Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)

А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 57

DJVU-файл А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 57 Теория вероятностей и математическая статистика (2652): Книга - 3 семестрА.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы): Теория вероятност2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 57 - страница

Вообще говоря, нет. !!апример, з случае, когда зсе $, $ь $т, ... кевависи- мы н одинаково распределены. 564. 6) Р((3 ц ( < г) >~ Р((й,ц,! < с, 1Б,! < <А) > Р()г) ( < е/А, (' ( < А) > 1 — Р(~ц»( ) з/»1) — Р((5 ) > А). 5.65. Р Р В силу пункта б) предыдущей аадачи 5» ) $„( 0 я, следовательно, ń— т)»- О, откуда, применяя пункт а) предыдущей задачи, получаем т)» = $»+ (т!»вЂ” — С») + $. 5.66. Сведите задачу к предыдущей, испольауя тот факт, что из неравенства (х — д( < е/н( при е < 1/2 следует неравенство )х — у) < < 2е(х).

5.67. Последовательность р,(х), г"т(х), ... сходится г, функции о прп х< 0, О (х) =- 1 — р прн х>0 в каждой точке веществеппок прямой, за исключением, быть может, точки О. 5.68. Используйте задачу 5.64. 5.69. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 5.70. $ с вероятностью единица принимает значение О, а каждое $ с вероятностью 1/2" принимает аначенпе 2" и с вероятностью 1 — 1/2" — нулевое значение. 1 5.71. $» = л с веронтностые — и $ = 0 с вероятностью 1 — —.

5.72. Пример, п п когда Е3 существует, а Ей — нет: $ — любая случайная величина с бесконеч- ным математическим ожиданием, $, если (с(<п, О, если )$(>п. Обратный пример: 3 — случайная величина с конечным математическим ожиданием, г) — с бесконечным, Е» = $+ — „г), 573. )ЕК вЂ” 6$( < Е)5 — Е) == < (Е($ — $))пт 0 прн п-»ао. 574. Достаточно докааать, что существуют такие е, > 0 и в„что длн любого е < ео и длн всех и > в, сз < о"„+ з. (1) Не ограничивая общности, можно считать, что математическое о>кидание распРеделенин Равно нУлю. Дла данного е > 0 найдем такие /У ) 1 и вк что пРи 5=0,1,2 е 3' (2) (х!>М 3 е ) *'ы„») — ( чг»)~» —, (3) (х(хн (х!хгг Тогда прп и > л, пз — от= ') хз,у'„(х) — ) хз,/р( ) ( ~ збр ( ) ~ тд/ ( (»~хм !х/' М 06>Н (х(»м 2е (' -(/г х.~»).-т.

~ -.~»-~ )г Р~.м)- Э (х(>М ),(х(хл хвд» (х) — 2 ~ хдд„(х) ~ хдро (х). (4) г (х(>п / !т(хм (х! и 272 Применим неравенство Ноши — Буняковского: < 2з АУ'а (х) ~ () хвйрв (х) ) лдо (х) а" —. ) хзлрз (х). (5) (х(>Я (щ. и (х(>я !х(. М Для последнего слагаемого в правой части (4) мозкно написать неравенство 2 ~ хайя(х) ~ лр„(х) «2 ~ хзбро(х)~ ~ брв( )— (х~<М ~х)>М )х('. м ~ (х(хм — хН' (х) — ~ хг)Г (х) ~ ~ — ~ х бро (х), (6) !мхи 1" (>М !х!>я Нроме того, Ч !з 42 хог „[х) = ~ хдГо (х) — ) хйГ(х) — ! хлд(х) (, (7) !х!хп (х) хм (х) см ~х(> ч Неравенства (4) — (7) означзгот, что прп е ~ 1 о; — о ) — — — — -(- ~ х бд (х) (1 — 2а) ) — с.

2е 4с ( 3 о ~х)>м (8) Внр Е ) Ча( = Зпр ( ! ( 'В„) бр+ ! ) Вв( бр ) С Зор (Е+ а) = Е+ П < о о о ),(5.'(> Е„~<о 5.79. Примените обобщенное неравенство Чебышева. 5.89. ) ( ьо ) г(Р ( !Ьв!>а ( ~ ( т) ( г(Р. 58!. Докажите, что Пш знР ( Еьо — Еь( ~ (зоР ) ( ьа) г(Р+ !ч)'>о П„(>а + ~ (а(3Р. 582. Покажите, что для тек а, при которыя Р(($( = и) = О Е(>а Е„ЫР-е ~ елР. 5.83. Нелегким а = звр Е) $а), тогда равномерно по я о Йа!>а 83>а Р((5„( > с) .- а/с.

Фиксируем проиазояьное е) О. По условию задачи длл пего существует б > О, такое, что из условия Р(е) ( б сведусп что ! ЫР ( с. Возьмем с > а, тогда Р((5„( > с) ( б и, следовательно, и ь енр ) (с„(ЫР(е. 5.84. Нет, Пример: Р(5„= — 1) = Р(а„= 1) = —, 1 (Яо(>с) 273 5.7о. Используйте неравенства (2), (3), (8) па решення предыдущей задачи. 5.76. Нет, не ооязано. Пример: Р пркппсывает точкам О, л, — о вероятности 1 1 — — соответствеано, à — вырожденное в пуле распределение.

В атом случае о'„=1, я = 1, 2, ..., Ь =-1, о' = О. 5.77. См. решение задачи 5.75, 5.78. Равномерная иктегрпруемость означает, что для люоого полоягительнога е существует а ) О, такое, что зпр ) ($„(ЫРг з. Отсюда п !!о)>а 1 Р Р(с =-0) =- Р (Е =. 2) =, а = 1. 5.85. Ответ изменится. Имеем )"„„) ( $( и значит последовательность )$~), )Ез), ... равномерно иптегрируеиа (зада- ча 5.82), но тогда равномерно пнтегрнруема н последовательность )$, + а~, Р )$г+ а), ... Кроме того, $з+ а)-«(5+ай отвуда (задача 5.81) следует, что Е)ф + а) Е)$+ а).

586. Пока)ките, что для любого вещественного А > 0 су- ществует с, таиое, что ~ 1() з„)) ЫР >А ~ ) $„(НР. 5.87. Для любого ()1~1>~) ( 1)з1>~) а > 1 и любого л ) ) с (" 49 = — ') '(си ')«ср » (') ) сз)~др )$ )и>а )«)«>иыг (4 )«>им" и, следовательно, знр 1 ) 4 ( г(Р < знр ~ ~ с„)~лр — О, а — со. в и )»Г=""'", 5.88. Как следует на задачи 5.79 последовательность| 5, )", ! $ (", ... равномер- НО ИптСГрпрусзса И,СЛЕдОзатЕЛЬяО, ВСИЛу ЗадаЧИ581, Е)с„)г СХОднтСя К Е)С«)«'.

589. $ сходится по вероятности к нулю (при любом а); Е) 5„)" 0 при аг < 1, при аг = 1 Е)$ )" = 1 для всех л, при аг ) 1 Е)$„)' со, 590. Из задачи 582 следует, что последовательпость Ць 5з, ..., а значит и последовательность Р ($~ — $), )$т — 5), ... Разномерно интегрируемы. Кроме того, ) Сз — С( О. Отсюда (задача 581) следует, что Е)$ — $) - О. 591. Из вадачи 582 следует, что последовательность 5ь 5„... равномерно интегрируема.

Но тогда в силу вадачи 5.80 последовательность дь Нз, ..., а значит н последовательность Р )тп — г)), )г1,— т)), ... равномерно иптегрируемы, Кроме того, ) г)„— г)) О. Отсюда (задача 5 81) следует, что Е) т1 — т() О. 5 92. Если г < 1, то )Е($ !" — Е)$)') < Е)$ — $)' О. Ислп аге г) 1, то по неравенству Мпиковско. го ) (Е~Ф ~')и" — (Е)$(") ы") < (6~ 5 — 3)')'" — «О. 593. Выберем последова- тельность еь зз, ... так, что е 0 пРи н сс, по РЯД ~ Е) С„(л/з~, 'сходитсЯ. с=! тогда, в силу неравспстиа чебышева, Р() 5«) > е ) < е)$ )г/с~~и, следовательно, ~~ Р() ь, ) > си) < ос, откуда, применяя задачу 5.18, получаем $«Оп. и, с=1 594.

Из задачи 577 следует, что Е) 5 ) — «Е) $) и, значат, (задача (582)) последо- вательность )5,5 (Ет), ..., а слсдоватслыю, и последовательность Ео зь равномерно интегрируемы. Следовательно, ($~ — $), )зг — 5(, ... равномерно Р интегрпрусма и, кроме того, ) с — ~ь ) — 0 поэтому (задача 581) Е)5„— 5( — «О. 5.95.

Решение аналогично решеншо предыдущей задачи (используйте задачи 5.81, 5.82 и 5.74). 5.96. Иа равномерной нптегрпруемости слодует (задача 5.78), что зпр Е )с„)с < н С другой стороны, зслодстзне обобщенного неравенства т1ебыпгбва Р() ф„) рь а) < < Е)$„)'(а'. Отсюда и пз (1] следует, что знр Р() е„)Э~а) <»звр Е) е„) /е, то есть последовательность распределений случайных величин 5ь 5г, ...

плоти а на. 5.97. нет, действительно, вэ сходпмости (зе/дз) О следует сходимость Р Р (с~/т)~)ащ 0 и, таким образом, $9и/црв-«О. 598. Сходпмость по Хинчп- 274 ну, очевидно, эквивалентна тому, что х ~ С ИС„ (С) о о ос Л ооо, 1 „ (С) Р Величина, стоящая в числителе, ограничена сверху числом х и если $о,о О, то величина, стоящая в знаменателе, ограничена для некоторой подпоследовательности пс, лс, ...

некоторым положительным числом снизу, то есть (2) и Р этом случае пе имеет места. Таким образом, со- О. 5.99. Нет. Достаточно положить $ „= в — 1 О с вероятностщо— !С 1. п с вероятностью — ' в л Х 5.100. Сооююшения со-+О н Оо-»О эквивалентны соответственно следующим: ЕЗС,"ССсййо -о О, Ес(Сож)сйс)а О для любого х ) О, где (см.

задачу 5.99). Имеем 5.101. Из условия задачи следует, что Р $„— $„ос -об. (1) Пусть У (с) — характеристическая функция случайной величины Ео, п = 1, 2... Из (1) следует, что У (С)У ю( — с) — «1 н, аиачит, )Уо(С) ~)У о1( — Ц) -~ — 1, откуда )у (с)(-ь1. Но )у,(с))- (У(с)(, где У(с) — характеристическая функция случайной величины $. Следовательно, (У(с) ) == 1, т. е. $ имеет вырожденное РаспРелеленнс. 5.102, Покажите, что Р (послеДовательиость йь йэ, ...

фУидаментальна) = О. бЛОЗ. Нет. 5ЛОСь Пусть У(С), К(С), Ут(С), ...— характеристические функции случайных величин Е, Еь Ес, ... соответственно, Тогда у„(с) — у(с) и у„(с) =- ло(с) е-с Ут,где щ(с), Лз(ц, ...— неноторые характеристические функции. Имеем Хо(С)-оУ(С)Уе-С Ут, причем предельная функция непрерывна в нуле. Следовательно, оиа является характеристической функцией.

l ) 5л05. имеем Р ~ () ((сз — чь) ~ )с))<~', Р() зз — цс,()~е)+О пРн и о» З=-о о=о и, следовательно, в силу аадачи 5ЛЗ, , "— Ч -об п.п. Но тогда (задача 5.12) Во = (С вЂ” д,) + по-о и. 5ЛОО. Используйте равенства Р(~$ — Ц~) ) — — ~~ Р(($ — $))~с)Р(оо —.7с), ь=-с Р(ьо < ') — ~ Р(со~*) Р(о„— Е). з=с 275 5.107. Покажите, чта из фундаментальности по вероятности носледовател> ности 8>, 8>, ... следует фундаментальность по вероятности последовательности ц>, г)г, ... и воспользуйтесь задачей 5.7.

5.108. Для л>обста е ) О существуют > положительные б>, ..., бл, такие, что если (х> — х (~(б... )х>,— хл((б>,,то >!у(х,, х„) — д(х>...„х„) ) <~ е, позталгу Р((г (8иг,, 8 ) — и (г, ... а ° ° ., «л)) ) е) < ~~', Р(( $и> — «>( б ) О при и- . 5109. Пусть >=г ..., Г„) — характеристическая функция случайного вектора $л, /(>ь ..., > )— хаРактеРпстнческав фУнкциЯ слУчайного вектоРа«,9>и(и) н >Р>(и) — хаРактеРпстические функции (бю !) и (5, () соответственна (! = (/>, ..., !„)). Тогда / (>,, ги) =- >рг„(1),/(>ь ..., >„) = >р' (1) и, следовательно, /л(>ь ..„>„)— ->-/(», ..., >„) для люГ>ого >.

5.!10. Воспользуйтесь задачами 564 и 5Л09. 5Л1!. Воспользуйтесь тем, что как>дый залп нутый ограниченный прямоугольник иа плоскости валяется компактом и, что каждый компакт л>ажно поместить в некоторый прлмоугальник. Глава 6 6Л. Выполняется. 6.2. Выполняется. 6.3. Да. 6.4. Да Воспользуйтесь пера- венством Чебышева н тем, что Е« = О, 0$„= 1/2.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее