Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Аналитическая механика 25.3. На твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Ох, действует внешний момент И,(~) = гп(2) (~т(2) ~ < то). Найти закон изменения т(1), при котором тело переходит из начального состояния (еро, сое) в конечное состояние (О, 0) за минимальное время. 25.4. Материальная точка массы гп движется под действием силы Е" (1) (~l'(1) ~ < йе) по гладкой горизонтальной направляя>щей Ох. Найти закон изменения силы Е(~), при котором точка переходит из состояния (хв, хо) в состояние (О, 0) за минимальное время.
25.5. Тело массы гп отпущено без начальной скорости на высоте И над поверхностью Земли. На тело действует управляющая сила Г(~) (~ Г(8) ~ < Ео, Го > тд). Пренебрегая изменением силы тяжести с высотой, найти закон изменения силы Г = Г(1), при котором тело за минимальное время достигнет поверхности Земли с нулевой конечной скоростью. 25.6. Тело массы т, соединенное с неподвижной стенкой пружиной жесткости с, может скользить по гладкой горизонтальной направляющей Ох. На тело действует сила Р'(2) (~ Р'(1) ~ < 1го).
В начальный момент времени тело неподвижно и находится на расстоянии ОР'е/с от положения равновесия. Найти закон изменения силы Р'(~), при котором тело за минимальное время вернется в положение равновесия с нулевой скоростью. 25.7. Груз массы т, подвешенный на пружине жесткости с, может совершать движение по вертикали в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости груза (коэффициент сопротивления равен 6). На груз действует ограниченная внешняя сила Е(2) (~Г'(~)~ < ге). Накими должны быть начальное положение и начальная скорость груза, чтобы при воздействии постоянной силы г" = сопв1 груз пришел в положение равновесия с нулевой скоростью за минимальное время по сравнению с другими допустимыми законами изменения силы Р'(~)? Рассмотреть следующие случаи: а) 62 — 4тс < 0; б) 02 — 4гпс > 0; в) 82 — 4тс = О. 25.8.
Максимальная тяга, котору|о может развивать двигатель турбопоезда массы т, равна Р. Считая силу сопротивления Л постоянной, найти наименьшее время прохождения поездом перегона протяженностью 1 между двумя остановками и максимальную скорость на перегоне. Рассмотреть следующие случаи: а) при работе двигателя сила тяги направлена только в сторону движения; б) сила тяги двигателя может быть направлена как в сторону движения, так и против него (реверс тяги). 25.9. Два одинаковых груза т (см.
рисунок), связанные между собой и со стенками одинаковыми пружинами жесткости с, могут 12о. Методы оптимального управления в задачах механиии двигаться без трения по горизонтальной направляющей А В, закрепленной на тележке; масса тележки равна Лг; массой колес можно пренебречь. В начальный момент грузы смещены на одинаковое расстояние а из положения относительного равновесия и обладают одной и той же относительной скоростью и. По какому закону должна К задаче 25.9 меняться приложенная к тележке сила Е® ()г'(1)~ < Ве), чтобы грузы вернулись за минимальное время в положение относительного равновесия с нулевыми относительными скоростями? 25.10.
Среди всевозможных путей, соединяющих точки Ае(цо, 1е) и Аг(г(г, 1~) (см. рисунок) расширенного (и+1)-мерного координатного пространства, на пути г((е) (, действие по Гамильтону Иг = ) 1,(г(, а1, 1) (Й (о у"(ци) имеет наименыпее значение (см. рису- нок). На пути ц(г) произвольно выбира- В(у(а),я) ется точка ВЯ(т), а) (Хо < т < Х() и рас- дВ) сматривается пучок всевозможных кривых ц*(1, п), соединяющих точки В и Аь ДоАо(Ч да) казать, что действие по Гамильтону И' = (, да = ) Ь(а(*, г(', 2) (ге имеет наименьшее зпаче- Ф я ние на кривой (1(а) (т < ( < 21).
(Принцип К задаче 25.10 оптимальности Р. Беллмана.) т 25.11. Действие по Гамильтону И' = 1 1 (с(, ц, 8) ей на пучке кри- м вых, соединяющих точки Ао(с)о, ео) и А1(ц~, 7'1з расширенного (и+ + 1)-мерного координатного пространства, при фиксированных (); и Т является функцией от ()~ и 1е, т.е. И' = (р(с(о,(е). Используя принцип оптимальности (см. задачу 25.10 и рисунок к пей), показать, что функция (р(г(~, (е) удовлетворяет уравнению га".ь я(а',а)= '" ( ( а(г(~),г(().~)гь..а(ч(ь;-о),а)), р(го)=д' р(га-( Ь)=а(го+а) 1 26.
Уравнения механики нсголономных систем 211 кю~ества 1, в соответствии с утверждением принципа максимума определяется из соотношения Н(х, р, й(х, р, 1), 1) = птах Н (х, р, й, 1), (и) где Н(х, р,п,1) = — 1(х,п,1) + 1 р,и;. Показать, что функция с=1 Н(с1, р, й(с1, р, 1), 1) совпадает с гамильтонианом механической системы, имеющей лагранжиан 1 = 1 (с1, с1,1). 25.16. Показать, что уравнение Беллмана, составленное для задачи оптимального управления объектом, который описан в предыдущей задаче, в предположении достаточной гладкости функции Беллмана совпадает с уравнением Гамильтона — Якоби механической системы, имеющей лагранжнан 1 (с1, 11, 1). й 26. Уравнения механики неголономных систем 26.1.
Па систему из Ю материальных точек наложены идеальные связи ), из которых я конечных (геометрических и дифференциальных интегрируемых) и с1 дифференциальных (неинтсгрируемых). Выбраны такие независимые обобщенные координаты оы оз,..., с1„ (и = 3% — я), что при подстановке зависимостей г; = г,(ды оз,...
..., о„, 1) (1 = 1, т) в уравнения конечных связей они тождественно удовлетворяются. Показать, что общее уравнение динамики 1 = дг, = ~„(тези; — У;)бге = О, бг; = 2,' бом выражающее идеальность ч связей 2, Н,бг, = О, можно представить в виде г=1 /д дТ дТ 1='Г~ ~— —,-- -1,1, б „=О, ~ Ф ддь ддь й=1 1 д' дг; и дг,, с' дг, где Т = — ~г,,ги,'г;и, у; = + 2, Оь, (~ь = ~ г";, . Можноли при условии И, ) О из выражения (1) получить уравнения движения в форме уравнений Лагранжа 2-го рода? о ) Здесь, как и обычно, предполагается, что при наличии в системе неидеальных связей нх реакции й.*, включены в числа активных сил, причем из зкспериментальных законов известны зависимости В; = й.",(г„г„г), как зто имеет место, например, при наличии сухого трения.
2. Аналитическая механика 278 26.2. Используя условия предыдущей задачи показать, что в координатах дй (Й = 1, п ) при наличии линейных дифференциальных связей ~ а,й(д11)да + пей(д, Ь) = 0 (и = 1, г() общее уравнение дина6=1 мики системы выражает следующее свойство: равенство (относительно бдй) Е /д ОТ ОТ бдй ) — - —,.— — —,. — 1„16 = О, п = ЗГйг — д 1, д1 ддй ддй 6=1 является следствием системы линейных уравнений а,й(д, й)бдй = 0 (и = 1, д).
6=1 Исходя из этого утверждения '), получить уравнения движения системы в форме Лагранжа 1-го рода. 26.3. Используя решение задачи 26.1, составить уравнения Лагранжа второго рода, считая, что на систему наложены только связи Д (д, 1) = О, 1 = 1, пм 26.4. Выяснить смысл сумм ~ аййХЬ в уравнениях движения системы материальных точек в форме уравнений Лагранжа 1-го рода Ы дТ дТ вЂ” — = (16+ лУ Х,п,й, 46 дуй ддй 1=1,п, гдеравенства 2 а,(д, 6)д,+по,(д! 6) =0(л=1, с()задаютуравнения э=1 неголопомпых связей.
системы выполняется условие (а, х") = 2,' айхй =- О. В линейной алгебре известй=1 но следующее утверждение: равенство (а, х) =- О является следствием системы уравнений (Ь', х) =- О (в = 1, т) в том и только том случае, если существуют такие вещественные числа йм что а = 1, 1.,Ь'. Это утверждение называется =1 теорелйой Минковского — Фаркаша. Эта теорема справедлива не только в случае линейных уравнений, но и в случае линейных неравенств. Именно! если неравенство (о, х) > О является следствием системы неравенств (6', х) 3 О (в = 1, т), то существуют такие неотрицательные 1, > О, что а = ~. ~.,6'. =1 1) Говорят, что уравнение (а, х) =- 2, айхй = О является следствием системы й=! уравнений (6', х) = 1; Ь,йхй = О (в = 1., гл), если для каждого решения хй этой й=1 1 26.
Уравнении механики негооономных систем 279 д дт дт дд 26.5. Доказать тождество — —, — — = — „, 1 = 1, п, где Т = , 2 = — ~тань — кинетическая энергия системы, Я 2 " д., энергия ускорений системы, чь = 2, де скорость Й-й точки, 1=1 91 дга„и дге нь = ~, д, + ~, дес) -- ее ускорение (гь =гь(д)). 91 ; у 1 91 91 26.6. Показать, что уравнения динамики голомной системы можно записать в виде уравнений Гиббса-.Аппеля дЯ/дде = Яе (1 = 1, и ), 1 2 дгь „ где Я = †, 1 тычь энергия ускорений систем, иеь = 2 ф + ь 1=1 д91 и дхгь + 2 д,д1 - ускорение 1с-й точки, а Яе-- обобщенные силы.
, дчедчз 26.7. Кинетическая энергия натуральной системы представляет собой однородную квадратичную форму импульсов. Используя принцип Даламбера, составить полуканонические уравнения Гамильтона. 26.8. Проекция вектора скорости т = 2 с); ее изобража1ощей точ1=1 ки в п-мерном координатном пространстве стационарной системы на и и направление вектора1 = ~ 1 е равна нулю, г 1 = ~, а01 с)1 = 1=1 г,1=1 и 1; д;. Считая эту связь идеальной, найти обобщенную силу, соот1=1 ветствующую реакции этой связи, и составить уравнения Лагранжа 2-го рода в зависимых координатах. 26.9.
При движении стационарной системы имеет место условие и д„~.1 = ~ 1;д;. Составить уравнения движения системы в форме 1=1 уравнений Гиббса Аппеля. 26.10. Угловые скорости твердого тела, которое вращается во- 3 круг неподвижной точки, подчинены условию ~ а,сое = О. Считая эту 1=1 связь идеальной, составить уравнения движения с неопределенным множителем. 26.11.
Движение главных осей центрального тензора инерции твердого тела задается тремя компонентами скорости центра масс тела и тремя проекциями угловой скорости тела на оси тензора инерции. Из принципа Даламбера получить теорему об изменении импульса и момента импульса. 280 2. А иалитичееиал лгехаиииа 26.12. На систему материальных точек наложены связи Ьг 2 , '1ыть = О. Введение независимых скоростей г), по формулам гг; = г=1 и 1'г' и а,гг)г обращает уравнения связей в тождества ~ ~', 1ь;а;гг)г = а=1 г=1г=1 ьг = О, если 2 1ыа„= О. Составить уравнения динамики системы г=1 в форме уравнений Маджи. 26.13.
Угловые скорости в; (г = 1, Ю) системы из гУ твердых те.тг вращающихся вокруг неподвижных точек, подчинены условиьг ям ~1ыш; = О. Независимые скорости вводятся по формулам ае = г=1 П гу = ~ ае,г), таК, Чта ~, '1Ыагл = О. СОСтаВИтЬ ураВНЕНИя дИНаМИКИ г=1 г=1 системы в форме уравнений Маджи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
