Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 64

DJVU-файл Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 64 Теоретическая механика (2645): Книга - 3 семестрЮ.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике: Теоретическая механика - DJVU, страница 64 (2645) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 64 - страница

2шо 8шо еК' = Ьш„А*„Агм 432 Решение наноничесних систем методом усреднен л [Гл. 9 Новый гамильтониан Нелинейные системы Следовательно, А„= тс7„ехр ( — Сс.'гш„С вЂ” Ср„), — (1 — ) сов [(ого + йпсг) С + ~рг~)— 11 / е12 хо 4ыо Й / йггт — — (1 + ) сов [(юо + Сьюг) С + ~рг ~ + ° ° ° хо 4ыо 9.3. Нелинейные системы 9.3.1. Локализация энергии в нелинейной системе. Гамильтониан связанных ангармонических осцилляторов Н =- Но + СлН, Но = — (р„+ соох„), ЬН = гехгхг — — (х~~+ хг).

Найти решение в первом приближении метода усреднения. Решение. В нулевом приближении 21„ х„= —" соз (шоС + х„), ыо р„= — 21„шо а1п(сооС+ р ) (Ц Поскольку среднее значение нового гамильтониана не равно нулю, то., сохраняя прежние обозначения, получим из (9.1.4) еК =- 2Сс 111г сов (Д1 — ~сгг) — гС(1г + 1г), (2) й = гс,С2шо, гС =- Л,С16ос~о. Произведем КП сс, 1 — ~ о, и, порождаемое ПФ Рг(у, и) = 1С'2(~рг + ~рг)яг + 1С'2(~сг — рг)яг: 1 1г.1 (п1 х пг): Фг,г Ч1 г- Чг 2 Тогда (2) приобретает вид е К'(Ф и) = Сс пл — яг соз 2еСг — — (п~~ + п~~). 2 Очевидно, еК' =. Со, пг = С первые интегралы.

Пусть при С = 0 первый осциллятор неподвижен, а второй отклонен на угол а. Полагая рд(0) — п,С2, 1д(0) = О, 1сг(0) =- О, 1г(0) = огоаг,С2, найдем начальные Заметим, что, полагая йгг = О., мы получим не исходное приближение (1), а суперпозицию решений нулевого приближения. Более того, полученныетаким образом собственные векторы нулевого приближения являются взаимно ортогональными [54].

Таким образом, метод усреднения позволяет определять собственные значения и собственные векторы. 434 Решение канонических систем методом усреднения [Гл. 9 условия ог з(0) = +л!4, рг з(0) = шоазгг2 .= 1о. Следовательно, С = = 1о, Со = — гг1о. Представим уравнение лз = [лз, еК']. лз = 2Й лг~ — лз~ зги 2оз в виде лз = 1(ло), 1(л) = — (л — 1о) (О (л — 1о) + 4й ]. (3) Решение уравнения (3) существенно зависит от соотношений между значениями к, ц и 1о.

А. Положим й = О, т. е. осцилляторы независимы. Тогда кз(1) = 1о. Далее находим ог з(8) = — г11о1+ л,г4. Решение усредненной системы ~рг(1) = л,г2, 1г (1) = О, дг(1) =- — Ла~1)16гоо + лгг2, 1з(1) =- 1о. Б. Пусть ц = О, т.е. имеем два связанных линейных осциллятора. Тогда г(л) =- 4к~ (1о — л~), лз = — 1(лз): лз = 1о сов 2И. Следовательно., полная энергия Ез г (1) = гсо 1з, г (1) = — ш 1о (1 + сов 2 И ) . 1 2 (4) Ез г(1) 2 гсо 1о(1+ сЬ г11о4) Д. При условии е = 2й,гц1о < 1, соответствующем аз > 32н/Л, область допустимых значений лз ограничена неравенствами 1г < ло < 1о, 1 — 1о(1 ез)1!2 Если е « 1, то 1г = 1о(1 — езгг2).

Максимальное значение энеРгии первого осциллятора 1 1 о Ег так шо (1о — 1г) = — шо1ое « г 'о1о. 2 4 В этом случае первый осциллятор почти не возбуждается. Подстанов- кой лз = 1ои решение уравнения (3) Ыи г11ог =- 'Гг — ')( ' — еч ' багз 1 2 еж ге 1о х можно записать в терминах эллиптической функции лз х г1гг (г11о1, е). Энергия осцилляторов Ео г =- — шо1о (1 + г(п (01о4, е)]. 1 В этом проявляется эффект биений периодический обмен (с частотой 2Й = лг,гаго) энергией осцилляторов.

В. Пусть п1о < 21с. Область изменения ~лз] < 1о. Эффект биений сохраняется. Г. Пусть п1о = 2й. В этом случае лз(1) = 1о сЬ ~ т~1о1, Нелинейные системы Частота биений пц1о/К, где К -- полный эллиптический интеграл. Ангармоничность осцилляторов приводит к подавлению эффекта биений в нелинейных системах возникают высоковозбужденные локализованные состояния ]113]. 9.3.2. Параметрический резонанс в нелинейной системе.

Найти решение уравнения х + (ите — Й сов ит1) х = — х, Й (( ито 2 2 2 3! в первом приближении метода усреднения. Решение. Гамильтониан задачи Н(х., р., 1) =- — р + — (ит — й сов ит8) х — — х . 2 1 2 2 Л 4 2 2 0 4! Производя КП х = (2р'/ито) и 2 сов х', р = — (2р'иге) ь~г гбп х', запишем Н в виде Н = Не+ ЬН, Но = р ( ые — сов иЛ), й 2ито ЬН=- — р совит1сов2х — — ( — ] сов х.

/с Л /2р''12 2хо 4! хо Далее КП х' = итеМ вЂ” и етпсс1+ р' (и = й/2итсге), р' = 1' позволяет привести с2Н к виду т Л 1'~ е12 = — — 1' (пит+ —, — ),1„(2и) сов ((2иге — пш)1+ 2ст']— 2 3! итс~ п 1'г — —, (3+,7„(4и) сов ((4ито — пег)1+ 422']). 4! 2хо Рассмотрим резонансный случай, полагая иге = сит/2+ д, где в целое число, ]д] « сс. Перейдем к медленным переменным.

Поскольку мы ограничимся первым приближением, то преобразование (9.1.3) является тождественным. Поэтому, не изменяя обозначений, найдем еК' = — ст1' сов(2р'+ 2М) — Л'1'2, где <т = (1,~2)вю.lт(2и), Л' = Л/16итег. Производящая функция Рг(у', 1, 2) = (ст' + й) 1, реализующая замену Эг' = чт — б1, 1' = 1, позволяет получить гамильтониан, не зависящий явно от времени: е К(сг, 1) = (б — о сов 2ит) 1 — Л'12.

Учитывая, что еК = С является первым интегралом, запишем урав- нение 1 =- '(1, е К] в виде 12 = Р(1) Р(1) — -4 (С вЂ” 31+ Л'1')г+ 4п212. (1 436 Решение канонических систем методом усреднен л [Ггь 9 А. Пусть Л = О. Переходя к уравнению второго порядка 1+ 4 (оз— — о~) 1 = 4БС, получим решения 1(8) =-- 1о соя(П8+ ~ро) + г; П~ = 4(б — т~) ) Ог й~ 1(1) =- 1о сй (и!+ гро) —,, иг =- 4 (оз — бг) ) О, 44С и Условие оз < оз определяет границу областей неустойчивости ! 2 2 '(агы ) ( ) Область разрешенных значений 1 ) С,г(о + д). Б. Если Л Р' О, то все решения уравнения (1) конечны.

Это обстоятельство обусловлено тем, что с ростом амплитуды уменьшается частота колебаний и нарушается условие синхронизма (2). Полученный результат весьма важен для нелинейной оптики интенсивная волна, падающая на периодическую среду под брегговским углом, проходит через нее практически без ослабления. В. Стационарный режим определяется условиями 1 = 1 = О. При ~6~ < о из (3) находим 1 = (д + о) г2Л', соя2гр = — 1. В этом случае о4о .

/ ог й х =, ягп ( я — 1+ ягпаг1). 2агаго 9.3.3. Найти решение уравнений бетатронных колебаний хг + аггхг =- Лхгхг хг + ага хг = — (хз — хг) (1) 2 .. з Л 2 2 2 в резонансном случае агг = 2агг [1]. Решение. Гамильтониан Н = Не+ ЬНг Но = р~ (2+ог~~х~ (2, ЬН = = (Л/2) (хгхгз — х~згг3). После КП х„= 21„(аг„сов(аг„1+ гР„)г Р„= = — ч/21„~ы,„ягп (ог„1+ уг„) новый гамильтониан имеет вид е 6(уг 1г 1) = йт „, ехр [ — г (паг) 1 — г (пзг)~ г ог, ог Но1 = й (21гш( — 12~2 )ъ~!з г Ноя = — 1зчгг12, Загг Йш = Нз — г = ага, '!гав~ г й = Л (4ъг2агг ) Все остальные коэффициенты равны нулю. В случае агг — — 2шы агг —— - аго яЬ(уг, 1, 1) = — к!г 1з соя(уз — 2угг)+ Нае аго 9.3] Нелинейные системы Здесь Лз = Логе' "", Ле = Логе зню зе'г Ло = Лозе' """.

Усредненный гамильтониан приводит к уравнениям, решения которых получены в задаче 7.3.3. Заметим, что в работе [114], посвященной изучению галактических моделей, рассмотрено уравнение движения звезды в окрестности положения равновесия, которое совпадает с (1). Решение этой задачи детально исследовано в [115-117[ численными методами. 9.3.4. Конфигурация поля в плоском магнетроне определяется 4- потенциалом Ф(г) = Еу, А(г) = В(0, О, у). Электроны эмитируются катодом (плоскость у = 0) с нулевой начальной скоростью.

Плоскость У = Ы ЯвлЯетсЯ анодом. ПРи 2то < д (го = и,гй, й = еоВ(тс, и = = — сЕ/В) магнетрон запе1гг. Показать, что бегущая волна с потенциалом Ф = Еоггй зЬ гсу яп (ого — йз) при точном синхронизме (ог = йи) отпирает магнетрон [102[. Найти уравнения движения ведущих центров в первом приближении метода усреднения. Решение. Гамильтониан системы Н = — (р„+ р ) + — (р, + тйу) — еоЕУ вЂ” еоФ-. 2 2 з 2т * " 2т ПРоизведем КП Р = Рг, Ро — — Рз, Р, = Рз, х = хг, У = хз — Рз(тй+гог з =- хз + и1 — Рзггтй, порождаемое ПФ Ез =- хРг + (У вЂ” то) Рз + (з — и1) Рз + В новых переменных гамильтониан Н = Но + АН, Но = — + — + — тй хх Рг Рг 1 з з 2т 2т 2 АН =- зЬгс(хз — + то) япй(хз — ).

Решение уравнений с гамильтонианом Но., хг = хг + Ргггт1г рг = Рг, хз=хз Рз=Рз хз = — соз(йг+ гР)г Рз = ъ'21тй яп(йз+ гР). 21 тй Возвращаясь к исходным переменным, получим уравнение проекции траектории в плоскости уз: 2 (у — Лз) +(з — Лз — и1) = ( ), где Лз =- го — р~зггтйг Лз = — хгз координаты ведущего центра. Задавая начальные условия г(0) = (О., Ог зо)г и(0) = О., получим значения канонических постоянных хг = О, ог =- О, хз —— - зо, рг = — О, 1 = тйго ~2, рз = — О. Поскольку кхз « 1, Иго « 1, то можно использовать дрейфовое приближение, полагая еК =- „зЬгсЛз япИЛз.

ео Ео 438 Решение канонических систем методом усреднен л [Гл. 9 Из уравнений движения йз = — и вЬн1ез сов1егез, Вз — — — — и с1зоегез з1пк1гз и первого интеграла вй нйз в1п кРез = з1з иго в1п ало следует, что при соз йхо > 0 ведущие центры смещаются к аноду. Часть электронов, для которых соз йхо < О, поглощается катодом. 9.3.5. Заряженная частица в высокочастотном поле резонатора.

Электроны движутся в высокочастотном поле прямоугольного резонатора, помещенном в статическое электромагнитное поле, заданное потенциалами ~р'~(х) и А'"'(х). Найти эффективный гамильтониан взаимодействия электронов с электромагнитным полем резонатора, соответствующий плавной компоненте траектории. Решение. Резонатор ограничен металлическими плоскостями 0 < х < а., 0 < у < Ь, 0 < х < с. Вектор-потенциал поля стоячей волны скалярный потенциал Ао .= О, напряженности электрического и маг- нитного полей волны дА~ Е(1., х) = — , .Н(1, х) = гоФА~ дс8 Здесь И'1 1 потенциал Герца, ~ = (О, О, И'00(х, и)), '". " -- ( -) со (" ")-"("')- "': где ш = ш кы ш еь = ск ((т/а)~+ (и/Ь) + (И(с))~ -- возможные 1/2 частоты волн при заданных размерах резонатора., т, и., й = О, 1, 2, ... Пусть в резонаторе возбуждена волна простейшего типа ТЕ1ом Вектор-потенциал и напряженность электрического поля А(1, х) =- СА~ ~(х) соз(ш1), А1 ~(х) =- (О, А, 0), А =- — в1п (™) з1п ( — ), Е(1, х) .=- СЕ1 ~ в1п(ш1), Е~ ~ = (О, —, 0), где ш = ш1оы С вЂ” - константа.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее