Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)

А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 34

DJVU-файл А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 34 Теория вероятностей и математическая статистика (2652): Книга - 3 семестрА.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы): Теория вероятност2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 34 - страница

е. такими, у которых переходвал ФУнкция Р(в, *, 1, Г) одяородва по времеви: Р(г + )г, з, 1+ Ь, Г) = Р(в, з, Г, Г) для любого )г, причем в качестве Т рассматриваются т = В = (- иг, ), т = В+ = (О, ), Т=(...,— 1,0,1,...), Т=(0,1,2,...). В случае одвородпого процесса переходную фувкцию можно задать как функ- цию трех перемеввых Р(г, з, Г) = Р(в, а, г+ д Г). Для одвородвых марковскях процессов с мвожеством состояиий Х с с (О, 1, ...) для переходвых вероятвостей будем использовать обозначение Р(г. ] (7')) = РО(1). Мера р ва фазовом вростравстве (Х, га), удовлетворяющая условию р (Г) = ) р (г(г) Р (1, з, Г), с ) О, Г ш га, х вазывается иввариавтвой мерой однородного марковского семейства с переходвой функцией Р(г, з, Г).

Пусть (й, ар, Р) — вероятвоствое простравство, Т с В, (У г, 1 ел Т) — веубывающее семейство о-алгебр:У г с Уг г~ < гь У г сзр. Случайная величина т, принимающая значения иа Т.()(+аа), называется марковским моментом отвосительво семейства (У г, г гп Т), если для любого С гв Т (т < 1) гв У г. Пусть, далее, Ущ~ — о-алгебра борелевских подмвожеств мвожестве Т П П ( — ' ° 1]„ Случайный процесс $и г гп Т, вазывается прогрессивно измеримым отвосительно семейства (Уь сгпТ), если для каждого зшТ фувкция $~и' яа множестве (Т П ( — аа, 1]) Х й измерима по (в, ю) отвосительпо а-алгебры юм~ 'г( У г.

Марковское семейство ($и Р,) с фазовым пространством (Х, 6) вазывается строго марковским, если: 1) процесс $г прогрессивка измерим; 2) для любого марковского момента т, любой функции ц = ц(ю), прпккмающей значения из Т 0 (аа) и определеввой ва й, (ак т ( аа) в измеримой относительно У г, любого лги Х я Г щ В в любого А с й,() йв прввадлежащего У'„ Р„(АД(~ „гп Г)) =) Р(ц, $, Г)Р„(кы). Пусть йг, 1 ги Т,— одвородкый марковский процесс, Х (О, 1....), Т представляет собой либо волуврямую ]О. а ), либо мвожество цеяых веотрицательвых чисел.

Ввтаащигга працвггьь Случайный процесс $г, гев Т, называется ветвлщимса, если Рв (1) = ~~ Р (1) Рй (1) ... Р, (1), 1> 1, Р„(г)=1. 1г а.,. -О;=1 176 Определение ветвящегося процесса допускает следующую паглядвую интерпретацию: пусть $т — число частиц в момент времеви С. Предположим, что за время Т, одва частица независимо от ее происхождения и величия других частиц, с вероятностью Р,„(Т,) превращается в и частиц (и = О, 1, ...). Тогда Р(ЬС„, = С)Ц = С) = Р,, (С) = ~ Р (С) ... Р,С (С). СС+,.+С;=С пусть Ез — ветвящийся процесс. тогда Р(ЕС =0),)сш Р[ьс — — 0) пазыва- С >00 ются соответственно вероятностью вырождения ва время С и вероятностью вырождения; т = пзш(С: Ет — — О) называется временем до вырождения. Пусть Е,— ветвящийся процесс с непрерывным времевем (Т [О, со)).

Положим С ш (") Ьс,ь а„= !(ш ! ь о а где Ьь ь — символ Кропекера. Числа а„аь ... ваэываются инфинитезимальными параметрами ветвящегося процесса. Производящую фуикцпю впфииятезпмальлых параметров с (з) = ~~', асзс С=Е будем иааыаать производящей функцией ветвящегося процесса. Теорема 1. Пусть $и Еь ...— ветвящийся процесс с дискретным временем, Ев = 1,стп (з) = Ез, ср (з) = Ез з. Тогда 1~ 1, и ш(з) Р0ра(з)), и ) 1, а вероятность вырождения д — наименьший неотрицательный корень уравнения ц = ср(ц). 2, Пусть Еи Ес —— 1 — ветвящийся процесс с непрерывным временем и ироигводящей функцией 7(з).

Понюхом Р(С, з) = Езь'. Тогда а) Р(С, з) удовлетворяет функциональному уравнению р(С+ т, з) = Р(с, Р(т, з)), Р(0, з) = з; б) Р(С, з) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению дР'(С, з) =С(Р(С,з)), Р(О,гС=з; в) Р(С, з) удовлетворяет уравнению в частныя проигводныя дР (С, з) др (С, з) дз ~() дг г) вероятность вырождения процесса ривна наименьшему неотрицательному корню уравнения )(ц) = О. Процессы массового обслухивания, Случайным потоком событий вазывается любой случайный процесс чн С ~ О, удовлетворяющив следующим условиям: 1) чг = 0; 2) ч, для каждого с ) 0 принимает лишь целые неотрицательные значения я зпачевие +со; 3) траекторви процесса тз ве убывают и непрерывны справа.

Поток тг считается аадавлым, если для каждого целого и )1 и неотрицательных действительных ть ..., т„задало совместяое распределение случайкых величин ч, „ч, . Олучайвая величина ч, имеет смысл числа событий, наступивших в интервале [О, с). 177 12 я. в. прозоров и зр. Можно дать следующее аквывалеыткое определение случайыого потока. ПУсть»ь»ь ...— последовательные моменты кастУплевиЯ событии; »в )»А, при А =- 1, », = О. Полол»ым за = П вЂ” »з ь А ) 1. Говорят, что задав случайпый поток событий, если для каждого целого л ) 1 задано совместыоо распределение случайных величия з»„..., * . Случайный поток, у которого зн зь ... независимы в совокупвостя и »ь з», ...

одвваково распределевы, взвивается рвкуррвнтным котикам с занаэдыванивм. Для задания такого потока достаточно аадать две фуккции распределения: А»(») = р (з, < »), А (») = Р (зд < »), А ) 2. Рекуррелтыый поток с запаздыванием, у которого А»(») = А(»), называется рвкуррвнтним. Поток Ш называется потоком йвв нававдвйвтвик (с отсутствием последвйггвик), если для любого целого л ) 1 и для любых декствителькых 0 = = тв < т» « ...

т„случайвые велвчивы т» — т», А = 1,..., н, пезавн- »А»А-1 симы в совокупыости. Поток ч» называется стационарным, если для любого целого к ) 1 и для любых веотрицательвых чвсел тн ..., т„распределеипе случайного вектора ( и — и, А = 1, ..., н) ые зависит от выбора с ) )О. Часто поток вааыеают се»А в стациопарвым, если последнее условяе выполняется хотя бы прк к = 1. Поток е» казывается ординарным, если цля любого» ) 0 Р(к».н — и» ~ >2(т»«л — т» ) 1) — «О ири Ь ) О. Стациоварвый ордвварвый поток без последействия называется красгвйи»им. Для задания такого потока достаточво для любого» ) 0 и целого А ) 0 задать вероятиости Рл(») = Р(к» й).

Если дополвителько потребовать выволыевие двух условий: 1) Р(ч» < + ао) 1 для каждого» ) О( 2) существуют», и»», такие, что Р(т =0))0, Р(т» =0)(1, то существует Л ) О, такое, что , (),»)А РА(») =в Н Простейшый поток будем пааывать также пуассововским (иногда под куассояовским попимают более широкий класс потоков).

Для простейшего патока Еч» = Л». Чысло Л имеет смысл среднего числа событий, поступивших в единицу, времени, и ыазывается иктевсивкостью. Пусть тн ..., т„— ыезависимые случайкые величины, равномерно распределеввые па отрезке (О, Т), Т ) О. Положим (Ю )»О, еглы тк)», (1, если та <», У»«ы» + ...+1»» (11 (К») Случаввый поток и» называется потоком Бернулли. Пусть заданы к ) 1 случайвых потоков т», ..., т» . Говорят, что слу(ш (ш чайный поток ,(1) ( ( (к) получается накамвнивм (сунерлаэиуией) потоков т(»11, ., „т(»и», Пусть (зк)ьм» вЂ” последовательиость.веотрицательвых случайных аеличкв.

Положим 1 = з»+...+ з, л ) )1, »в = 0; т» = п»ах(к: »„<»), 1) О. ПРо- 178 песо чс называется процессом восстановления. Так как чь полностью определяется последовательностью (гь) (и наоборот), ее также будем пааывать процессом восстаковлевия.

Процесс зосствиовлевия (гь) везывается рекуррвнтным с гапагдывание», если гь г„... независимы в совокупвостп и гг, гг, ... одинаково распределевы, Если г), гь ... независимы и одинаково распределены, процесс восставовлекия (гь) вазывается рекуррвнтным. Циклам длительности г назовем упорядочеввую пару (г, $ь), где г — веотрицательная случайная величина, а $, — случайный процесс, определевкый прп О(с< в, причем Р(г=О) <1, Р(г <+ав) =1. Рассмотрим последовательвость циклов[[за, сс )[а>, в которой циклы (а)' пезависимы и, начиная со второго, стокастичесви аквивалевтвы.

Положим А1(х) = Р(г, < х), А(х) = Р(гь < х), й > 2. Случайный процесс $и С > О, определяемый соотпоше)сивик ц11) при О <С < С, Цз)с прп с, ( с ( с,, 1 Сс с ПРИ С), 1(~с ( СА, (г) — Ь-1 'ч пазывается рггвнерируюпсим процессом. Случайвьте веппчппьт Си С..., пазы ВаЮтСя моментами регенерации. Положив( Рв(с)=Р(~~~)(иВ, г >С)=Р( сщВ, г >С), Рл(с) = Р(Ц '(и В, гь > с) = Р(цз ес ьп В, гз > с), Уь) 2. Т ео р е лс а.

Пусть А (х) — нвреюетчетпа функция распределения; суп;ест грет целое и ) О, тпкпг, что функция с () И) = 3 Рп (С вЂ” х) др (х], С >О, с а где Р(х) = Авв(х), является непосредственно интегрируемой пп Ричпну на [О, ео). Тогда (пи РД(мВ)=а) рл(х)дх, с е где а 1=) хбА(х). о Сл ед с та и е. Пусть А(х) — нереюетчптая Сбункция расяределени* и еьы пплнено хотя бы одно иг условий; 1) уьуякция рв(с) не возрастает и интегрируема; 2) Рз(С) имеет ограниченную вариацию на любом конечное интервавв времени и а = ) хдА (х) (+ е !2в 3) для кгкоторога целого и ) 1 Аа" (г) яалягтгя абсолютно ягярерыа- иай и хЫА (.г) < + аа. о Тогда )(щ Р (ь1 щ В) =- а ~ рн (г) дг.

1 о Для обоаначеиия систем обслуживания используются четыре символа нлк комбинации символов, разделенные вертпкальнымн чертами; а(6(с(д, где ив характсрнаует входящий поток, Ь вЂ” длктельпость обслуживания, с — число об- служивающих приборов, д — чнсло мест длл ожидания. Если на первом мес- те стоит символ М, то входящий поток пуассоповскнй, Ег — зрлангоискнй по- рядка й (т.

е. рекуррентный поток, у которого ах г и А(л) = З((й 1 ~ г ча~), о 2г — регулярный (т. е. требования постуна1от через фпкснрованные (неслу- чайные) интервалы времени), С! — рекуррентнын, С вЂ” произвольный. Если па втором месте стоит буква С, то длителыгости обслужнвапнл тре- бований нмеют произвольное распределение п могут быть завпсниылгп.

Еслн стоит символ, отлячный от С, то длительности обслуживания независимы в совокупности и одинаково распределены, причем если стает буква М, то — но покааательному закону, если сочетапне С! — яо нронзвольному. Например, М(С))2(10 означает, что в снстему обслучкпвапня, состоящую нз 2 приборов н имеющую 10 мест для ожидания, поступает пуассоновскнй поток требова- ний. Длительности обслуживания независимы в совокупности и одинаково рас- пределены по пронзвольному закону.

В качестве характеристик функционирования свстсмы обслужнвання ча- ще веста рассматрвваютсн следующие случайные процессга и велвчпны: я~ — общее число требований в системе в момент времени В И'л — вреыя ожидания до начала обслуживания Дчго трсбованнн (нуме- рация требований производятся в порндке пт поступления в систему); Н вЂ” длительность периода занятостк, т. е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее