Э. Парселл - Электричество и магнетизм, страница 10

Чтобы понять происхождение этого названия, выберем векторную функцию, представляющую собой скорость движения жидкости, например в реке,где скорость меняется от одного места к другому, но является постоянной во времени в любой точке. Обозначим, это векторное поле, измеряемое, скажем, в см(сек, через р. Тогда, если а обозначает (в сже) элемент площади, погруженной в воду, то произведение р а является потоком воды через элемент плошади в гиз(сек (рис.

1.14). Необходимо подчеркнуть, что наше определение потока применимо к любой векторной функции, какую бы физическую постоянную она ни представляла. уутзуузрг = 0 Потк = эа сои 60'=05 гул Рис. ЬМ Поток ~врез раику площадью а равен и а Вели и -- скорость жидкости, то поток равев ойьсму 1кадкости, прйходяитсй |срез рамку в едиви~ту врсмев». Теперь сложим потоки через все элементы поверхности.

Ыы получим скалярную величину Ф, которая является потоком через всю поверхность: Ф=. ~чл ~Е,, а,. (16) по всем т Беспредельно уменьшая участки и увеличивая их число, перейдем от суммы (1б) к поверхностному интегралу: Ф=- ~ Е т(а. (17) по всей поеерхиости Поверхностный интеграл от любой векторной функции Г по поверхности 5 означает следующее: разделим 5 на небольшие элементы, каждый из которых представлен вектором, направленным наружу, величина которого равна площади элемента; на каждом элементе возьмем скалярное произведение вектора площади элемента и локального значения вектора Г и просуммируем все эти произведения; пределом этой суммы, по мере уменьшения элементов, будет поверхностный интеграл.

Пусть вас не пугает перспектива таких вычислений для различных поверхностей сложной формы, как, например, на рис. 1.!3. Удивительное свойство, которое мы собиРаемся продемонстрировать, делает такие вычисления ненужными! 39 1.1О. Закон Гаусса Возьмем наиболее простой случай: предположим, что поле создано изолированным положительным точечным зарядом 1? и что поверхностью является сфера радиуса г, в центре которой расположен точечный заряд (рнс. 1.15). Чему равен поток Ф через такую поверхность? Ответить на этот вопрос легко, так как величина поля Е в каждой точке поверхности равна фге, а его направление совпадает с наружной нормалью в этой точке, Итак, мы имеем Ф=Еквсю площадь= е .4пг'=4пд, г" (18) Поток не зависит от размеров сферы.

Теперь представим себе вторую поверхность, или оболочку, охватывающую первую, но не сферической формы (рис. 1.16). Мы утверждаем, что полный поток через эту поверхность равен потоку через сферу. Для доказательства рассмотрим конус, выходящий нз !?. вырезавший небольшой элемент а на поверхности сферы и продол- Рнс. !.15. Чему равен нарумнмп поток через сферу длн поля Е точечного заряда От Рнс. 1.16, На рисунке показано, что поток через любую замкнутую поверхность вокруг О равен потоку через сферу. жающийся до внешней поверхности, на которой он вырезает элемент А, на расстоянии Я от точечного заряда.

Площадь элемента поверхности А больше площади участка а по двум причинам: во-первых, из-за отношения квадратов расстояний ()?ггг)а и, во-вторых, из-за того, что наклон элемента поверхности дает множитель 1(соз О. Угол 0 образован внешней нормалью и радиальным направлением (см. рис. !.16). Электрическое поле в области нормали меньше поля на сфере на множитель (г/??)в, но направлено также радиально, Если обозначить чеРез Еьчт поле У внешнего Участка и чеРез Еоч поле У 40 сферы, то мы имеем: поток через участок наружнои =Еся> А=Е>я>Асоз6, поверхности= оверхности= поток через участок внутреннеи п (19) =Е<,> а=Ем>а, Е>я> А сов 0= ~Еы> ~ — > ~ ~ а> — > —,1 соя 0 =Ем>а.

~Л) ~ >> т г) созб> Таким образом, потоки через оба участка равны. Каждую часть внешней поверхности можно совместить с частью сферической поверхности таким образом, что полный поток будет одинаковым через обе поверхности. Иными словами, поток через новую поверхность также должен быть равен 4пд. Но мь> рассматривали поверхность произвольной формы и размеров е). Следовательно, поток электрического поля через любую поверхность, охватьшаюшую точечный заряд д, равен 4яд.

Мои>но также показать, что полный поток через замкнутую поверхность равен нулю, если заряд расположен вне поверхности. Предоставляем это доказательство читателю. Рис. 1.17 содержит указание на возможный а) способ доказательства. Существует один способ рассмотрения всей этой проблемы, благодаря которому результат становится очевидным. Представим себе, что в точке >1 расположен источник, излучающий частицы — например, '7 ядра или фотоны — во всех направлениях с постоянной скоростью.

Ясно, что поток а) часпш через отверстие, равное единице пло- ре,, ч„м „,н„„, щади, будет уменьшаться обратно пропор- чта нз рнс. а нотон через 5 рзеен нул~а, манена воснольционально квадрату расстояния от отвер- зовзтьсн рнс. б. стия до а. Следовательно, мы можем провести аналогию между напряженностью электрического поля Е и интенсивностью потока частиц, выраженной в ядрах на единицу плошади в единицу времени.

Довольно очевидно, что поток ядер через любую поверхность, полностью охватывающую заряд д, не зависит от размера и формы этой поверхности, так как является полным количеством, излучаемым в единицу времени. Соответственно поток Е через замкнутую поверхность не должен зависеть от ее размеров и формы. Зто объясняется обратной пропорциональностью интенсивности потока квадрату расстояния. "1 Лля большей уверевности мы выбирали такую вторую поверхность, которая охватывает сферу, но это не обязательно.

Кроме того, сферу можно выбрать сколь угодно малых размеров. 41 Применим теперь принцип суперпозиции. Любое электрическое поле является суммой полей отдельных источников. Это свойство было выражено в формулировке закона Кулона (уравнение (13)). Ясно, что поток является аддитивиой величиной в том смысле, что если мы имеем некоторое число источников дг, дя, ..., г)ьш поля каждого из которых были бы равны Е„Е„..., Е, то поток Ф через некоторую поверхность 5 в реально существующем поле можно выразить равенством Ф = ') Е г(а =- > (Ег-, Е, + ....чх Еа| г(а.

(20) 5 з Мы только что установили, что ~ Е„г(т равен 4пг)ч, если заряд г)„расположен внутри поверхности 5, и равен нулю снаружи. Таким образом, каждый заряд г) внутри поверхности вносит вклад, равный точно 4пд, в поверхностный интеграл уравнения (20), а все внешние заряды не вносят ничего. Мы пришли к закону Гаусса: Поток электрического поля Е через любую замкнутую поверхность, т.

е. интеграл ~ Е г(а по поверхности, равен произведенгио 4п на полный заряд, охватываемый поверхностью: (о]) ) Е с(а = 4п ~' г), = 4п ~ о г(к ) Здесь имеется одно различие, несущественное в данном случае, но вмеющее отношение к дальнейшему изучению полей движущихся зарядов. Закон Гаусса справедлив для более широкого класса полей, чем электростатические поля.

В частности, закону Гаусса может удовлетворять сйюрическое несимметричное поле, величина которого обратно пропорциональна квадрату г. Лругими словами, один закон Гаусса не является доста1очньги условием симметрии поля точечного источнина, подразумеваемого в законе Кулона. 42 Мы называем это утверждение законом, так как оно эквивалентно закону Кулона и может с равным успехом считаться основным законом электростатического взаимодействия после определения заряда и поля. Законы Гаусса и Кулона не являются двумя независимыми физическими законами, а представляют собой один и тот же закон, выраженный в различных формах в), Возвращаясь к нашему доказательству, мы видим, что оно основано на обратной пропорциональности взаимодействий квадрату расстояния и, конечно, на аддитивности нзанхюдействий, т, е.

на принципе суперпозиции. Таким образом, эта теорема применима к любому физическому полю, в котором действует закон обратных квадратов, например к гравитационному полю, что >поминалось в гл. 9 т. Е Легко доказать, что закон Гаусса несправедлив для поля, сила которого обратно пропорциональна, скажем, кубу расстояния. В этом случае поток электрического поля от точечного заряда д через сферу радиуса Р, в центре которой расположен заряд, равнялся бы Ф=- ') Е да= — ", 4п)ге оп — и" .

(22) Следовательно, увеличивая радиус сферы, мы можем сделать поток сколь угодно малым, в то время как полный заряд внутри сферы остается постоянным. Эта замечательная теорема расширяет наши возможности в двух отношениях. Во-первых, она дает связь между полем и его источниками, в некотором смысле обратную той, что дает закон Кулона. Закон Кулона дает возможность определения электрического поля по заданным зарядам; по закону Гаусса мы можем определить величину заряда в любой области, в которой известна величина поля. Во-вторых, приведенное здесь математическое соотношение является мощным аналитическим инструментом; оио может, как мы увидим, облегчить решение сложных задач. 1.11. Поле сферического распределения заряда Мы можем использовать закон Гаусса для определения электрического поля сферически симметричного распределения заряда, т, е. распределения, в котором плотность заряда р зависит только от расстояния до центральной точки На рис.

1.18 изображено поперечное е! '1 сечение такого распределения. Плотность заряда в этом распреде- Р! l ! ! Ег „о!Ж';,",ф(о о:"%з(й -:. ! ! еФ l Рис 1.1Р. Зпектриаеское поле сферикескосо распределении за. ряда. Рис. 1,1К Соерниески сиииетрипкое распределеиие заряда. ленин неравномерна: в центре она больше, чем на некотором расстоянии от него, затем уменьшается, потом снова увеличивается и на расстоянии, болыпем г„равна нулю.

Чему равна величина электрического поля в некоторой точке Р„расположенной за пределами распределения, или в точке Р, внутри него (рис. 1.19)? Если бы мы пользовались только законом Кулона, то мы должны были бы вы- полнить интегрирование, которое суммировало бы векторы электрического поля в точке Р„создаваемые каждым элементарным объемом в распределении заряда. Рассмотрим другой подход, в котором используются и симметрия системы, и закон Гаусса. Благодаря сферической симметрии электрическое поле в любой точке должно быть направлено по радиусу — другого направления быть не может. Величина поля Е должна также быть одинаковой во всех точках сферической поверхности 5, радиуса г„так как все такие точки являются эквивалентными. Обозначим величину этого.