Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Р. Курант - Уравнения с частными производными

Р. Курант - Уравнения с частными производными, страница 153

DJVU-файл Р. Курант - Уравнения с частными производными, страница 153 Уравнения математической физики (УМФ) (2617): Книга - 4 семестрР. Курант - Уравнения с частными производными: Уравнения математической физики (УМФ) - DJVU, страница 153 (2617) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Р. Курант - Уравнения с частными производными", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 153 - страница

е. таких, что ~х(н )ф -ьО, ~х)'» ~о'рг( — ьО для всех г, независимо от того, насколько большим выбрано число гч'Я). В пространстве основных функций Ь скалярное произведение (Ф', р) определяется как обычный интеграл по ~, т. е. по всему пространству х, от произведения В'у; оно имеет смысл для всех функций %'. непрерывных в Гу, для которых существует положительная постоянная М, такая, что ( Ф')Нх) ~ — ь 0 при ~л( -+со и Ж ) М; другими словами, для функций В', которые на бесконечности растут не быстрее некоторого многочлена. В соответствии с определениями й 2 мы можем тогда для любого целочисленного индекса г ввести обобщенные функции (2) ') Ср., например, Берновиц и П.

Ланс [1). ') Например, пространство всех функций из С, которые вместе со своимн пронзводнммн имеют на бесконечности порядок не выше в ~, принадлежит Ж. З 4. Модификации теории 787 и опрелелить скалярное произведение 7 и ц~ с помощью соотношения (у, ф)=( — 1)1 1 [ [рВ ~ах (3) Очевидно. что любая обобщенная функция, определенная таким образом над пространством основных функций Я, является также обобщенной функцией над пространством ат финитных основных функций в смысле определения из $ 2.

Однако обратное не всегда верно'). Пространство основных функций Я полезно при построении итеории преобразования Фурье, переводящего функцию Л'(х) в функцию й(х)= ), ~К([)е' ' [=У(х). (4) ,У Если функция д принадлежит Я, то, как легко видеть, ее цреобралозанне я тоже принадлежит Я и мы имеем полную взаимность преобразования Фурье: л(х)= 7'(х), 7'(х)=л(х), (5) и с помощью преобразования Фурье пространство Я взаимно однозначно переводится в себя. Отметим важную формулу Парсееаля (У э") =(У з') (6) нли ~ Я Нх = ~ Я(х) Ых; (ба) ') Рассмотрим, например, обычную функцию У = ет. Ее можно интерпретировать как обобщенную функцию над пространством Й, так как ее скалярное произведение с любой фннитной функцией т получается с помощью обычного интеграла.

Но над пространством Ж это определение непригодно, так как, например, функция т = е " является допустимой основной функцией из пространства Ж, а скалярное произведение у н т не существует. ') По поводу этого широкого обобщения преобразования Фурье см. Бохнер [1) и Шварц [1[. У Я ее легко доказать для функций у' и а, принадлежащих классу Я, так как соответствуюгцие интегралы по х быстро сходятся. Теперь мы можем дать удовлетворительное определение преобразования Фурье 7" функции 7", не обязательно принадлежащей пространству Я, но определенной формулой у' = От[К [см. уравнение (2)[; это значит, что мы определим преобразование Фурье для обобщенных функций у над пространством Я, возникающих при дифференцировании функций Ф', растущих на бесконечности не быстрее некоторого многочленаа).

Приложение к гл. П 788 Сначала мы снова напомним, что если ~р принадлежит Ь, то о =р также принадлежит Я, и наоборот. Затем мы применим формулу Парсеваля (б), но не как теорему, требующую доказательства, а как слабое определение функции ~'. Мы положим (8) при этом мы принимаем во внимание, что правая часть равенства заранее известна в силу (3) и равна + (В', ЕР'р). Поэтому преооразование Фурье полностью определяется с помощью скалярных произведений (3), если ф и р пробегают все пространство Я. Это определение г может служить отправной точкой для более глубокого изучения теории преобразования Фурье.

Почти сразу можно установить следующий важный факт. Преобразование Фурье функции О'Е есть ( — Гх)'у при любом индексе з; вообще, для любого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами Е (Д=~ а Е)РЕ преобразование Фурье есть Р где Р— полином ч'.,а ( — Гх)Р, связанный с дифференциальным опе- Р ратором Е (см. гл. ПГ, прил.

!, 8 2). Мы не будем проводить дальнейших рассмотрений и отметим только, что замечания о том, что функция 8(х) и функция, тождественно равная единице, являются друг для друга преобразованием Фурье, легко укладываются в эту теорию. 3. Периодические функции. Часто бывает полезно ограничиться периодическими порождающими функциями Гй' и периодическими основными функциями р, обладающими одинаковым периодом, например 2к, очносительно всех переменных х,.; основной областью Р служит область 0 к..лг ( 2я.

Тогда, применяя комплексные обозначения, мы возьмем в качестве пространства Гг' основных функция пространство, натянутое на тригонометрические функции е-"" = еп где ч — вектор с целыми компонентами. Обобщенные функции, определеннью формулой Е=Е)'Ж', мы также будем называть периодическими (см. определение в 8 2). Кроме того, с помощью некоторого видоизменения определения 8 2 мы можем допустить в качестве порождающих функций Гй' функции с интегрируемым квадратом.

С помощью этих модификаций мы избавляемся от усложнений, связанных с граничными условиями аля бесконечных областей. Для дифференциальных уравнений, заданных в конечной области, часто можно периодически продолжить коэффициенты и решения за пределы 789 Э 4. Л!одификаяии теории рассматриваемой области, не теряя при этом общности '), Таким образом достигается возможность применения простых методов. Как обычно, мы определим коэффициенты Фурье а„ функции В' формулой а,=(нг, с,)= ) и'е-г'гдх; (9) вдесь и далее мы будем предполагать (в действительности без ограничения общности), что коэффициент ао, т.

е. постоянный член в разложении Фурье, обращается в нуль. Тогда мы получаем теорему Парсеваля в виде [[[Р [[з (!гг [гг) ~ [[Тг[здл,го и', [а [з (9а) Для обобщенных функций г =0"1Тг мы определим скалярные произведения в соответствии с 9 2 формулой (у', ~ч)=+((Т', 0"о). Это позволяет определить коэффициенты Фурье с, обобщенной функции у =0'йг как с, = (г, т,) = (О'%', о,) = + (!ч)'([Р', ср„) = + (!ч)' а,.

(9б) Аналогично мы можем рассмотреть интегралы 0 [Ь' и их коэффациенты Фурье д,= + (Гч) 'а„=(0 '(!г, р,), (1О) причем всегда предполагается, что постоянный член равен нулю. Формула Парсеваля (9а) наводит на мысль о том, что через обычную норму %" можно определить норму порядка г для 0 [Р' и порядка — г для 0'!Тг; это делается следующим образом: ( 0 Ж'![,=,[О гуг [!, =![Ю'[[ = я ~ [а„[з, (11) Во всяком случае, коэффициенты Фурье обобщенной функции так же, как и коэффициенты Фурье обычной функции, дают „конкретное" или „явное" представление Г". Обобщенная периодическая функция у' представляется последовательностью чисел с, для всех аначеннй индекса ч (предполагается, что со — — О), такой, что существует фиксированное число г, для которого ряд (12) ') Такой искусственный прием с успехом применял П. Лакс в работе [б); затеи его применяли и другие.

[Этот прием был применен ранее в работе Петровского [5[. — Приди ред.[ сходится; тогда числа (гч) 'с, = а, являются коэффициентами Фурье неноторой функции В' с интегрируемым квадратом. Приложение к гл, )Г1 Конечно, можно определить и явно производить все операции над периодическими обобщенными функциями, опираясь на это представление. 4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Негативные нормы. Сильные определения. В й 2 и выше в п.

2 мы вводили обобщенные функции у с помощью, слабых определений", т. е. с помощшо „скалярных произведений" с функциями и, принадлежащими пространству З; обобщенные функции У' рассматриваются как элементы „двойственного пространства' так же, как в проектигной геометрии есть двойственное соответствие между плоскостями и точками, которое устанавливается через скалярное произведение их координат.

Очень интересно' ), что можно опредеделить обобщенные функции также с помощью .сильных определений', через пополнение всюду плотных множеств гладких функций г некоторой норме гильбертова пространства. На такой метод опираются основные операции в классическом прямом вариацнонном исчислении; этот метод с успехом применял П. Лаксг) и другие. Здесь мы дадим только его краткое описание. В случае периодических функций, рассмотренных в п. 3, ситуация очень проста. Сначала в гильбертовом пространстве периодических функций ггг с нормой ~)Ф'(! мы рассмотрим всюду плотное множество функций Уе', обладающих производными вплоть до порядка г; затем мы построим непрерывные функции О'уе' = у и пополним это множество в норме !) Ж'~(. Таним образом, в это полное гильбертово пространство мы включим в качестве идеальных элементов пределы у и назовем ~~В'~~ = ~~у~~ г негативной нормой у' порядка — г.

Ясно, что для периодических функций эти нормы и соотношения между ними такие же, как те, что даны в п. 2. Во всяком случае, негативные нормы позволяют дать сильное определение идеальных элементов череа замыкание по некоторой гильбертовой норме. Легко видеть, что идеальные элементы, полученные с помощью сильного определения, по существу эквивалентны идеальным элементам, ранее построенным с помощью „слабых определений". Предположение о периодичности совершенно несущественно для этих рассуждений.

Для функций Ф' и Г", задашгых во всем пространстве х, мы могли бы рассматривать основные функции иа пространства Ж, а функции Ф' — из гильбертова пространства, полученного пополнением пространства финитных функций из С в норме,()у'~). Тогда для любого индекса г пополнение йе приводит к гвльбертову пространству обобщенных функций 0'Ю' =у с негативной нормой ') См., например, применение к построепню решений краевых задач еарнацнонными метоламн (т. 1И). ') См., например, П. Ланс [6). 791 Э Е Модифинании теории ! у '1 , = (, ,'Ж"!.

Заставляя инлекс г пробегать все значения и объедгшяя все определенные таким образом идеальные элементы, мы приходим н определению обобщенных функций, по существу (но не полностью) эквивалентному определению, данному в $ 2. Более ясную аналогию с определением через коэффициенты Фурье в случае периодических функций, нонечно, дает теорема Парсеваля (6) для интегралов Фурье. 5.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее