Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка

В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 41

DJVU-файл В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 41 Уравнения математической физики (УМФ) (2618): Книга - 4 семестрВ.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка: Уравнения математической физики (УМФ) 2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 41 - страница

7. — +(у — а +аЛаЬ(Лх) — а аЬ (Лх)] — +е (х) вЬ( ух) — =д(х)ю+Ь(х). д ду дх Общее решение: ю = ехр [ / д(х) с1х] (Ф(иы и ) -1- / 6(х) ехр [ — / д(х) с(х~ с1х), где Е Р Г2п иь = / Э(х) с(х — — 1п]16 — ~., ия = -1- 1 Ес1х, Е = ехр[ — в!ь(Лх)]. 2 ' у — оси(Лх) ' Л 8.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных 1. — + У(х) — + д(у) — = аю+ Ь(х). дю дю д д ду дя Общее решение: ю = е'~[Ф(и, и)-Н / е '*Цх) Их~, где и = у — Г(х)., ь = я — / 9(п,-1-Е(1)) сй, Г(х) = / Э'(х) о ьЭх, хс --- любое. дх + У(х)у + д(у)х = аю+ Ь(х). ду дя Преобразование У(у) = -(' " — у при йф1, !п]у] при й = 1, приводит к уравнению вида 9.8.2.1: дх дп.

Ох — Ф Д(х) — -1- д(У) — = аю Ф 6(т)., а' 'оу Од 1 Е() =( '-- ' ( 1п ]е] при ~пф1, при гп=1, д(1 ) = — д(у) б. + ~уь(х) + уя(х)е~"] + [дт(х) + дя(х)ер ] = Ьт(х)ю+ Ья(х). Частный случай уравнения 9 8.3.8 при дь(х., у) = дь(х), дя(х, У) = дя(х). Ьь(х,у я) = = Ьь(х), Ья(х,у, я) = Ьг(х). 218 динвиныв шлвнвниа видл Уд+ +.6 а"„' + Уз а", = дгю 4 до, г' = г' (х У г) 3. гд(х) — + 72(х)д(у) — + гз(х)6(х) — 24(х)в + гз(х). д дю д дх др д Общее решение: ю = Е(х) [Ф(ид, иг) Ф /, ], Г(х) = ехр[/ 4 ах], где , = / 72(х) дх — / — "' ., = / 7з(х) д — / — "' .

7д(х) д(у) ' Уд(т) П(г) + [Уд(х)у+ Уг(х)1 + [дд(х)в+дг(у)1 = 62(х)в+ 62(у). Частный случай уравнения 9 8.3.4 нри дд(х, у) = дд (х), дг(х, у) = дг(у), 62(х, у, 2) = = 62(т), 62(х,у, 2) = 62Ь). — + [3д(х)у+,6(х)у ~ — + [дд(у)а+ да(х)х 1 — = 6д(у)ю+ 62(х). дх др дх Частный случай уравнения 9 8.3.5 при дд(т, у) = дд(У), дг(х, У) = дг(х) 62(х У~ 2) = = 6г (у) 62(х у г) = 62(г)' .~- [Гд(х)у+ Гг(х)у~) Ф [дд(х) +да(у)е 1 = 62(х)в+ 62(у). Частный случай уравнения 9 8.'3.6 при дд(х, У) = дд(х), дг(х У) = дг(У)* 6г (х У 2) = = 62(х), 62(х,у,з) = 62(у).

+ [уд(х)+ уг(х)е""1 — + [д Ь). +д (х) 1 — = 6д(х)в+6 Ь) дх др дх Частный случай уравнения 9 8 3 7 при дд(х, У) = дд(у), дг(х, У) = дг(х), 62(х, У 2) = = гдг (г 6 62(х, у, г) = ддг(у). + [Х~( )+У~(*) "1 + [д ( )+д Ь) ~*1 д = 6 ( ) +6 Ь). Частный случай уравнения 9.83.8 при дд(х,р) = дг(х), 92(х,у) = дг(У) 62(х У 2) = = 61(х), 62(х,у, г) = 62(у) дю д д уд(х) — + уг(у) — + уз(х) — = аид + дд(х) + дг(у) + дз(х). дх др д Общее решение: ю=Ед(х)Ф(ид,иг)+Ед(х) д' ' ", +Ег(у) г' 2 ' ' +Ез(г) А(х)Ед(х) 7 72(у)Е2(у) 7 72(г)вз(г) где Ед(х) = ехр[а / ], Ег(у) = ехр[а / ], Ез(г) .= ехр[а / ], /' I' „, I' Ы*) ) Ыу)' 1 Л(*) 1 Ы) 9.8.3.

Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных дю Вю дга 1. — + а — + 6 — = Е(х,у, х)ю+ О(хду, х). дх др д Частный случай уравнения 9.8 3,4 при уд(х) = О, 72(х) = а, дд(х, у) = О, дг(х, у) = 6. дю дю дю 2. х — + у — + х — = ив+ г (х, у, х). дх др дх Общее решение: ю=х [Ф( —, — г + [ г'(д,идг,игд) ], ид —— —, из= —, х' х' где хо-- любое. 219 Д.д Уравненни, оодержантае нро оно!нные функ!!!та а о а 3. ах — + Ьу — + сх — = Г(хт у, х)ю + С(х, у, х). о ау а Замена х = с'С привопит к уравнению вида 9.8.3.4: — Ф Ьу — + с» —, = Г(с, у, »)ю + С(е', у, »).

дю дю дю дб ду д» 4. — + [уз(х)у+Уз(х)~ — + [дт(х, у)х+дв(х, у)~ — =6!(х, у, х)ю+Ьз(х, у, х). ою а Онт ох оу а» Общее решение: ю = Н(х,и.,п) [Ф(и, т!) + I ' ' ' »1»~', /' ( ) и) — рЦ 6 (1 в где и = уГ(х) — / р»(х)К(х) т1х, Р(х) = схр ~ — / тт(х) т]а!~, (1) о = »С(х, и) — 1' д»(1, и)С(1, и) т]1, С(х, и) = екр~ — / дт(1, и) й~]. (2) в в Злссь да (х, и) = д„(х, у), Ьа (х, и, о) = 6„(х, у, ») (в этих функциях псрсмснная у должна быть выражена через х, и нз равенства (1), а псрсмснная» должна быть выражена через х, и, о нз равенства (2)], хо - - любое. ах []'( )у ~'( )у 1 оу + [д'( ' у) д'( ' у) ~ ах — 61 (хт ут х)тс + 62 (хт ут х) ° 1'. При йф1, пф1 прсобразованисб= у' ь,т =»! "приводит к уравнению вила9834: — -)- (1 — 6) [1! (х)б Ф 1»(х)] — Ф (1 — и) [д! (х, .б) т] -~- дз(х, б)~ — = дх дб дп = 6 ! (х., б, »1) то -~- 6» (х, б, д), ! ! ! глс д!»(х с) = д! »(х с ), 6! 2(»к с т1) = 6! »(х,б ь,»1 ).

2'. При й ~ 1, и = 1 замена б = у' ь приволит к уравнению вида 9.8.3.4. 3'. При й = п = 1 см. ураитснис 9.8.3.4. б — + [з (х)у + Ь( )у ! — + [Дз(хт у) + дз(х, у)с *1 — = Ох ду д» = Ьт(хт у! х)т!'+ Ьз(х у! х). Прсобразованнс б = у, »1 = с ' прнволит к уравнению вида 9.8.3.4: ! — ь †дю д ° дю — -~-(1 — Й) [Л(х)с-'г те»(х)~ — — Л[дт(х,б)т1-1-дз(х,бЯ вЂ” = 6!(х,б, »1)ю-~-б»(х,б, т1), дх дб дп ! ! где дтд(х б) = д! т (х б ! — ь ), 6! з(х б д) =— 6!» (х б ! — г, — — 1п »1).

— — Л[)т(х)э+те»(х)1 — +(1 — й) [дт(х б)»]+до(х ь)] — = 6!(х ь'.»1)то+6»(х б. 9). дю дю дю дх дб дц где Д!»(х,с) = дтз(х, — » !пс), 6!»(х.,с, т]) = 6!»(х, — » 1пс,у ! ! ), 7. — + [уд(х) + ув(х)е "1 — + [дз(х, у)х + да(х, у)х ~— = Ьт(х,у,х)ю+ Ьг(х,у,х). Преобразование б = с ", т1 = - приводит к уравнению вида 9.8.3.4: — т-ь 220 линьнныв тггвнвнттл внял )т о„' +.6 л'„' +(з л", = дгю-ндо, Л = 1 (х У г) 8. — + [ут(х) + уг(х)е и) — + [дт(х, у) + дг(х, у)е~ ~)— = Ьт(х,у, х)ит + )гг(х, у, х). Прсобразованис б = е ~т, т1 = е "' приводит к уравнению вида 9.8.3.4: дю дю дю — — Л [ут (х)с -~- тг (х)] — — 'тг [От (х, с) т1 + дг (х, с)) — = лт (х, с, т1) ю + ля (х, с, т1), дх дб ' ' ' дл щгс дт г(х с) = дт,г(х г )по) йтд(х б:т1) = лг,г(х г )пс л 1""!).

9. ~в(~) + [~~(~)у+ ~г(~)у ) + [д (х,у) +д (х,у)х = 1гт(хт Ут х)ш + 1ьг(хт Ут х). Деля обе части данного уравнения на го(х), получнч уравнение вида 9.8.3.4. 3 ( ')д (у) д + у'( )д'(у) д + ["'( у) + 1"( ' у)' ) д = 'Рт(х У х)ш+ 'Рг(х Ут х). й Ы, О) "'~) — = Ф (б, т1, г) ю + Фгй: ч, = ), дг нй )= " ' '; п=1,2. т'г(х)дт(у) 11.

рт(х)дт(у) + уг(х)дг(у) + [Йт(х, у) + Йг(х, у)е = 'Рт (хт Ут х) и' + тря(хт Ут х). 1 ((,9) ') — =ди(6т1,х) +Ф (б:тг, ), л, дю дг ц, х) ив и " ' '; и = 1, 2. т"г(")д (ту) * 12. — + 1т(х, у, х) — + уг(х, у, х) — = д(х)ш + )г(х). дю дш дю дх ду д Общее решение: ю = С(х)Ф(ит, иг) -~- С(х) /, т)х, С(х) = ехр[/ д(х) г)х~, г д(х) / С(х) где иг, иг — интегральный базис соответствующего мукорочснногоя однородного уравди ди ди пения при д(х) = 1т(х) = О: — -Ь гт(х, у, я) — -~- гг(х> у, г) — = О. дт ' ' ду ' ' дя Преобразование б = ~ г г)х, 1г(х) ./ Д(х) при гг = О, (г ь— н 1, й = О: — + —,+ [1т (69)+ дб дп глс 1т„(б, т1) = — ' '", ф„(б, уг(х)дт(ту) ' Преобразование б = 11 г ' г)х, 1 Уг( ) ./ Ы') праут гнб, 1 ии!,Й=О: дю дю — + —, + [Ьг (б, т1) + дч дт1 глс й (б,ц) = '" ', Ф (б, лт„(х, у) т'г(х)дт(у) ' т1 = ( ' т)у приволит к уравнению нила 9.8.3.5 Р д Ь) дг(У) т1 = 1 ' т)у приволит к уравнению вила 9.8.3.б 10.

Линейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными 10.1. Методы решения 10.1.1. Линейные однородные уравнения Рассмотрим линейное одноролнос уравнение с и независимыми переменными вида 1,(хд,...,хч) = О. ,=д 1*. Если известны (и — Ц независимых интегралов (интегральный базис) ид(тд,,х„) = Сд, и (:гд,,х,) = Сз,, и д(хд,,;г ) = С, д (2) характеристической системы (3) гд(хд,...,х ) гг(хд,...,х„) г„(хд,...,х„) ' то общее решение уравнения (1) имеет вид ю = Ф(ид, иг,, гд„ вЂ” д дю уд(хд,..., х„д, и) — = О, а величина и вхолит как параметр. 10.1.2.

Линейные неоднородные уравнения Рассмотрим общее линейное неоднородное уравнение с и независимыми переменными дю ~((хд,...,х ) =д(хд,...,х„)юей(хд,...,т ). дх, (4) 1'. Если извесгны и независимых июегралов (интегральный базис) ид(хд,...,хдою) = Сд,. ид(гд,...,х,ид) = Сз,, и (хд,,...,хдою) = С (5) характеристической системы Лхд (6) уд(хд,...,х „) у (хд,...,х„) у(дгд,...,х )ю -~- 6(хд,..., т„) то общее решение уравнения (4) имеет вид Ф(ид,ид,...,и ) =О, где Ф -- произвольная функция своих аргументов.

где Ф вЂ” произвольная функция своих аргументов. 2'. Пусть известен один интеграл и(хд,..., х„) = С системы (3). Псрсходя от хд, ., х„д, х„ к новым переменным хд, ..., х д, и, получим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка, у которого число независимых переменных меньше на единицу: 222 ЛИНЕЙНЫЕ РРАВНВНИВ С Чк'!'ЬП'ЬИЯ И ВОЛЕВ НВЗЕВИСИМЫМИ ПВРЕЧВННЫМИ 2'.

Пусть известен интегральный базис ие = ие(х>, хг;, х ), й = 1, 2,..., и — 1, соответствующего иукороченногоя однородного уравнения, т.е. уравнения (1). Переходя ог х>, хг,..., х„к новым переменным хт, ит,..., и, 1, получим линейное уравнение Г>(х, й) — = д(х, и)ю 4- Ь(х, й), .х = х>, дх которос можно рассма!ривагь как линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порялка для функции ю = ю(х) с вектором параметров й = (иг, иг,..., ия 1). Решая это уравнениЕ, находим ю = Е ~Ф(й) 4- / ' †" ~, Е = ехр~/ ' г(х1.

Здесь Ф --.произвольная функция, при вычислении обоих интегралов компоненты вектора й рассматриваются как параметры. Для нахождения общего и>пеграла уравнения (4) необходимо после инте> рирования перейти к исходным переменным хг,..., х . 3'. Пусть д = О. Если известен интегральный базис й соответствующего однородно! о уравнения (при Ь = 0) и частное решение и>о = и>о(хг,...,х ) исходного неоднородного уравнения, то общее решение может быть найдено по формуле ю = юо Ф Ф(й), где Ф произвольная функции. 10.2.

Конкретные уравнения 10.2.1. Уравнения, содержащие степенные функции + Вю +Ьдю + дхт Вхз дхз Вх4 Интегральный базис: иг — — ах> — хг, иг = Ьг.! — хз, из = сх! — х4. Ви> дю 2. — + ахт — + Вхт Вхз Интегральный базис: дги Ви> Ьхт — + схт — = О. дхз Вх4 и! — — хг — — ах„иг = хз — — Ьх„из = хе — г сх!.

1,г, 1 г Ви> ди> 3. — + ахз — + дх д Интегральный базис: дю д Ьхз + сх4 = О. дхз дх4 иг = ахт — 1п >1хг), иг = Ьх! — 1п >1хз(, из = схг — 1п >1хе). 10.1.3. Задача Коши Формулировка задачи Коши: требуется найти решение ю = ю(хг,,х ) уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям х> = 9>1(е>,...,е — 1),, х = И (е>....,е — !), и> = р 1(ег,,ея — !), (7) где бт,..., С„-1 параметры, а 9>е(бт,..., С 1) — заданные функции. Процедура решения задачи Коши (4), (7) состоит из нескольких этапов.

Сначала определяются независимые иепегра!ы (5) характеристической системы (6). Затем для определения постоянных интегрирования С>,..., С„в интегралы (5) подставляются начальные данные (7): ие(5гт,...,р,р„41) = Се, где ре = 9>е(61,...,6я !), Ь = 1,...,п. (8) Исключая из (5) и (8) постоянные С>,..., С„, имеем и! (х>,...,х„,ю) = ие(!рт,...,!р„, р 41), Ь = 1,...,п, (9) где ре = 9>е(сг,...,б !). Формулы (9) представляют собой параметрическую форму решения задачи Коши (4), (7). В некоторых случаях, исключая параметры бг,..., б 1, удается получить решение в явном виде. Ов >7втерсюура кригдету 1О.1: Эе Квмке (1966), И. Г Петровский (1970), Н. Ййес.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее