В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 22
Текст из файла (страница 22)
5.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 1. и + Ь = ею+ ЬСК(Лх+ Ру). Вив Ота вх ор Общее решения и~ = е"е~в(Ф(6х — ау) + — ~ 18~(Л+ Р)1+Р(у — — )]е т~ Ж~. Ою Ою й 2. и — + Ь вЂ” = ю+ ст 18 (Лх) + са СК ()Зу). Ох Ор Частный случай уравнения 5.8.2.4 при Д(х) = О, д(у) = 1, р(х) = сч18 (Лх), д(у) = сч 18" (ду). 122 лннвяныв юовнвния вшча Дх,у) о"' +д(х,д) о",, = 61(х,у)ю+ Ьо(а:У) а — + Ь вЂ” = ею+ Сд (Лх) Сд" (13у) в в я ах вд Частный случай уравнения 5.8 2.
! при ~(х) = Сд '(Лх)* д(у) = Сд (/Зу). аю аю а — -)-ЬСд(ру) — = сед(Лх)ю+ йед(их). а вд Общее решение: и = )соя(Лх) ! ( — / /сов(Лх) ! Сд(их) дх -!- Ф(Ьрх — а !п !вСп(ру)!)1. са Х дю дю ах — + Ьу — = сто + й Сд(Лх + ру). дх ду Общее решение: ю = хУ'( — ) С Шт'У' Сд(ЛС+ ре Щх т у) Ж+ Ф(х ~'д)1. ~а хо аСд" (Лх) + Ьсд (рх) = сСд" (их)ю+ ред'(!3у). Вх ау Частный случай уравнения 5.8.3.4 при Д(х) = атд" (Лх), до(х) = О, до(х) = Ьсд (рх) Ь(х,у) = стд '(их), Г(х,у) = рсд'бд). а Сд" (Лх) — + Ь Сд (рх) — = с Сд (иу)ю + р Сд (!Зх).
ах вд Частный случай уравнения 5.8.3.4 прн т'(х) = а од (Л.л), д1(х) — = О, до(х) = 6Сд (рх) Ь(х, д) = с!8 (ид), Е(х, д) = рсд'((3х). 3. 5.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс Вчо дю 1. а — + 6 — = ею+ йсСд(Лх+ ру). Вх Вд Общее решение: ш = е" (Ф(Ьх — ау) + — / сед(((Л+ и )С+ р(У вЂ” — ~)~е ыт" 4С3). в а а а + Ь = ю+ са сед (Лх) + ся сед ()ду) в* ву Частный случай уравнения 5.8.2.4 при Г(х) = О, д(у) = 2 р( ) —, С я(Л ) д(у) = ся стд" (!Зу).
3. а + Ь = ею+ сед (Лх) сСд ()3у) ау Частный случай уравнения 5.8.2.! при т(х) = сод" (Лх), д(у) = сед" (Вд). аю а 4. а — + 6ссд(ру) — = ссСд(Лх)то+ й сед(их). дх ду Общее решение: н~ = !вСп(Лх)!' ' [ — / !вСп(Лх)! ' сод(их) Их-(- Ф(Ьрх -!-а!и !сов(ру)!)]. а в 5. ах + Ьу = ею+ й сед(Лх+,иу). дх ду Общее решение: ю = х'~'( — ) С ~'~'~~'стд(ЛС+рС ";е '"У) с(С+ Ф(х 'У)).
~о хо 6. асСд (Лх) + Ьссд™(рх) = ссед (их)то+ рссд'()ду). ах ву Частный случай уравнения 5,8.3.4 при у(х) = а сед" (Лх), д~(х) ив а О, до(х) = ЬсСд (рх), Ь (х, у) = с се д (их), с'(х, у) = р сод'(!3у) . 7. асад™ (Лх) + Ьссд™м(рх) = ссед (иу)ю + рссд'()дх). а ду Частный случай уравнения 5.8,3.4 при ! (х) = а стд" (Лх), д1(х) = О, до(х) = 6 сед"'(рх), Ь(х, у) = сссд (иу), Е(х, у) = рстд'((3х). 123 5 7.
Уравнения, соаернеишив оброюные днригоноиендри деекие фумкнии 5.5.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции а ао й а — + 6 — = ад + сд в)п (Лх) + ся сов" (13у). ах ар Частный случай уравнения 5.8.2.4 при 7(х) = О, д(у) = 1, р(х) = с~ вш" (Лх), д(у) = отсов"(Зу). Вю дпд й о — + Ь = ею+ вш (Лх) сов (1Зу).
а ар Частный случай уравнения 5.8.2.1 при Д(х) = вшй(Лх), д(у) = сов (Зу). а . а а + Ьв!п(ру) = свш(Лх)од+ 6 сов(их) + в. Вх Ор Общее решение: гс Л 7 Р ю = ехр( — — ' сов(Лх)) [ — ( (в+6 сов(их)) ехр( — ' соа(Лх)~ д!а+Ф (Ьрх — а 1п 18 — у ) ~ . л .)[,/ оЛ 2 Вю . Вто о — + бвш(ру) — = свш(Лх)ад+ 6СК(их) + в. Ох ду Общее решение: ю=схр( — — сов(Лх))[ — ((я+6 як(их)) ехр( — сов(Лх))г1х+Ф(61дх — а1п 18 д у )) . аЛ а,д аЛ 2 Ою дю а + ЬСК(3ду) = с!К(Лх)ю+ (ссСК(их) + в. а. вр Общее решение: и.
= )сов(Лх)) ' ~ — / (в-1-Ьс18(их))[соя(Лх)! д3х -1-Ф(Ьрх — а1п)в!п(ру)!)). ав!и (Лх) + Ьсов (рх) = ссов (их)ю+рв!п'(73у). Ох ар Частный случай уравнения 5.8.3.4 при д(х) = асйп (Лг), дд(х) = О, до(х)= Ьсоя (!дх) Ь(х,у) = ссов (их), Г(х,у) =рв!п'(Ву).
аю а аСК (Лх) — + Ьсеб (ддх) — = с!К (иу)ю + рсСК'(13х). а. ар Частный случай уравнения 5.8.3.4 при Д(х) = а!к (Лх), дд(х) г— е О, дс(х) = Ьсг8 (рх), 1Цх, у) = сс8 (иу), Е(х, у) = рсск'(,Зх). 5.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 5.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус дю дю й а — + 6 — = ю + сд агсвш (Лх) + са агсв!п (!Зу). Ох Оу Частный случай уравнения 5.8.2.4 при 7(х) = О, д(у) = 1, р(х) = сд агсшп" (Лх), д(у) = сг агсшпо(д3у), дю Одо й и -1- Ь = сид+ агсшп (Лх) агсвдп (Зу). Ох Ор Частный случай уравнения 5.8.2.1 прн Д(х) = агся!дд" (Ла ), д(у) = агсяш" (Оу). аю аю а — + Ь вЂ” = [сд агсвш(Лдх) + сг агав!п(Ляу)) ю+ ах вр + вд агав!п ()Здх) + ва агсвш" ()Зяу).
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при Дх) = гд агсяп(Лдх), д(у) = ег агсв!п(Ладу), р(х) = яд агсвдп (Ах), д(у) = вд ашвт (!3д77). динввныя юйвнвния вила Г(х, у) — „"' + д(х, у) — ' = Ьд (х, у)ю + 6о(х, у) д д й и — + Ьагсяш (рх) — = сагсвдп (их)ю + рагсяш (Зу). дх ду Чвспдый случай уравнения 5.8.3.4 при Г(х) = а, д~(х) = О, до(х) = 6агся!и" (рх), 6(х, д) = с агсвш (их ), г (х, у) = р ысвш" (Ду) .
а + Ьагсядп (рх) = сагсядп (иу)пд + рассада (13х). д дю й дх ду Частный случай уравнения 5.8.3.4 при 7(х) = и, дд(х) = О, да(х) = Ьыся!и (!дх) 6(х, у) = сигея!дд" (иу), г (х, у) = рягсядп" ((дх). 5.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус дю дю й а + Ь = ю + сд атосов (Лх) + ся атосов (Зу). дх ду Частный случай уравнения 5.8.2.4 при 7(х) = О, д(у) = 1, р(х) = сд агссоя" (Лт), я(у) = сд вгссоя (Зу). а + Ь = ею+ атосов (Лх) агссов (!Зу). д д дх ду Частный случай уравнения 5.8.2.! прн Дх) = агссовй(Лх), д(у) = вгссоя" (!3у).
дю дю а — + Ь вЂ” = [сд атосов(Лдх) + ся атосов(Ляу)]ю+ дх ду + вд атосов (,Здх) + вя атосов (!Зяу). Частный случай уравнения 5.8.2,4 при Д(х) = сд атосов(Лдх), д(у) = сд агссоя(Лду), р(х) = вд ыссов" (3дх), д(у) = вя апхоя Ягу). а + Ь атосов (рх) = с атосов (их)то + р атосов (1Зу). дю дю й дх ду Частный случай уравнения 5.8.3А при Г(х) = а, дд(х) = О, до(х) = Ьагссоч"'(рх), 6(х, у) = сысоев" (их), Г(х, у) = радесов (ду). и — + Ьагссоя (рх) — = сагссов (иу)ю+ рагссов (13х). дю дю й дх ду Частный случай уравнения 5.8.3.4 при Г(х) = а, дд(х) в— я О, до(х) = Ьагссов (рх), 6(х, у) = с агссоя ' (ну), г (х. у) = р ыссоя" ( Зх!.
5.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс дю дпд й а + Ь = ю+ с, агсСК (Лх) + ся агсСК (!ау), дх ду Частный случай уравнения 5.8.2.4 при Д(х) = О, д(у) = 1, р(х) = сд агсткй(Лх), д(у) = сд агс!8" (Зу). а — + Ь вЂ” = сад + агсФК (Лх) агсек ((Зу). дю дю й дх ду Частный случай уравнения 5.8.2.! при Д(х) = асс!8 (Лх), д(у) = агссй~(йду). дю днд а — + Ь вЂ” = [сд агсЬК(Лдх) + ся агсСК(Ляу)~ю + дх ду + яд агсСК (!Здх) + яя агсСК (!Зяу). Частный случай уравнения 5.8.2.4 при Д(х) = сд ыстк(Лдх), д(у) = сд ые:8(ЛЛу),, р(х) = яд агсс8" (дудх), д(у) = яя асс!к~(дгу).
125 5 о Уравнвнйа ооавро~содлнв нрогаво.двнив фумнчон а Вдо й а — + Ьагсед (3дх) — = сагстд (их) ш + вагсед ()Зу). ах ау Частный случай уравневия 5.8.3.4 при Д(х) = а, дд(х) = О„до(х) = Ьагстд™(рх), Ь(х, у) = сагстд (их), Е(х,у) = нагстд~(!Зу). и — + Ьагсвд (3дх) — = сагсед (иу)ш+ вагссд (33х).
Вш Вш й Вх ау Частный случай уравнения 5.8.3.4 при )(х) = а, дд(х) = О, до(х) = Ьагстд (рх), Ь(х, у) = сагстд" (иу), г"(х, у) = в агстдн(Зх). 5.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс Вш Вш й а + Ь = ш+ сд агссед (Лх) + ся агссвд (33у). Вх Ву Частный случай уравнения 5.8.2.4 при 3"(х) = О, д(у) = 1, р(х) = с1 агсс!д" (Лх), д(у) = ся агссддн(Зу). и — + 6 — = сш + агссед (Лх) агссед" (33у).
Вш дш й Вх Ву Част!лый случай уравнения 5.8.2.! при Д(в:) = шхстдд(Лх), д(у) = агссддв ((3у). а а а — + Ь вЂ” = [сд агссед(Лдх) + ся агссед(Ляу)~ ш + дх Ву + вд агссвд (Здх) + вя агссйд (33яу). Частный случай уравнения 5.8.2.4 при Дх) = с! агсдхд(Л|х), д(у) = сд агсдхд(Лду), р(х) = вд апхтд" ((3дх), д(у) = вя агсдхд" (!Зду). и агссед (Лх) + Ь агссйд (гдх) = с агссвд (их)дп + р агссед ()Зу). дх ау Частный случай уравнения 5.8.3.4 при !'(х) = а агсстдо(Лх), дд(х) = О, до(х) = 6 агсстд'" (рх), Ь(х, у) = с агсстдй(их), дг(х, у) = р агсстд'(Зу). а Вш й а агсстд (Лх) — + Ь агссед (Гдх) — = с агссйд (иу)ш + р агсстд (дях). а* ау Частный случай уравнения 5.8.34 при Дх) = аагссод" (Лх), д!(х) = О, до(х) = Ьагдд!д"'(!дх), Й(х,у) = сагсст (иу), г(х,у) =рагсстд'(Зх).
5.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 5.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 1. и + Ь = у(х)ш+ д(х). Вш дш ах ау Общее решение: и = ехр~ — / Д(х) пх~ (Ф(Ьх — пу) -й — / д(х) еяр( — — / Д(х) пх~ Ох). 2. а + Ь = (су+ й)ш+ у(х). Вдо аш ах Ву Общее решение: ш = ехр(, (2а(су Ч- й) — Ьсх) ) (Ф(Ьх — ау) и- Ч- — / ехр( —,, (2а(су -1- й) + Ьс(1 — 2х)1)д(1) Ж), тле хо --. любое.
126 Лннвйныв ягявнвння видя 1 (хй у) — „„+ д(х, у) — = 6~ (х, у)ю + Ьо(х, у) 3. а — + Ь вЂ” = )(х)ую+ д(х). а о ах ау Общее решение: ю = Г(х, и) [Ф(и) + — / ' ~, и = Ьх — ау, глс Г(х,и) =ехр[ — / (Ьт — и)Дт)г1т~. о о ах — + Ьу — = 1(х)ю + д(х). ах оу Общее решение; а +(ау+Ь) о =е +д(х) Общее решению ю = ехр[с / Х х 1 (/ — ехр[ — с/ — ~ ах Ф( / — — 1п ~ау 4-6[)). Х(х) + д(х) = Ь(х)ю Ф р(х). Общее решение: =-- У"""]И"'*'- [-1"'™1'*"'И"*'"*-у)) Х(х) — + [д.(х)у+до(х)] — = Ьг(х)ю+Ьо(х). дю дю ох ду Частный случай уравнения 5.8.3.4 при 6(х, у) = 61(х), Г(х, у) = Ьо(х).
Общее решение: и = Н(х) [Ф(и) + / о ~, и = уС(х) — о(х), тле Н(х) = ехр[/ ' г1х1, С(х) = ехр[ — / у' г)х1, 8(х) = / С(х) уо г1х. 8 1(х) + [дг(х)у+ до(х)) = Ья(х)ю+ Ьг(х)у+ Ьо(х). Частный случай уравнении 5 8 3 4 при 6(х, у) = Ья(а), Г(х, у) = Ьг(х)у Ф Ьо(х). 9. ~(х) + [дг(х)у+ до(х)у ] — = Ья(х)ю+ Ьг(х)у + Ьо(х). Ох. ду Частный случай уравнения 5.8.3.5 при 6(т, у) = 6а(х), Г(х, у) = Ьг(х)у" + Ьо(х) 18. р(х) + [дг(х) + до(х)е "] = Ья(х)ю+ Ьг(х)е + Ьо(х). Ох ду Частный случай уравнения 5.8.3.6 при 6(х, у) = Ья(х), Г(х, у) = Ьг(х)е~" -~- Ьо(х).
11. 1~(х)у" +.)я(х) = д(х)ю+ Ь(х). Общее решение: ю = Ф(и)С(х,и) -> С(х,и) г — [и ч-Г(1)] ях',, и = у — Г(х), Г" 6(г) — — иг !., Хг(г) С(г, )' гле Г(а) =(6+1) 1 ~ ' Ых, С(х,и) =охру [и+Г(1)] ягг Ж), хо любое. / ах): ' Ц.. Ыг) 127 5.8 Уракнення, содержащие нроюкоааные функиаи 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
