Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)

А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 51

DJVU-файл А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 51 Теория вероятностей и математическая статистика (2652): Книга - 3 семестрА.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы): Теория вероятност2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 51 - страница

2 . 3.332. Р(г), = /) = 1/Л / = 1, 2, ..., й ! ~ )1. 3.333. а) 1, б) 1/2. 3331. Пусть Р,(х), Р,(х), Рг(х), ... — фупкцпи распределепия случайных величин з)о з!1, з!ь соответственно. Тогда Р(т!„= х) = ~чр~ Р(з!й (х, т = /) = ~~', Р (вй (х) Р(т = й) й=г й=з Р й ( г ) Р ( т / ) й=г откуда получаем Ез! = ~ Еййр(т = й) = ~ ЕЕз) Р(т = Л] = Ей Ет. й=-1 й=т 240 3.335. 0; аг"л!. 3.337.

Воспользуйтесь предыдущей вадачей и тем, что сумма независимых случайных величин, пме|ащих симметричные одновершввныв распределения, имеет симметричное одвовершинное распределение (ввдвчн ЗЛ95 и 3.197). 3,339. Воспользуйтесь вадачей 3.223. 3.340. Прежде всего уточкам формулировку аадачп; имеется в виду, что сворость — случайная величина, математическое ом|пданне которой равно б км/час. 1 Рассув|денпе неправомерно, так как, вообще говоря Š— чь =.

Ес' Глава 4 4Л. г"Е(г); |р(г"). 4.2. а) распределение, припксывающее точкам О, 1, й вероятности 1/4, 1/2, 1/4 соответственно, б) распределение, припксывающев каждой точке й (й =-О, 1, 2, ...) веронтпость рсг (геометрическое распредвлеоне), в) распределение Пуассона с параметром Х, г) бииомиальное распределение с парамстраг|и р и л, д) распределение, приписывающее вечет2с пым точкаи 2й+ 1 веРоЯтностн г 1 2й . ! четным — нУлевые, е) Рае(,Л вЂ” 1) (2й+ 1 ! пределепие, нрпписывающее каждой точке й (й 1, 2, 3, ...) вероятность 1 1 — г — — — Приведем, например, решение в случае е):1+ — !и (1 г) = й Л -(- 1' ! =- 1 -(- — !и (1 — г) — !и (1 — г) = 1 — — Ул — ' + Р— 1 — У вЂ” + г г ! |+1 | 1 |=з Ю + Р— = лр ( — †.

г'. 4,3. Распределение сосредоточенное в точке 1, 4А. Производящая функция аналитична в области (з( < 1. 4.3. Воспользувтесь непрерывностью произвадя|цей функции. 4.6. Пусть Р(ь О) = О. Тогг да гр(1/2) < 1, гр(1/4) < 1/2, ..., |р(!/2л) < 1/2"-' и ряд ~~~ |р (1/2") сходится. а=х Обратно, если ряд ~ЧР~ гр(1/2") сходится, то длн любого Д| а=| ~ |р (1/2в) ~ )~ЧД~ |р(1/2а) )~ /У Р ($ = О), аья а-:| откуда получаем Р(й = 0] = О. 4.7. О < а/с < 1, — 1 < г//с < О, Ь/с 1 — с/с+ -)- Й/г 4.3, Предполо|кпм, что такая случайная величина Ь существует Обозпачпм |р(г), ф(г) и 7(г) производящие фук|щип Е, ь и т! соответственно. Имеем ч (г)гр(г] = 7(г), (з) < 1, (1) 1 |р (г) = 2 (1 + ) (2) 1 1 1 г 1 +4г+2г+6 (3) Иэ (!) следует, что все корпи уравпспкя гу(г) О явля|отсн одновременно кар|им|и уравнении 7(г) = О.

По пз (2) и (3) следует, что |р( — 1) — а, а 7( — !) = 1/4. 4.9. Предположим, что такая случайная величина ь сущее|куат Оаазпачпм |р(г), 4|(г) н. 7(г) производящие функции 4, ь и |! соответственно. !!меем |!(г)г(>(г) = 7(г), |г( ~~ 1, откуда (Р(г)( > (7(г)( (при всех (г/ -.. 1), но |! ( — 1) = 1/2 < 6/10 = 7( — 1).

4ЛО. Не огРаничпваЯ общности, можно счптатзч ло $ и т! прикипают целые неотрицательные значения. Пустыр(г) =! г == ~ (1+ г -! г / — производящая фущ цпя случайной величины ь + т! и пусть 17ч 247 (р (г) = ч азгь и о (г] =~ ь гв — пронзводящкефуккции 5 п() соответствеп- 1 2 а=-о 1=-0 1 по, Тогда —.(1-(- г+ г ) = ~~ авгв ~~ Ьвг" и значит 0040 = 1IЗ 0~Ь0+ 0001 = !(З, а=о г=о а Ь = 1/3, отиудэ 02Ьт+20 а Ь Ь -(- агЬг = 1(9 == а Ь а Ь, что, очевидпо, ке- 1 ! 1 0 0 1 0 1 ' 0 1 О 0 1 1' возмоткпо.

4Л1. Пусть а("(, а(о(, ... — вероятности, которые Р приписывает 0 точками О, 1, 2,..., а аг, а(,... — вероятпосп(, которые этим точкам приписывает распределепие Р. Достаточпо докааать, что при каждом Ь = О, 1, 2, ... а„" -0 а„ (0! при п -0 го. Па условия задачи следует, что ~ ар г(-е ~~~ а,г( при л-е 00. По(=0 =о ложив г = О, получим 00 -0 ао, и, значит, (в> а(1 !21-0 ~' 0,.11.

(!) (=1 1=1 Пусть а(01,ь а . Тогда существуют б ) О и подпоследовательпость а(" (, такие, 1 что ~ а(" ! — а ! ) б и, следователы(О, СУЩествует подпослвдовательпость 1 1! а(0 ! такая, что либо е(ил!) а + б, либо а(в ((а — б. Пусть, например, 1 1 1 выполпепо первое перавеиство. Тогда при г ) О х, а( г ) а 1+бг+ чт (в"! ( ;=1 б ') +'Ч а(." )г!.

Выбирая г достаточно малым (так, чтобы хч г ( — г, придем з(ы 2 1=2 1=2 к пративоречи(о с (1). Для произвольного Ь до((азательство проводится по ипдукцпп. 4Л2, Р(п(ах(21, ..., Ц~х) = ~к~~ Р(щах(б, ..., 20)(х) Р(т = л) = 0=1 = ~~~~ Р" (х) р (т=-и)= гр (Р (х)). 4ЛЗ. е "0)(а!). 4 14. !( — !) пля, что то (ке самое, )(!), 0==1 4ЛЗ. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

4ЛО. Воспользуитесь вадачей 4.!4. 4Л7. (р(!) = ~ сов гх((Р(х)+ 1 ) з!и гх 0(Р(х). 4!8. ))((] Р. 4Л9. В случае а) функция четка, но ке вещественна, в случае б) — вещественна, зо яе четпа В силу задачи 4.!6 такие функции ке могут быть характеристическими 4.20. Пусть )(!) — характерпствческая функция, а Р(х) — соответствующая ей фупю(ия распределении. Имеем )! (т+ Ь) — У (Ц ) ь) ) г(" — 1 ) Л!Цх) = .тЬ ! ! хл! (' ! 171 2 ~ ~з!и 2 ~()Р(х)~(2 ~ ~в!и 2 ~ЗР(х)+2 ~ ~з!и — 2~ЗР(х)+ -А +2~~0!и ~ ~г(Р(х 248 нри любых А, В ) О.

Заметим, что правая часть ве вависит от !. Первый и третий интегралы в правой части могут быть сделаны сколь угодно малыми, если А и В выбрать достаточно большими, а второй интеграл при выбранных И в В может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора достаточно малого !!. То есть )Нг+ а) — г(!) ( — «О при а-«О равномерно но !. 4.21.

Нет, поскольку опа пе является равномерно непрерывной (см. предыдущую задачу). — з!и г/2 1 1 м I !ят г гдй ' ) 1+ и в) 3 (1+2е"). 4.23. (Ь вЂ” а) 2 2 !6 а) ) (Я+ ре )", в) ехр(а (е! — 1)), г) ехр Н !— (И (о+ ЬП 2 ц и г! д) (1 ) ) ' е) ехр(грг- ~' ж) р « ') ( ~;,) 4.25.

Ыет. Пример: 2 = т) и 3 имеет распределение Коши с характеристической функцией е !и. 4.26. Необходимость следует непосредственно из определения характеристической функции случайного вектора. Для доказательства достаточности воспользуйтесь формулой обращения. 4.27. Пусть 2! =...

= 8„= 4 н 3 имеет распределение Коши с характеристической функцией е пй Тогда ! (г, ..., Н = Еецгйт"'«~'! = Ее!а!1 =е а!'! = (е щ)а = Ц ! (!), 4.28. Пусть г=! Р, (х) — функция распределения, соответствующая характеристической функции )!(!). Найдите характеристическую функцию, отвечающую функции распределенпя С(х) = ~3~ агГ,, (х). 4.29.

Пусть С(л, а) — функция распределения, отав!=! чающая характеристической функции 1(г, а). Найдите характеристическую функцию, отвечающую функции распределения ) С (х, а) !)Г (а). 4.30. Имеем 2 г'(!) ~~ )г ОП вЂ” 1=, — и, в силу вадачи 4.28, это — характерп- 2 — 1(!) 2 — 1(!) С !=! стическая функция. 4.31. Воспользуйтесь тем, что Пе((!) = —,(! (!) +1(!)) = 2 1 2 = — (1(Ц+ г ( — !)).

Соответствугощая функция распределения равна 1 "т Г(х) ( х ) 4 уо !) (1 В(аз О))г)н(а) 433 Да 434 Не 2 ограничивая общности, положим а = О. Имеем 1 ! ! ! ~ -~~а-0>-.- ( "" ««)~» «~о ;в Р Я = О) — ~ ~ ег!ХЫВ(х) !) «Р(1 = 0) — ~ ! )е™Х( !)г (л) = Р(с = О) )хко ) Фо — г(Г (х) = Р ($ = 0) — Р (ф чь О) ~ О. 249 435. Испольауйте равенство /(1) = Р() Ь) = а] соз аг+ ~ соз тх Ыг" (х).

436„ )х)тьа Например, /(1) а+ (1 — а) е сост, 0 < а < 1, причем для любого й— ->з 1, 2, 3 ... можно подобрать а таким образом, что /(>) будет иметь ровно 2/> нулей. 4.37. а) Распределение, првписывающее вероятности 1/2 точкам — 1 и 1, б) распределение, прнпнсывающее точкам — 2, О, 2 вероятности 1/4, 1/2, 1/4 соответственно, в) нормальное распределение с нулевым математическим ожнда- 1 вием н дисперсвей 1/2, г) распределение Коши с плотностью, », д) раск(1+х ) 1 50 пределение с плотностью — е )"> (распределепне Лапласа), е) показательное 2 распределение с параметром )» 1, ж) равномерное распредевение ла отрезке 1 / 1 ( — 1, 1) в) распределенно о плотностью —, з+ ,, ).

4.38. ~1+( — 1) 1+ (х+ 1) / ь 1 Г пх ~ ра/а (1). 4.39. покажите, что функция р (х)=- — 2„)» ""/(г) >(>является плота 1 востьюраспределенияв,следовательно, функцпя /(>) = ~ »'>"р(х) >/» является характеристической функцией. 4.40. В силу предыдущей зада |и каждая функ« цня вида 1 — а)г), (г)<1/а, О, )г) 1/ является характеристической функцией. Покажите, что любан функция, ука ванная в условии задача, может быть представлена как предел лпяейныл ком- бннацнй функций такого вида в примените задачу 4.28. 4.41. Да. Примеры танин характеристических функций легко построить, используя предыдущую задачу.

1 4.42. Покажите, что функция —,„выпукла прн г > 0 (О < а < 1) н восполь- 1+»" зуйтесь задачей 4.40. 4.43. Обоавачнм г" (х) функцию распределения, отвечаю- щую характеристической функцив /(Г). Рассмотрите множества Л>(е) (х: )соз гх( < 1 — е) н покажите, что длн каждого г найдется а > О, такое, что ) >)г(х) ) 0.4.44. Обозначим г" (х) и 6(х) функции распределеввя слу А>1») чайных величин 3 н шат (О, Ц соответственно, в пусть Е(х) — вырожденная в нуле функция распределения, Тогда С(х) =Р(х)6(х]. Легко задеть, что 1 6(х) 2 + 2 С (х), где С>(х) — непрерывная функцвн распределения. Пусть л(г) н у>(т) — характеристические функции распределений С и Сь Тогда 1 а(г) = 2 (1+4 (т))но в силу непрерывпаств с,(х) )у>(г)) < 1 при»~О 1 (см.

предыдущую задачу); следовательно, )Л(Г) ) ) —,(1 — )Л (>) () ) О. Ст условия непрерывности отказаться нельзя (пример: РД вЂ” 1) =Р($ 1) 1/2). 4.45. Пусть у (г) — характеристическая функция случайной величины >1„. Полол»им рь = Р(ь> = /»), й = О, ш1, ~2, ... Пмеем/(Г) = »»,' рь»>, по А= — ~ атому 1(я) = ~ ( — 1) рь = Р(ь делится па два) — Р($~ не делится на два), а — » диалогично д (я) = Р(с)„делится на два) — Р(с)„не делится на два). Ко д«(я) =1" (я) -«О при о-«со, откуда получаем нужное соотношение, 446. з Сх Г , Сх , Сх е) 1 — Ве/(с)= ~ (1 — сов сх) ССР(х) = ~ 2юп с(Р(х)~~2з!пз 2 соз — 2ЫР(х) 2 Э ) з!и СхбР(х) ) (1 — соз2сх) с)Р(х) Ве/(21); 1 з 1 ~ 2 4,) 4 О б) следует из а); в) доказываемое неравенство эквивалентно следую- 1 + В е 1 (2С) щетс у: ) (Во 1(с))з.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее