Э. Парселл - Электричество и магнетизм, страница 11

поля через Е,. Следовательно, поток через поверхность 5, равен просто 4лг,'Е, и, по закону Гаусса, должен быть равен произведению 4п на заРЯд, охватываемый повеРхностью. Итак, 4пгт«Е»=4п М(заРЯд внутри 5;) или заРяд внутри ьт (23) 1 Сравнивая эту величину с полем точечного заряда, мы видим, что поле во всех танках поверхности 5, является таким вк, как если бы весь заряд внутри 5, бы сосредоточен в т(енгпре. Аналогнсгное утверждение применимо к сфере, проведенной внутри распределения заряда.

Поле в любой точке на поверхности 5« являешься таким же, как если бы весь заряд внутри 5, был расположен в центре, а вне 5, заряда не было бы. Очевидно, что поле внутри «полого» сфеВиулгуги рнческого распределения заряда равно В=В нулю (рис. 1.20). Применяя то же доказательство к гравитационному полю, мы приходим к заключению, что Земля, если считать распределение ее массы сферическн симметричным, притягивает внешние тела р с. ьгй п„...ттрк ..р - таким образом, как будто ее масса сокой сферической обокочкк реево средоточена в центре. Это широко известное утверждение было доказано в т.

1 с помощью гравитационного потенциала и интегрирования. Тем, кто считает, что этот приннип выражает очевидное свойство центра масс, следует напомнить, что эта теорема не является, в общем, справедливой для других форм. Правильный куб с однородной плотностью не притягивает внешние тела так, как будто его масса сконцентриоована в его геометрическом центре. Ньютон не считал эту теорему очевидной. Она служила ему основой для доказательства того, что на Луну при ее движении вокруг Земли и на тело, падающее на Землю, действуют одни и те же силы.

Задержка публикации теории гравитации Ньютона примерно на двадцать лет объяснялась, во всяком случае частично, теми затруднениями, которые он испытывал, доказывая эту теорему. Доказательство, которое он, в конце концов, получил и опубликовал 44 в«Рг!пс1р(а» в 1686 г(!книга, ХП раздел, ХХХ! теорема), является чудом изобретательности, которым было осуществлено, грубо говоря, сложное объемное интегрирование без помощи известного нам теперь интегрального исчисления. Это доказательство было намного длиннее, чем вышеприведенное рассмотрение закона Гаусса, и более сложно обосновано. И все это потому, что, несмотря на математическую находчивость и оригинальность, присущие Ньютону, ему не хватало теоремы Гаусса — соотношения, которое теперь кажется таким очевидным и почти тривиальным. 1.12.

Поле линейного заряда где Π— угол между вектором поля от заряда й(у и направлением оси у. Полная у-компонента поля вычисляется интегрированием ат Ер = ) ЙЕ»= ~ й, «!х. аа (25) 45 Длинный прямой заряженный провод, если пренебречь его толщиной, можно характеризовать количеством электричества на единицу длины. Обозначим эту линейную плотность заряда, измеряемую в единицах СГСЭ на сантиметр, буквой Л. Чему равно электрическое поле такого провода, предполагаемого бесконечно длинным и имеющего постоянную линейную плотность заряда Л> Мы решим эту задачу двумя способами, Первый ау из них использует закон Кулона.

l р д'л Для вычисления поля в точке Р 1г Я й йн (рис. 1.21) мы должны сложить ,гр у вклады от всех элементов линейного заряда, один из которых изо- .-.-л -р бра>кен на рисунке в виде элемента длиной йх. Заряд й(д на таком элементе равен й(у= — Лдх. Ориеити- л, У Ф~Р руя нашу ось х вдоль провода, мы можем провести ось у через точку ры>р= лад Р, расположенную на расстоянии нл Г СМ От бЛИжайШЕй ТОЧКИ ПрОВОда. Рн,, „„„,„,, „„„, Р „„„„, Воспользуемся соображениями векторной сявнолй вкладов от каждото алевента лннейното ааряда. Рнс. б пред. Снмметрин, из которых слЕдует, ставляет содой честь рве, о.

что электрическое поле в точке Р должно быть направлено вдоль оси у. Поэтому об>е компоненты поля Ел и Е, должны быть равны нулю. Вклад заряда с(а в Гнкол>поненту электрйческого поля в точке Р равен дЕ„= —,созО= —,созО, сар Л дл (24) Рис. 1 а2. Определение паля ли нернсгс ааряяа с аааасиааиа еес раны Гаусса.

Е =- — ' 2>. с 71 (22) аналогичное формуле (26). 1.13. Поле бесконечно большого плоского заряженного слоя Равномерно распределенный по тонкому слою электрический заряд называют поверхностным распределением заряда. Рассмотрим плоский слой, простирающийся в бесконечность с постоянной поверхностной плотностью заряда а. Электрическое поле по обе стороны слоя, какова бы ни была его величина, должно быть направлено перпендикулярно к плоскости слоя; в системе не может быть другого выделенного направления. В точках Р и Р', расположенных на равных расстояниях по разным сторонам от слоя, векторы электрического поля благодаря симметрии должны иметь одинаковую величину, но противоположные направления.

Имея это в виду, мы сразу определим величину поля, пользуясь законом Гаусса. Начертим цилиндр (рис. 1.23) с поперечным сечением А, на одном из концов которого расположена точка Р, а на другом Р'. Наружный поток имеет место только иа концах, так что если через Ер обозначить величину поля в точке Р, а через Ер— величину поля в точке Р', то наружный поток будет равен АЕр+ Здесь удобно использовать в качестве переменной интегрирования угол О.

Поскольку саа=г/созО и г(х=-(сг(О/созО, интеграл равен и/а н~' а Š— (' Х '~' В пз =- с" ( соз О г(О = нл (26) —:с ' а -и:е Мы видим, что поле бесконечно длинного провода с однородной плотностью заряда обратно пропорционально расстоянию от провода. Поле направлено от провода, если провод заряжен положительно, н к проводу, если заряд отрицательный.

Е Второй способ решения основан на с законе Гаусса и приводит к такому же результату. Окружим элемент линейного заряда замкнутым круговым цилиндром с длины Е и радиуса г (рис. 1,22) и рассмотрим поток через эту поверхность. Как мы уже отмечалп, симметрия задачи гарантирует, что поле является радиальным, так что поток через торцы этой аконсервной банки> равен нулю. Поток через цилиндрическую поверхность равен просто площади 2лгЕ, умноженной на напряженность поля на поверхности (Е„).

С другой стороны, заряд, окруженный поверхностью, равен Хь, таким образом, закон Гаусса дает нам выражение 2пг(Е„=4пйь, или .1-АЕр — — 2АЕэ. Заряд в цилиндре равен ОА. Следовательно, 2АЕн= =4ИОА или Ер = 2ло. (28) Мы видим, что величина поля не зависит от Г, т. е. от расстояния до слоя. Уравнение (28) можно было бы вывести более сложныдг путем, вычисляя векторную сумму вкладов в поле в точке Р от всех малых элементов заряда в слое. Поле бесконечно длинного заряженного провода, как мы обнаружили, меняется обратно пропорционально расстоянию от провода, в то время как поле бесконечно большого слоя имеет одинаковую напряжениость на всех расстояниях от ц Рг,'Г слоя, Это — простые следствия того факта, что поле точечного заряда изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Если все вышесказанное еще нс очевидно,то можно р Г .т'»ггпу,'т,,— '-.

— р привести такое разъяснение: в грубом ~~~",';,':,','~...',', =-' — =-=: †: ' 1 приближении частью линейного за- рэ, йгэл"'„'-',,;1?рь, „-;„,„,, Е, ряда, КОтОрая В ОСНОВНОМ ОтВЕтет- )Е(/г, г',,ГГгэтгг 1Лу,,'8 ' венна за поле в точке Р (см. рис. 1.21), является ближняя его часть, расположенная на расстоянии величины порядка Г. Если все эти части сложить. а остаток отбросить, то мы получим концентрированный заряд величины дж).Г, который должен Соэдатв ПОЛЕ, ПроиорцИОНаЛЬНОЕ Г)ГГ~ Рне. ЬЗЗ.

Опреаеэенне паля беено- ИЛИ )(Г. )1 СЛуцас СЛОЯ КОЛИЧЕСТВО печно большого энэеженного слоЯ электричества, которое является в этом смысле чэффективным», увеличивается пропорционально Ге по мере удаления от слоя и компенсирует уменыпение поля, пропорционального 1/Ге, для любого элемента заряда. Задачи 1.1. а) Фундалгвнагальггый вопросе сравнение гравитаг)ионной и элекглричвской сил, двйсглвуюи)их лгвекду элсмвнпарными частицамги Сравните электростатическое отталкивание двух электронов, расположенных на расстоянии Г друг от друга, с гравитационным притяжением тех же частиц.

Чему должна быть равна масса электрона, чтобы в точности уравновесить эти силы? (Такие фундаментальные постоянные, как заряд и масса электрона и гравитационная постоянная б, приведены в Приложении )П.) Ответ. Гегпр .— — 4,15.10ге, гп= 1,85 1О-е г. б) Единицьг массы и заряда определеиьг различны,ни способами.

В законе всемирного тяготения (т. 1, гл. 3) 6 является постоянной, которую следует определить экспериментально, если грамм, единица массы, определен независимо. В снстеме электрических единиц СГСЗ для определения единицы заряда слугкит сам закон Кулона. Предполагая, что единица массы установлена точно таким же образом, найдите, чему будет равна ваша собственная масса в таких единицах? !.2.

Чему равна полная электростатическая сила, действующая на единицу положительного заряда, помещенного в центре квадрата со стороной Ь, если по углам квадрата расположены заряды 7?, 24, — 44 и 24? О т в е т. Р = !07?/Ьз. 1.3. Дна одинаковых, наполненных гелием шара, к которым привязан груз весом в 5 г, парят в равновесии, кзк показано на рисунке. Каждый шар несет заряд О. Определите величину заряда в единицах — Ц СЭ . О т в е т. 1660 ед.