Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)

А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 2

DJVU-файл А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 2 Теория вероятностей и математическая статистика (2652): Книга - 3 семестрА.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы): Теория вероятност2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 2 - страница

Событие Л, противоположное событию Л (дополвепие Л), осуществляется тогда, когда зте осуществляется А. Событие А~В (разность множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуществляется А, но В не осущеотеляется. Событие А гь В (симметрическая разность множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуществляется А и не осуществляется В, илв когда осуществляется В и не осуществляется А. Событие П называют достовгрным собмтигм, а событие 8 (пустое множество)— пввогможным гобытигм.

События А н В нгговмггтны, если АВ = О. Класс событий Ф удовлетворяет следующим свойствам: 1) () гп яэ; 2) если А ж.яг, то А тн вэ; 3) ЕСЛИ Ао Ат, ..., А, ... гп ЛЭ, та () Аз ж Мг. КЛаСС МНОжЕСтВ С УКаэаН- в=1 пымн свойствами называется о-алввброй множвств. Вероятность Р определена как функции мнвк<оста на о-алгебре оэ и удовлетворяет следующим аксиомам: 1) Р(А) ) О длл любого А щ яэ; 2) Р(()) = 1; l 3) Р ~ () Ат~ = ~ Р(Аз), если Аглз = збг при г Ф к г=т Тройка ((), лэ, Р) называется вгроятногтн и пространством.

Его общая конструкция рассматривается в следующей главе. Здесь мы будем иметь дело с простейщпми формулами для вычислении вероятностей в двух важных частных случаях, в которых формализовано пояятне равновозиожпости исходов случайного зкснеримента. Наиболее просто устроено следу<ощее вероятностное пространство: О=(ю«,...,о), лз — множество всех подмножеств О, и Р (А) =-, где пл — число элементарных событий ы, содержащихся в А шли. Это определение вероятности как отношения числа элементарных событий, благоприятствующих некоторому событию, к общему числу элементарных событий, называют классическим впрвдвлвкивм.

Оно имеет непосредственное отношение к опытам с конечным числом равновоаможных находов. Известная симметрия опыта, нашедшая свое выражение в гнпотеае равновозмох<ности, проявляетсв в словах знаудачуз, «правпльнаяз монета или кость и т.

я. Для вычисления вероятностей в таком вероятностном пространстве используются комбпнаторные методы подсчета числа подмножеств некоторого множества. Главнейшие понятия здестл сочетания, размещения и перестановки. Пусть задано множество нз <У разли <ных элементов. Рассмотрим его лодыпожества объема и. Обозвачим. В( = Д< (Х вЂ” 1) ...

3 2 1, А~~ = Д< (Дт — 1) ... (Д< — п+ 1). Упорядоченный набор и различных алемеятов из общего числа Д< называется размвщвкивм. Общее число размещений равно А»ч. При и = Д< размещения называются пврвстаковками и в атом случае А~ — — М. Если не учитывать ч порлдок элементов в размещении, то получающиеся раалнчные подмножества называются сочвтакиллш, их общее число равно С», = А",,/А„".

Другой простой случай вероятностного пространства описывается следующим обрааом: Π— ограниченное множество и-мерного евклидова пространства 1<", имеющее и-мерный объем (лебегову меру) шез О< лр — класс подмножеств А зл Я, имеющих и-мерный объем (лебегову меру) шез А, А <н Ф; Р(А) = шеэ А/шез О, А <н О. Это определение обычно называют геометрическим определением вероятности. В большинстве задач вероятность определяется как отношение обычных площадей илп объемов некоторых геометрическнх фигур в Я". В таком случае образно говорят, что «точка наудачу выбрана в некотором мнов<ествез или «брошена в некоторое множество» и подразумевают, что вероятность выбора точки из множества пролорцпональна его площади илн объему. Важную роль в теории вероятностей играют понятия условной вероятности и независимости событий.

Пусть А и  — события и Р(В) м О, Условная ввролтковть события А при условии В определяется формулой Р (АВ) Р(А)В)= Р В События А и В называются к<зависимыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В); в этом случае Р(А(В) = Р(А) и Р(В(А) = Р(В). События А<, ..., А» называются <заимке независимыми (каза»и<»мыми в вввокуикости), если для любого «( п и л<обых 1 ( О < ...

< й < п Р(А< ...А< )=-Р(А<) ...Р(А< ). При решении некоторых задач, свяаанных с вычислением вероятностей, бывают полезны следующие формулы. Пусть события Ви ..., В„попарно несовместны, т. е. В;В> = Я, ~ пь П п пусть 0 Ве ~ А и Р(В;) ) О для всех ь Тогда г=г () Р (А) = ~т' Р(В,) Р(А) В,.) (формула полной ееролтности); 2) если Р(А) ) О, то Р(В„) Р(А) В„) ~ Р(в,.)Р(А)в,.) (формула Байеса]. 4 1. Операции над событиязш. Свойства вероятностей 1.1. Пусть А и  — события. Найти все события Х такие, что АХ = АВ. 1.2.

Найти все событпя Х такие, что (Х 0 А) 0 (Х 0 А) = В, где А и  — некоторые события. 1.3. Определить события А и В, если: а) ЛОВ=А;б) АВ=Л. 1.4. Доказать, что для любых событий А и В соотношения А ш В, А ~В, А 0 В =В, АВ = А, А~В = Ы равносильны. 1.5. При любых А и В сравнить события ~А О В) (А 0 В) О 0(А ОВ) (А ОВ), (А ОВ) (А ОВ)0 (А ОВ) (А ОВ) и (А 0 В) (А О В) (Л 0 В) (А О В) .

1.6. Доказать равенства: а) АВ ЛОВ; б) АОВ=АВ; в) АОВ=АВО(А~В); г) А ~В=АВ ОАВ; д) А ~В (АВ)гь(АЛ); Ю п и п е) ),) А,= П Аб ж) П А;= Ц Ао е=-1 е — — 1 о=1 ' о=1 1.7. Верны ли следующие равенства: а) Л О В = АВл (Ас-'В); б) А'~В =А'-"'(АВ); в) А~В = А'В; г) А~(В~С)=(А~В)~С; д) А Гл(В)хс')=(А гзВ)(лс; е) (А ОВ)~С=А 0(В~С); ж) АВ 0 СР = (А 0 В) (С 0 Р); з) (А ОВ)(А ОС)(ВОС)=АВОВСОАС; и) АВСОАВР 0 О АСР О ВСР =(А О В) (А 0 С) (А 0 Р) (В 0 С) (В 0 Р) (С 0 Р); к) (А 0 В) Х(А 0 В) = А ть В. 1.8.

Обязаны ли совпадать события А и В, если: а) А = В; б) А 0 С = В О С (С вЂ” некоторое событие); в) АС ВС (С вЂ” некоторое событие); г) А (А 0 В) = В(А 0 В); д) А(АтВ)=В(В~А); е) А(А~В)=В(АзВ); ж) А~В Ы? 1.9. Пусть А, В, С вЂ” некоторые события. Доказать, что а) АВ 0 ВС 0 АС ю АВС; б) АВОВС 0 АС ~А О ВО С. 1ЛО. Двое играют в шахматы. Событие А означает, что выиграл первый игрок, событие  — что выиграл второй игрок. Что означают события: а) А ~В; б) А~В; в) А й В; г) В~А; д) А~В? 1А1. Из урны, содержащей черные и белые шары, извлечены в шаров.

Пусть А~ — событие, состоящее в том, что 1-ый шар белый (1 ~ 1 » и). Выразить через А, следующие события: а) все шары белые; б) хотя бы один шар белый; в) ровно один шар белып; г) не более й шаров белые (1 ~ й ~ в); д) по крайней мере к шаров белые; е) ровно й шаров белые; ж) все п шаров одного цвета.

1А2. Эксперимент состоит з выборе одной из возможных перестановок чисел 1, 2, ..., п. Пусть событие Ае состоит в том, что в выбранной перестановке число 1 стоит на 1-ом месте (1, у = =" 1, 2, ..., и) . Выразить с помощью Ае следующие события: а) число 1 стоит левее числа 2; б) число 1 стоит не далее у-го места. 1.13. в(ишепь состоит нз десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами В, ( Н,(...(Вге Событие А, означает попадание в круг радиуса Вз. Что означают события В = А, 0 А, 0А е', С = АзА~АвАа,' В (А, 0 Аз)Ав7 в 1Л4. Пусть А„..., А„— любые события и А = () А;. Предста1=1 вить событие А в виде объединения и несовместных событий, 1А5.

Является ли операция симметрической разности а) коммутативной; б) ассоциативной7 1А6. Доказать, что если А ЬВ = СГР, то А~С =Вгик 1Л7. Доказать, что события А и В совместны тогда и только тогда, когда пересечение трех событий А 0 В, А 0 В и А 0 В непусто. 1А8. Пусть А„А„..., А — события. Докааать, что () () Аз= () () Аз=Ах. я=гь=а 1.19. Доказать, что Р(А 0В)=Р(А)+Р(В) — Р(АВ).

1.26. Пусть вероятяость каждого из событий Л и В равна 172. Доказать, что Р(АЬ) = Р(АВ). 1.21. Доказать, что Р(А Ь В) =Р(А)+Р(В) — 2Р(АВ). 1.22. Пусть А, В, С вЂ” события. Доказать, что: а) Р(АВ) + Р(АС) + Р(ВС) > Р(А) + Р(В) + Р(С) — 1; б) Р(АВ)+ Р(АС) — Р(ВС) ~ Р(А). 10 1.23. Доказать, что для любых А, В, С Р(Л з В) ~ Р(А ~х С)+ Р(С л В). 1.24. Пусть А„Л„..., А — события. Доказать, что: / я а) Р ~ () А;! = ~ Р (Л;) — ~~л~ Р(А;,А;,) + «=1 «=1 1<(«<««<я Р (А;,А;,Л;,) + ... + ( — 1)" 'Р(А,А,...

А„); '<й<'«<'»<" б) Р(А,,л, А«с~ ... с~ А„) = ~~~л Р(А,) — 2 ~ Р(А, А ) + «=1 «<~ <1 <я + 4 Х Р(А;,Л;,А;,) + ... + ( — 2)" 'Р(А,Л, Л ) 1<«1<««<««<в 1.25. Пусть А„..., ˄— некоторые события и  — событие, заключающееся в том, что осуществится ровно т событий из А„...

..., Л„. Доказать, что Р(В ) = ~ ( — 1) С~~«В «ю где 9 2. Классическое определение вероятности 1.26 (урновая схема: выбор с возвращением) Некий сосуд (урна) содеря«ит Ж различных шаров с номерами 1, 2, ..., Х На каждом шаге из урны «наудачу» извлекается шар и затем возвращается назад, после чего шары в урне перемешиваются. Исход и последовательных извлечений называется выборкой объема п с возвращением. Описать пространство злементарных событий, соотвотствующих данному эксперименту.

Рассмотреть отдельно случай, когда порядок шаров в выборке важен, и случай, когда порядок не учитывается. 1.27 (продолжение). Рассмотрим случай упорядоченных выборок и предположим, что они все равновозможны. Предположим дополнительно, что все шары с номерами 1, 2, ..., М (ЛХ ( М) окрашены в белый цвет, а остальные шары — в черный цвет. Найдите вероятность того, что в выборке объема и ока«кется ровно т, О < т ~ п, белых шаров. 1.28.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее