Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 56

DJVU-файл Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 56 Теоретическая механика (2645): Книга - 3 семестрЮ.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике: Теоретическая механика - DJVU, страница 56 (2645) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 56 - страница

Гамильтониан системы Н =- Е„а*„а„+ р'(1) а~п, + р'*(1) а.*,а2 н=ц 2 приводит к уравнениям, описьшаюгиим взаимодейсгвие двухуровневого атома с излучением. Показать, что вектор Я (см. задачу 7.3.6) удовлетворяет уравнению Я .= [ЙЯ], Г1(г) = (Ъ'+ У*, — «(à — Г»), Е| — Е2). Указание. Представить гамильтониан в виде Н = (Е2+ Е2) %+ йЯ. Таким образом, эволюция двухуровневой системы может быть описана в терминах фиктивного вектора Я [99].

7.3.8 — 7.3.9. Движение магнитного момента частицы в магнитном поле. Энергия взаимодействия частицы с магнитным полем Н(1, х) = — 1«В(1, х), где 1« = дпвЯ вЂ” среднее значение оператора магнитного момента, Я вЂ” эффективный средний спин, д — фактор Ланде, дв = ей/2«п„рв = 5,787. 10 в эВ/Тл — магнетон Бора. 7.3.8. Найти решение уравнений движения момента в постоянном квазинеоднородном поле индукцией В(х) методом теории канонических преобразований [155]. Решение. Вектор Я удовлетворяет уравнению — =- [йЯ], 48 где й = — 7В, 7 = 8дв/Ь [54].

Очевидно, Я~(1) = Яе~ — первый интеграл. Для нейтрона и прогона дцв — ~ йн,ррр«, где д„ = — 3,826, д„ = = 5,586, цк = 3,15 10 з эВ/Тл — ядерный магнетон. Магнитный момент ферромагнитной частицы р = МУ, где М вЂ” объемная плотность магнитного момента, У вЂ” объем частицы; М 107 (Дж!(Тл.мз)).

Уравнение (1) — результат усреднения гейзенберговских уравнений движения оператора спина по суперпозиции состояниий квазикласснческого волнового пакета. Поэтому оно не принадлежит к лагранжевым или гамильтоновым уравнениям и не следует из какого-либо вариационного принципа. Однако уравнение (1) можно представить в гамильтоновой форме, используя подход Швингера, установившего связь между оператором момента импульса н спаренными операторами «рождения> и «уничтожения», которые можно ввести прн рассмотрении двух гармонических осцилляторов. Введем согласно условию задачи 7.3.6 «координаты» и «импульсы» Ць = аь, Рь =- гаь (К =- 1, 2) с фУндаментальной скобкой ПУассона (СП) [д; рь] = з,ь.

Поскольку СП [Я,, Я ] .— з, ьоь, то уравнение (1) [Гл. 7 376 Ураоненил Гамильтона приобретает гамильтонову форму с[Я))е)2 = [Я, Н) с гамильтонианом Н =- ИЯ. На траектории частицы й(г) =. — у В(2), В(2) = В(х(2)). В терминах канонических переменных гамильтониан Н = — [а,*азй + азагйь + (а1аг — азаг) йз) ) (2) где й~ = й) + гйз. Уравнения движения е[аь))с[2 = [аь Н) имеют вид = — [Нана„, й = 1, 2, (3) где Ны = йз))2, Нщ = й. ))22 Нз, = йт ))22 Нзз = — йз))2. Для диагонализации гамнльтониана найдем вначале решение задачи на собственные значения Ли„= — Н„ьиы Из уравнения е[е1 (Н + -> ЛТ) =- 0 получим собственные значения Л) з — — тЛо, Ло =- й))2, где й = йз1+йз+й~~. Подставляя Л = Л1 з, найдем ортонормированные собственные векторы и„)О и и„)з) ) й — йз й 2Й)й — Й ) й — йз )з) йй йч 2Й)й Й ) Можно параметризовать собственные векторы, вводя сферические углы О и у) вектора В соотношениями В, = Взз соя)р, Вз .= В,з я)п))й, Вщ = В юп0.

Вз — — В соя В) В1з = Вз+ Вз. Запишем гамильтониан (2) вформе Н = — г'Н „р о„и произведем КП 21Ь =- аю РЬ = Еаь — > О~я —— - СЫ Р~ь —— — [еь,ПОРОжпаЕМОЕ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ функцией Г,(д, р'2 ~) .=. (Л')„„р'„д„ ицц = соя — е 2)21з) ицз[ = — я)п — е ')21з) (5) в „, и2(О я)п 2 е д из<я) = соя — еоя)~. 2 Каноническое преобразование о' = дйз/др', р = дРЦдо, порождаемое производящей функцией Гз, имеет вид Чп = Лйс Чн) Р й = (Л)нтрн зависящей от старых координат и новых импульсов. Здесь Л н = и„,[„) — унитарная матрица) столбцами которой являются собствен- ные векторы матрицы Вег))2В) совпадающие с (4) с точностью до фазового множителя: 7.3] Системы специального вида 377 Поскольку (Л) ~ь —— (ица~]*, то д„= и„~ ~д„, р = [и сп~)*р„. (6) После замены переменных новый гамильтониан Н'(д', р', 1) = (Н + + ВР~ (д1) равен Н' =- Но + Ь'.

Но(с', р', 1) = — гН„'р'„9', Ь'(9', р', 1) = оггар' д', (7) где Н' = (Л)~ Н „Л„= — Лпд„а, ог„о(1') = Л~ьЛьа. Следовательно, каноническое преобразование приводит гамильтониан Нв(с1', р', 1) к диагональной форме Н'(д', р', 1) = — Л„с*„с„, или Нв .— — — Й(г) 0сг) — )сг! ). Предположим, что индукция магнитного поля на траектории частицы удовлетворяет условию ~ып ~ << П(1)., р„о = 1, 2. Тогда Н'Ц', р', 1) - — Л„с„'с„. Решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Н', представляет собой КП сь — г Ьь: сг — — Ьге'"~~, сг = Ьге го~~, г1Я = — ) Й(Х) М, Ьг -— — ьсЗв + С егд~~, Ьг =- ь'Зс — С е С и Д постоянные интегрирования.

Общее решение уравнений (3) имеет вид а„= Л„с . В результате подстановки а„= Л„с получим компоненты вектора Я„= й„~ ~Я', где й„~ ~ — декартовы компоненты действительных векторов В~ ~ (о = 1, 2, 3): ВгВз Вг В В В~~ Ц~~ В~~ Цз~ В ВВз В, Вг (9) ~г0~ =- ВВ,г: Нгбй = В,: ~г(з~ = Вгг Вз Нзрй = В: Нз~г) = 0 Нз(з> = —. Компоненты вектора Я' получим после замены а„— г с„в компонен- тах Я,„,приведенных в решении задачи 7.3.6: Ног — Сг соз(г1+ 11), Я' = — Ввг — Сг зш(В+ 3),. Яз = С. (10) Поскольку ВЯ = ВС, то в квазиоднородном магнитном поле величина С .= ВЯ/В проекция вектора Я на касательную к силовой линии, является адиабатическим инвариантом. Среднее значение (Я) = КзС =- ВС/В.

[Гл. 7 Уравнения Гамильтона 378 ЕГО,',ГЕ[1 = я,внй'„Н„'. Компоненты йь —.— Еюй, — Го'„соответственно равны (11) й', = (Й1 со31р+ЙЯ яп1р) совд — (ЙЯ вЂ” 1р) япд, (12) Й~Я вЂ” — — Й1 вп 1р + йз соя р+ д, ЙЯ вЂ” — (Й1 соя р+ ЙЯ яп 1р) вид + (ЙЯ вЂ” 1р) соя д, где Й(1) = — уВ(1). Решение уравнения (1) Н1 = (Н' соя д+ НЯ яшд) соя д — Н' яп 1р, (13) ЯЯ (Я1 сов О + ЯЯ Я1п д) 31п 'р + ЯЯ сОЯ 1р~ оз = Я[ 31пд+ оз СОЯ О. Полагая В(1) =- В(вп О соя р., вп д яп 1р, соя д), получим угловую скорость (12) во вращающейся системе координат Й1 — — 1р вид, ЙЯ вЂ” — О, й~ —— - й — 1р соя д.

Отсюда следует, что адиабатический инвариант С = = ВВ/В существует при условии й >) [Го'[. Сделаем два замечания. 1. Предпгавим уравнение (1) в тензорной форме: е[Н1ГГГ(1 = А1ЯНЯ, где А,ь = я, ьй (1) антисимметричный тензор; А31 —.- ЙЯ., АЯЯ = Й„Аю = йв Тогда векторы 1 Ъ рц = — (Врц +1КГц), А [31 = [Ъ'Гц), У[31 = ВГ31 ъГ2 представляют собой собственные векторы уравнения а~г1 = А, $' (егГ"1 — матрицы Паули, и = 1, 2, 3), соответствующие собственным значениям ГГ1 = — Яй, ОЯ вЂ” — Яй, ОЯ =- О. Векторы Ъ'Г ~ образуют ортогональный базис [Ъ'Г [)* т'Гд[ = 6 д [15б[. 2.

Уравнения Лагранжа — Эйлера для функционала 1 =- ~ Ю Ь(аю аы 1), 1 Г аа„, о[а„1 Ь(аь, агн 1) =- — ~а„" — а„* ) + Н(а*, аь, 1), Щ П имеют форму уравнений Гамильтона. Существенным достоинством гамильтонова формализма является возможность применения новых Отметим, что КП аь — г сь задает переход к новому базису пь — г п'„ (/е = — 1, 2, 3), в котором вектор В направлен по орту п~. Действительно, Екв =- (Н "1)ев —.

матрица поворота вокруг осей 323 на эйлеровы углы д1 — — д, 1рз = О, 1рз =- О, которые представляют собой обычные сферические углы оси е'. Тогда в новом базисе Н! = — Е,ь Нь, компоненты угловои скорости Го1 =- — р вид. Газ =- О, и13 — — 1р соя д. Подставляя Н = Н„'Ен в (Ц и учитывая соотношение 11Еь ГГМ = яь,ьЕ, Го'„ получим уравнение 7.3] Систпемы специального вида Н = — — )агагйре™+ агагйре ™+ (а*,а1 — агаг) Йо) 2 0<2<т, (1) где йр = 76р. Два последовательных КП а — р Π— р с: аг = О1 ехр (гоЛ/2), аг = дг ехр ( — гоЛ/2); Во .

Во . Во В О1 = С1 СОЭ вЂ” — С2 Е1П вЂ”, Ог = С1 Я1П вЂ” + С2 СОЭ вЂ”, 2 2 ' 2 2 ' сов до = ' Й2 = Й'+(Йо — ог)' й йр япВО = — ' й ' приводят гамильтониан к диагональной форме Н вЂ” р 6, 6 = — — Й ()с1) — )сг) ). 2 (2) Решение канонических уравнений, порождаемых гамильтонианом (2) 1й11'2 С1= 1Š— гйг/2 Сг = 2Е где 61 = уТ+ С ехр(18,12), 62 = у'Т вЂ” С ехр( — гВ/2), С и,З— постоянные. В новых переменных вектор момента 1 — Сг сов(Й6+ В)., Яг = — 1 — Сг яп(Й6+,3), Вг .= С. (4) Переходя к новым переменным а — р с, получим решение канонических уравнений Я(6) в области 0 < 6 < т: Я1 = (Я1 соэдо+ 521 япВО) соэьЛ+ Яг вп1в6, Яг =- — (В1' соэ до + Вг вп Во) Яп ОЛ + Яг соэ ог6, (5) Ва =- — О1 э'п Во + Вг соэдо Если выполняется условие резонанса 1в = Йо, то до =- я/2. Компоненты угловой скорости в новом базисе й' = Й' = О, й', = — йр соответству- ют эффективной индукции В' = (О, О, Ьр).

Решение (5) в интервале времени 0 < 6 < т приобретает вид: Я1 = Вг сОэ оЛ + Яг в1п ш6, Яг —" Яг в1П в 1 + Яг СОЗ Ю1 ЯЗ вЂ” Я1 ° (б) методов интегрирования канонических уравнений движения [1, 157, 158). Введение функционала позволяет использовать прямые вариационные методы типа Бубнова — Галеркина. 7.3.9. Классическая теория магнитного резонанса.

Частица движется в магнитном поле, индукцией В(6) = Во + Вр(2), Во = (О, О, 6о), Вр —— Ьр(сов ОЛ, — яп ОЛ, 0) ~(6), У(6) = О, при 6 < О, 2 > т, г(2) = 1 в интервале 0 < 6 < т. Найти решение уравнений движения магнитного момента при условии св = Йо, йо = тЬО. Решение. Гамильтониан частицы [Гл. 7 Уравнения Гамильтона Пусть Я(0) = (О, О, 1). Тогда из (4), (6) находим Я'(0) = ( — 1, О, 0), С =- О, ф =- я, Я[ — сов Йр1~ Яз — в!п Йр1~ Яз — 0 (7) Следовательно, компоненты вектора Я(1) в интервале времени 0 < 1 < т соответственно равны Я1 (1) — вп Йр1 вп Йо1 Яз(1) в1пй 1 совйв1 Яа(1) сов йр1 (8) Яг(1) =.

Бз(т) вшйо(1 — т), Яз(1) = Яз(т) совйо(1 — т), Вз(1) = Ь',,'(т) =- О. В результате возникает переменный магнитный поток, который может индуцировать ЭДС индукции в катушке, содержащей образец из исследуемого материала [159]. 7.3.10. Найти решение канонических уравнений с гамильтонианом Н = — 2РВЯ, Вф = В(япд совы1, вид япы1, совд). Решение. Исходный гамильтониан Н = — ы„в[п 0 (а, азе ' + а,азе™) — ы„сов 0 ([аг [ — [аз[ ), где оо„= РВ.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее