Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Гамильтониан системы Н =- Е„а*„а„+ р'(1) а~п, + р'*(1) а.*,а2 н=ц 2 приводит к уравнениям, описьшаюгиим взаимодейсгвие двухуровневого атома с излучением. Показать, что вектор Я (см. задачу 7.3.6) удовлетворяет уравнению Я .= [ЙЯ], Г1(г) = (Ъ'+ У*, — «(à — Г»), Е| — Е2). Указание. Представить гамильтониан в виде Н = (Е2+ Е2) %+ йЯ. Таким образом, эволюция двухуровневой системы может быть описана в терминах фиктивного вектора Я [99].
7.3.8 — 7.3.9. Движение магнитного момента частицы в магнитном поле. Энергия взаимодействия частицы с магнитным полем Н(1, х) = — 1«В(1, х), где 1« = дпвЯ вЂ” среднее значение оператора магнитного момента, Я вЂ” эффективный средний спин, д — фактор Ланде, дв = ей/2«п„рв = 5,787. 10 в эВ/Тл — магнетон Бора. 7.3.8. Найти решение уравнений движения момента в постоянном квазинеоднородном поле индукцией В(х) методом теории канонических преобразований [155]. Решение. Вектор Я удовлетворяет уравнению — =- [йЯ], 48 где й = — 7В, 7 = 8дв/Ь [54].
Очевидно, Я~(1) = Яе~ — первый интеграл. Для нейтрона и прогона дцв — ~ йн,ррр«, где д„ = — 3,826, д„ = = 5,586, цк = 3,15 10 з эВ/Тл — ядерный магнетон. Магнитный момент ферромагнитной частицы р = МУ, где М вЂ” объемная плотность магнитного момента, У вЂ” объем частицы; М 107 (Дж!(Тл.мз)).
Уравнение (1) — результат усреднения гейзенберговских уравнений движения оператора спина по суперпозиции состояниий квазикласснческого волнового пакета. Поэтому оно не принадлежит к лагранжевым или гамильтоновым уравнениям и не следует из какого-либо вариационного принципа. Однако уравнение (1) можно представить в гамильтоновой форме, используя подход Швингера, установившего связь между оператором момента импульса н спаренными операторами «рождения> и «уничтожения», которые можно ввести прн рассмотрении двух гармонических осцилляторов. Введем согласно условию задачи 7.3.6 «координаты» и «импульсы» Ць = аь, Рь =- гаь (К =- 1, 2) с фУндаментальной скобкой ПУассона (СП) [д; рь] = з,ь.
Поскольку СП [Я,, Я ] .— з, ьоь, то уравнение (1) [Гл. 7 376 Ураоненил Гамильтона приобретает гамильтонову форму с[Я))е)2 = [Я, Н) с гамильтонианом Н =- ИЯ. На траектории частицы й(г) =. — у В(2), В(2) = В(х(2)). В терминах канонических переменных гамильтониан Н = — [а,*азй + азагйь + (а1аг — азаг) йз) ) (2) где й~ = й) + гйз. Уравнения движения е[аь))с[2 = [аь Н) имеют вид = — [Нана„, й = 1, 2, (3) где Ны = йз))2, Нщ = й. ))22 Нз, = йт ))22 Нзз = — йз))2. Для диагонализации гамнльтониана найдем вначале решение задачи на собственные значения Ли„= — Н„ьиы Из уравнения е[е1 (Н + -> ЛТ) =- 0 получим собственные значения Л) з — — тЛо, Ло =- й))2, где й = йз1+йз+й~~. Подставляя Л = Л1 з, найдем ортонормированные собственные векторы и„)О и и„)з) ) й — йз й 2Й)й — Й ) й — йз )з) йй йч 2Й)й Й ) Можно параметризовать собственные векторы, вводя сферические углы О и у) вектора В соотношениями В, = Взз соя)р, Вз .= В,з я)п))й, Вщ = В юп0.
Вз — — В соя В) В1з = Вз+ Вз. Запишем гамильтониан (2) вформе Н = — г'Н „р о„и произведем КП 21Ь =- аю РЬ = Еаь — > О~я —— - СЫ Р~ь —— — [еь,ПОРОжпаЕМОЕ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ функцией Г,(д, р'2 ~) .=. (Л')„„р'„д„ ицц = соя — е 2)21з) ицз[ = — я)п — е ')21з) (5) в „, и2(О я)п 2 е д из<я) = соя — еоя)~. 2 Каноническое преобразование о' = дйз/др', р = дРЦдо, порождаемое производящей функцией Гз, имеет вид Чп = Лйс Чн) Р й = (Л)нтрн зависящей от старых координат и новых импульсов. Здесь Л н = и„,[„) — унитарная матрица) столбцами которой являются собствен- ные векторы матрицы Вег))2В) совпадающие с (4) с точностью до фазового множителя: 7.3] Системы специального вида 377 Поскольку (Л) ~ь —— (ица~]*, то д„= и„~ ~д„, р = [и сп~)*р„. (6) После замены переменных новый гамильтониан Н'(д', р', 1) = (Н + + ВР~ (д1) равен Н' =- Но + Ь'.
Но(с', р', 1) = — гН„'р'„9', Ь'(9', р', 1) = оггар' д', (7) где Н' = (Л)~ Н „Л„= — Лпд„а, ог„о(1') = Л~ьЛьа. Следовательно, каноническое преобразование приводит гамильтониан Нв(с1', р', 1) к диагональной форме Н'(д', р', 1) = — Л„с*„с„, или Нв .— — — Й(г) 0сг) — )сг! ). Предположим, что индукция магнитного поля на траектории частицы удовлетворяет условию ~ып ~ << П(1)., р„о = 1, 2. Тогда Н'Ц', р', 1) - — Л„с„'с„. Решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Н', представляет собой КП сь — г Ьь: сг — — Ьге'"~~, сг = Ьге го~~, г1Я = — ) Й(Х) М, Ьг -— — ьсЗв + С егд~~, Ьг =- ь'Зс — С е С и Д постоянные интегрирования.
Общее решение уравнений (3) имеет вид а„= Л„с . В результате подстановки а„= Л„с получим компоненты вектора Я„= й„~ ~Я', где й„~ ~ — декартовы компоненты действительных векторов В~ ~ (о = 1, 2, 3): ВгВз Вг В В В~~ Ц~~ В~~ Цз~ В ВВз В, Вг (9) ~г0~ =- ВВ,г: Нгбй = В,: ~г(з~ = Вгг Вз Нзрй = В: Нз~г) = 0 Нз(з> = —. Компоненты вектора Я' получим после замены а„— г с„в компонен- тах Я,„,приведенных в решении задачи 7.3.6: Ног — Сг соз(г1+ 11), Я' = — Ввг — Сг зш(В+ 3),. Яз = С. (10) Поскольку ВЯ = ВС, то в квазиоднородном магнитном поле величина С .= ВЯ/В проекция вектора Я на касательную к силовой линии, является адиабатическим инвариантом. Среднее значение (Я) = КзС =- ВС/В.
[Гл. 7 Уравнения Гамильтона 378 ЕГО,',ГЕ[1 = я,внй'„Н„'. Компоненты йь —.— Еюй, — Го'„соответственно равны (11) й', = (Й1 со31р+ЙЯ яп1р) совд — (ЙЯ вЂ” 1р) япд, (12) Й~Я вЂ” — — Й1 вп 1р + йз соя р+ д, ЙЯ вЂ” — (Й1 соя р+ ЙЯ яп 1р) вид + (ЙЯ вЂ” 1р) соя д, где Й(1) = — уВ(1). Решение уравнения (1) Н1 = (Н' соя д+ НЯ яшд) соя д — Н' яп 1р, (13) ЯЯ (Я1 сов О + ЯЯ Я1п д) 31п 'р + ЯЯ сОЯ 1р~ оз = Я[ 31пд+ оз СОЯ О. Полагая В(1) =- В(вп О соя р., вп д яп 1р, соя д), получим угловую скорость (12) во вращающейся системе координат Й1 — — 1р вид, ЙЯ вЂ” — О, й~ —— - й — 1р соя д.
Отсюда следует, что адиабатический инвариант С = = ВВ/В существует при условии й >) [Го'[. Сделаем два замечания. 1. Предпгавим уравнение (1) в тензорной форме: е[Н1ГГГ(1 = А1ЯНЯ, где А,ь = я, ьй (1) антисимметричный тензор; А31 —.- ЙЯ., АЯЯ = Й„Аю = йв Тогда векторы 1 Ъ рц = — (Врц +1КГц), А [31 = [Ъ'Гц), У[31 = ВГ31 ъГ2 представляют собой собственные векторы уравнения а~г1 = А, $' (егГ"1 — матрицы Паули, и = 1, 2, 3), соответствующие собственным значениям ГГ1 = — Яй, ОЯ вЂ” — Яй, ОЯ =- О. Векторы Ъ'Г ~ образуют ортогональный базис [Ъ'Г [)* т'Гд[ = 6 д [15б[. 2.
Уравнения Лагранжа — Эйлера для функционала 1 =- ~ Ю Ь(аю аы 1), 1 Г аа„, о[а„1 Ь(аь, агн 1) =- — ~а„" — а„* ) + Н(а*, аь, 1), Щ П имеют форму уравнений Гамильтона. Существенным достоинством гамильтонова формализма является возможность применения новых Отметим, что КП аь — г сь задает переход к новому базису пь — г п'„ (/е = — 1, 2, 3), в котором вектор В направлен по орту п~. Действительно, Екв =- (Н "1)ев —.
матрица поворота вокруг осей 323 на эйлеровы углы д1 — — д, 1рз = О, 1рз =- О, которые представляют собой обычные сферические углы оси е'. Тогда в новом базисе Н! = — Е,ь Нь, компоненты угловои скорости Го1 =- — р вид. Газ =- О, и13 — — 1р соя д. Подставляя Н = Н„'Ен в (Ц и учитывая соотношение 11Еь ГГМ = яь,ьЕ, Го'„ получим уравнение 7.3] Систпемы специального вида Н = — — )агагйре™+ агагйре ™+ (а*,а1 — агаг) Йо) 2 0<2<т, (1) где йр = 76р. Два последовательных КП а — р Π— р с: аг = О1 ехр (гоЛ/2), аг = дг ехр ( — гоЛ/2); Во .
Во . Во В О1 = С1 СОЭ вЂ” — С2 Е1П вЂ”, Ог = С1 Я1П вЂ” + С2 СОЭ вЂ”, 2 2 ' 2 2 ' сов до = ' Й2 = Й'+(Йо — ог)' й йр япВО = — ' й ' приводят гамильтониан к диагональной форме Н вЂ” р 6, 6 = — — Й ()с1) — )сг) ). 2 (2) Решение канонических уравнений, порождаемых гамильтонианом (2) 1й11'2 С1= 1Š— гйг/2 Сг = 2Е где 61 = уТ+ С ехр(18,12), 62 = у'Т вЂ” С ехр( — гВ/2), С и,З— постоянные. В новых переменных вектор момента 1 — Сг сов(Й6+ В)., Яг = — 1 — Сг яп(Й6+,3), Вг .= С. (4) Переходя к новым переменным а — р с, получим решение канонических уравнений Я(6) в области 0 < 6 < т: Я1 = (Я1 соэдо+ 521 япВО) соэьЛ+ Яг вп1в6, Яг =- — (В1' соэ до + Вг вп Во) Яп ОЛ + Яг соэ ог6, (5) Ва =- — О1 э'п Во + Вг соэдо Если выполняется условие резонанса 1в = Йо, то до =- я/2. Компоненты угловой скорости в новом базисе й' = Й' = О, й', = — йр соответству- ют эффективной индукции В' = (О, О, Ьр).
Решение (5) в интервале времени 0 < 6 < т приобретает вид: Я1 = Вг сОэ оЛ + Яг в1п ш6, Яг —" Яг в1П в 1 + Яг СОЗ Ю1 ЯЗ вЂ” Я1 ° (б) методов интегрирования канонических уравнений движения [1, 157, 158). Введение функционала позволяет использовать прямые вариационные методы типа Бубнова — Галеркина. 7.3.9. Классическая теория магнитного резонанса.
Частица движется в магнитном поле, индукцией В(6) = Во + Вр(2), Во = (О, О, 6о), Вр —— Ьр(сов ОЛ, — яп ОЛ, 0) ~(6), У(6) = О, при 6 < О, 2 > т, г(2) = 1 в интервале 0 < 6 < т. Найти решение уравнений движения магнитного момента при условии св = Йо, йо = тЬО. Решение. Гамильтониан частицы [Гл. 7 Уравнения Гамильтона Пусть Я(0) = (О, О, 1). Тогда из (4), (6) находим Я'(0) = ( — 1, О, 0), С =- О, ф =- я, Я[ — сов Йр1~ Яз — в!п Йр1~ Яз — 0 (7) Следовательно, компоненты вектора Я(1) в интервале времени 0 < 1 < т соответственно равны Я1 (1) — вп Йр1 вп Йо1 Яз(1) в1пй 1 совйв1 Яа(1) сов йр1 (8) Яг(1) =.
Бз(т) вшйо(1 — т), Яз(1) = Яз(т) совйо(1 — т), Вз(1) = Ь',,'(т) =- О. В результате возникает переменный магнитный поток, который может индуцировать ЭДС индукции в катушке, содержащей образец из исследуемого материала [159]. 7.3.10. Найти решение канонических уравнений с гамильтонианом Н = — 2РВЯ, Вф = В(япд совы1, вид япы1, совд). Решение. Исходный гамильтониан Н = — ы„в[п 0 (а, азе ' + а,азе™) — ы„сов 0 ([аг [ — [аз[ ), где оо„= РВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
