие что иное, как пптеграл Лебега от функции $(в) по мере Р; Е$ = ~ $(в) АР. Приведем оснозиые свойства математического ожидания.

Предполагается, что все ваписаияые математические ожидания существуют. Е$ ( Е)), если Е ~ )). 25 2. Ес = с для любого дейотвительного с. 3. Е(ай+ Ьи) ада+ ЬЕц дли любых вещественных а и Ь. 4. (Е$( ( Еф. 5. (теорема о монотонной сходимости). Если Еь фт, ...— неубывающая последовательность неотрицательных случайных величин, сходящаяся нрн каткдом ы к случайной величине 2, то 1пв Е$а = Е$. 6 (теорема Ледега о маэсорируемой сходимости). Если прн каждом ю Ев-т 2 при н -+ оо и ( Ц < ть где Ец < со, .го 11щ Е$ = ЕЕ.

7. Если сходится ряд Е ~~" С = ~ Езн. Одним ив основных и наиболее важных понятий теории вероятностей является понятие независимости. Два события А и В называются независимыми, если Р(А () В) = Р(А)Р(В). События, не явлнгощиеся независимыми, называются зависимыми. События Аь ..., А„, и ~ 2, называются еэаимно нееависииыми, если для любого набора мндексов 1 =' й ( й ( ... ( б ( и выполнено равенство Р(А;, П ..* Й А;„) = Р(А;,)...Р(А;„).

Взаимно независимые события иногда называют независимымв в совокупности или независимыми. Из независимости следует непарная независимость каждой пары событий, обратное, вообще говоря, неверно. События, составляющие бесконечное множество Я, называютсн взаимно независимыми, если нри каждом н любые п из этих событий взаимно независимы. Пусть Яь Ят, ... — некоторые классы событий. Классы Яь Ят, ... назызатотся нееависимыми, если лтобые собьпия Вь Вэ, ..., такие, что Вэ вн Яэ„ 1т = 1, 2, ..., являются независимыми. В соответствии с этим определением мы будем говорить о независимости ачгебр, о-алгебр, полуалгебр, разбиений и т.

д. Случайные величины $н $т, ... называются неэависимьсми, если независимы порожденные ими о-алгебры. Случайные величины, не являющиеся независимыми, называтотся зависимыми ф 1. Вероятностное пространство 2А. Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб но выпадет два раза подряд. Построить вероятностное пространство. Найти вероятность того, что число подбрасываний не превосходит 5.

2.2. Правильнан монета подбрасывается до тех пор, пока опа два раза подряд не выпадет одной стороной. Построить вероятно- 26 стное пространство. 11айти вероятность того, что число подбрасываний будет четным. 2.3, Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб не появится г раз. Построить вероятностное пространство. Сколько элементарных событий будет содержать событие (эксперимент заканчивается после и-го подбрасывания)? 2А. На отрезке [О, 1] случайным образом выбирается точка, Пусть событие А„означает, что точка выбрана из полуинтервала ! и О, — ),событие „— что точка выбрана из интервала[0, — !.Что ' а+1/' л/' М означают события () А„и () В„? И=$ и=1 2.5. Доказать, что каждая алгебра является полуалгеброй. 2.6.

Привести пример полуалгебры, не являющейся алгеброй. 2.7. Привести пример алгебры, не являющейся н-алгеброй. 2.8. Пусть Й = (О, 1, 2). Привести примеры н-алгебр, содержащих множества А = (О, 1) и В = (1, 2). 2.9. Описать а-алгебру подмножеств отрезка [О, 1], порожденную множествами: а) [О, 2/3], [1/3, 1]; б) [О, 1/2], [1/2, 1]; в) (О), (1); г) [1/3, 1/2]; д) О; е) [О, 1]; ж) множество всех рациональных точек отрезка [О, 1]. 2.10. Пусть Й вЂ” несчетное множество. Описать о-алгебру, порожденную: а) всеми одноточечными подмножествами Й; б) всеми счетными подмножествами Й; в) всеми несчетными подмножествами Й; г) всеми бесконечными подмножествами Й.

2Л1. Доказать, что всякая конечная а-алгебра подмножоств пространства Й порождается некоторым конечным разбиением Й. 2Л2, Пусть Я, и Я, — две о-алгебры подмножеств пространства Й. Являются ли о-алгебрами классы мнон<еств: а) Я, 0 Я;, б) Я, 0 Я;, в) Я,ЧЯ,; г) Я,/~Я,? 2ЛЗ. Пусть А„А„...— последовательность непересекающихся подмножеств пространства Й. Определить мощность о-алгебры, порожденной этой последовательностью.

2Л4. Доказать, что если .Фо Фн ...— неубывающая последовательность а-алгебр, то л1 = Ц Ф вЂ” алгебра. Я=1 2Л5. Может ли число всех событий какого-либо вероятностного пространства быть равным 129; 130; 128? 2Л6. Пусть М вЂ” а-алгебра подмножеств пространства Й. Доказать, что если,Ф бесконечно, то существует счетная последовательность непустых непересекающихся элементов Ф. 2.17. Докааать, что для любого пространства Й никакая а-алгебра его подмножеств не может иметь счетную мощность.

2.18. Может ли число элементарных событий быть строго больше, чем число всех событий? 27 2.!9. Меняет ли бытзк а) число элементарных событий конечно, а число событий бесконечно; б) число событий конечно, а число элементарных событий бесконечно? 2.20. Число элементарных событий некоторого вероятностного пространства равно п. Указать минимальное и максимальное воз- можные значении для числа событий.

2.21. Описать п-алгебру, порожденную: а) событиями нулевой вероятности; б) событиями вероятности единица, 2.22. Образует ли о-алгебру множество всех событий, вероятно- сти которых выражаются рациональными числами. 2.23. Доказать, что: а) 1пп зпр А„Иш ш! А„; б) Итп !и! А„= 1ип зпр А„.

2.24. Пусть А„А„...— последовательность событий. Доказать, что события Иш зпрА„и 1пп !и! А„принадлежат с-алгебре, порож- денной этой последовательностью. 2.25. Доказать следующие соотношения: Ищ зпр(Л„И В,) = Иш зпр Л„И!пп зпр В„, Иш !и! А„В„= 1пп !п(А„П 1пп !и! В„, 1пп зпр А„(! Иш 1п! В„с Иш зир(А „0 В„) с 1пп зпр А„ц 1пп зпр В„.

2.26. Пусть А, ~ А, =~...— невозрастающая последовательность событий. Доказать, что Р ( () А;~ = 1шз Р (А„). ~!~ / е 2.27. Пусть А, <=.А,~...— неубывазощая последовательность событий. Доказать, что Р ( Ц А;) = 1йпР(А„). '1=) / 2.28. Доказать, что Р( Ц А; Р(А,) + Р(А,А ) + Р(А,А,4з) + ~ Зсм 2.29. Пусть (!1, .Ф, Р) — произвольное вероятностное пространство. Доказать, что множество значений функции Р(А), А ~,Ф представляет собой замннутое подмножество отрезка [О, !'! 2.30.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее