Э. Парселл - Электричество и магнетизм, страница 14

)(х+Лх, у, г) — )(х, у, г) дх ах е Лх Например, если (=хауге, то д) — = Зхуга, дх д) хегз ду †='уг'. д) дг 55 ~~ является вектором, который определяет изменение функции ( в окрестности точки. х-компонентой этого вектора является частная производная от) по х, т.

е. мера скорости изменения 7' в направлении оси х. Направление вектора ~~ в любой точке является направлением,, в котором следует двйгйтьс)г от этой-точкя-для наиболее быстрого увеличения функции ~. Предположим, что мы имеем дело с функцией только двух переменных'х и у, так что она может быть представлена поверхностью в трехмерной системе координат.

Стоя в некоторой точке на этой поверхности, мы видим, что она в одних направлениях поднимается, а в других, противоположных, опускается. В одном из направлений за один короткий шаг мы поднимаемся выше, чем за шаг такой же длины в любом другом направлении. Градиент функции — это вектор, совпадающий по направлению с наибольшей крутизной, величина которого равна наклону, измеренному в этом направлении.

Рис. 2.3 поможет вам понять это определение. Представим себе некоторую определенную функцию двух координат х и у, изображенную в виде поверхности г(х, у) на рис. 2.3, а. В точке (х„у,) поверхность поднимается наиболее круто в направлении„составляющем угол примерно 80' с положительным направлением осн х. Градиент 7 ! функции ) (х, у), является векторной функцией х и у.

Характер распределения градиента показан на рис, 2.3, б некоторым количеством векторов в разных точках Ф' У) двумерного пространства, включающего точку (х,у,). Векторная у функция ~"Г, определенная уравпением (!2), является просто распространением эгой идеи на трехмерное пространство.(Будьте осторожны и не перепутайте ! рис.

2.3, а с изображением трех, 'уарюта' ~ )~"'Глругд ' мерного пространства х, у, г; третья координата на этом рясунке представляет собой величину функции )(х, у)). Л' В качестве примера функции в трехмерном пространстве пред- б) Рнс ".б. Скалярная ф>нкция Г О, Ф представлена поверхностью (а>. Стрел«н нзобраюаюг векторную функцию ягагн ел Рнс 2.З. Саина «оротинб путь тля данного изиенення функции ) — зго рзднальння путь АВ, если ! зависнг только от г. ставим себе, что г зависит только от г, где г — расстоянье до некоторой фиксированной точки О. На сфере с радиусом г„с центром в точке О, ) =г'(г,) является величиной постоянной. На сфере с несколько большим радиусом «,+бг эта функция также постоянна и равна 1(го+агу).

Если мы хотим изменить значение функции от Г" (г,) ДО ! (Гв-.'-б(Г), тО КРатЧайШИй ПУТЬ, КОТОРЫМ МЫ Мпжсы ЭТОГО ДОСт> Г- нуть, совпадает с радиусом (отрезокАВ, но неАС(рис. 2.4)). «На- Ы «лон» 1" является, таким образом, наибольшим в радиальном направлении, так что Ч )' в любой точке есть вектор, совпадающий с радиусом. Действительно, в данном случае Ч1"=г (д9дг), где г для любой точки обозначает единичный вектор в радиальном направлении. 2.4.

Получение поля из потенциала Теперь легко убедиться, что скалярная функция 1" так же связана с векторной функцией Ч), как и потенциал Ч с полем Е, если не считать знака минус. Рассмотрим величину гр в двух близких точках (х, у, г) и (х.с.дх, у-';ду, г-,.г)г). Изменение ~у пря переходе из первой точки во вторую имеет следующий вид: дЧ =- — 'бх+ — 'ф ' — и'а. дч, дт., дф д» ' ду ' дг (13) С другой стороны, из определения ~1 зто изменение можно выразить также следующим образом: йр =- — Е сЬ. (14) Бесконечпо малое смещение вектора с(з равно хдх — 'гуг(у+хдг.

Таким образом, если мы отождествим Е с — ЧЧ, то уравнения (13) н (14) окажутся одинаковыгнь Итак, электрическое поле равно отрицательному значению градиента потенциала; Е = — Чс~. (15) Знак минус показывает, что электрическое поле направлено из области положительного потенциала в область отрицательного потенциала. Направление вектора Чгр указывает направление увеличения ср. Для разъяснения вернемся к примеру поля на рпс. 2.2.Пользуясь значением потенциала, полученным из уравнения (11), Ч= — Кку, можно восстановить вид электрического поля, с которого мы начали: Е = — Ч ( — Кху) = — ~~х — + у — ) ( — Кху) = К (ху+ ух).

(16) дх ' ду,~ 2.5. Потенциалы распределения заряда, двух точечных зарядов и длинного заряженного провода Потенциал распределения заряда. Нам известно значение потенциала, связанного с единичным точечным зарядом. Действительно, уравнение (3) гл. 1 позволяет вычислить работу, требуемую для переноса одного заряда в окрестность другого. Потенциал в любой точке поля изолированного точечного заряда д равен д/г, где г — расстояние от этой точки до источника д, если потенциал точек в бесконечности принять равным нулю. Потенциалы, таи же как и поля, подчиняются принципу суперпозиции.

При 67 наличии нескольких источников потенциальная функция является просто суммой потенциальных функций, относящихся к каждому из источников в отдельности, при том условии, что мы задаемся единым нулевым потенциалом. Когда все источники расположены в некоторой конечной области, это всегда возможно и обычно простейшим условием является выбор нулевого потенциала в бесконечности. Придерживаясь такого правила, мы можем выразить потенциал любого распределения заряда интегралом: р (х', а', 2') с(х' ау' с(2' (17) г но всем источникам где г — расстояние от элемента объема ((х'((у'((г' до точки (х, у, г), в которой вычисляется потенциал (рис.

2.5). Такил! образом, (= =((х — х')'+(у — у')в+(г — г')2]' . Обратите внимание на различие уха аааа (ху г) ! 1 гленике! эта ! ! ! Рис. 2.5. Каждый элемент распределени» заряда р(хл рт х'! вносит вклад в потенциал ж в точке (х, р, а! Потев. пиал в это!(точке нвлиется суммой всех таких вкладов (уравненне й вж Рве, 2.0 Электрический потенциал !р в различных точках системы нз двух точечных зарядов, Ч стремится к нулю н» бесконечно болвюом расстоянии. Заряд выражен в единицах СГСЭ,, потенциал р выражен в единицах СГС4у, или в эр. гах на единицу заряда.

между этим выражением и интегралом, дающим электрическое поле распределения заряда (уравненпе (!.!5)). Здесь мы имеем в знаменателе г, а не гх и интеграл является скалярной величиной, а не векторной. Из скалярной потенциальной функции Ч( (х, у, г) мы всегда можем получить электрическое поле, образовав отрицательный градиент (р, согласно уравнению (15). Потенциал двух точечных зарядов. Рассмотрим очень простой пример — потенциал двух точечных зарядов, показанных на рис. 2.6. Положительный заряд 12 ед. СГСЭ, расположен в 3 см от отрицательного заряда, равного — 6 ед. СГС4 . Потенциал в любой точке пространства равен сумме потенциалов, созданных каждым зарядом в отдельности. Потенциалы для некоторых выбранных в пространстве точек приведены на рисунке.

Здесь имеет место не векторное, а алгебраическое сложение скалярных величин. Например, в далекой точке, расположенной справа, расстояние которой от положительного заряда равно 6 см, а от отрицательного 5 см, потенциал равен (+'Я:;-( — ",~,)=--70,8. Он выражается в данном случае в единицах СГСЭ„/см, что то же самое, что и эре/ед. СГСЭ или ед.

СГСЭ . На бесконечности значение потенциала стремится к нулю. Для переноса единичного положительного заряда из бесконечности в точку с гр=0,8 ед. СГСЭк потребовалась бы работа, равная 0,8 эрг. Заметьте, что две точки на рисунке имеют ~Г=О. Конечная работа, затраченная на перенесение любого заряда из бесконечности в одну из этих точек, будет равна нулю. Можно убедиться, что существует бесконечно большое количество таких точек и что онн образуют в пространстве поверхность, охватывающую отрицательный заряд. Геометрическим местом точек с определенным значением гр является поверхность. Она называется эквилотенпипльной поверхностью.

На плоском чертеже она изображается кривой. Потенциал длинного заряжен ного провода. Применение уравнения (17) не всегда возможно: оно справедливо только в тех случаях, когда все источники расположены в некоторой конечной области пространства. Простым примером затруднений, возникающих в случае бесконечного распределения зарядов, является случай длинного заряженного провода, поле Е которого изучалось нами в разделе1.12. Если мы примем потенциалы далеких точек в такой системе равными нулю и выполним интегрирование по распределению заряда, приведенному в уравнении (15), то мы обнаружим, что интеграл расходится — мы получим бесконечно большой результат.

Этого следовало ожидать, так как в данном случае кбесконечность» (т. е. пространство, очень далекое от области, в которой мы хотим определить потенциальную функцию) включает не только точки, удаленные от провода, но и большую часть самого провода! При определении электрического поля бесконечно длинного провода такой трудности не возникало, так как вклады элементов линейного заряда в поле быстра уменьшаются с увеличением расстояния, Очевидно, что в системе зарядов, распределенных до бесконечности, лучше расположить нулевой потенциал где-нибудь поближе. Тогда останется только вычислить разность потенциалов йм между любой точкой (х, у, з) и выбранной точкой, пользуясь фундаментальным соотношением (7).

Вернемся к примеру бесконечно длинного заряженного провода, расположим произвольно вышеупомянутую точку Р, на расстоянии г, от провода. Тогда для перенесения единицы заряда из точки Р, в точку Р„расположенную на расстоянии г„требуется работа: Р, и гр»» = — ) Е дэ = — ~ ( — ') й = — 2л 1пг, + 2Х 1п г,. (18) г 72хх л, и Это выражение показывает, что электрический потенциал поля 59 заряженного провода имеет вид «р = — 2Х 1п г + сопз(.

(19) Постоянная 2Х1пг, не играет роли, когда мы вычисляем — ягаб«р, чтобы получить поле Е. В этом случае " аср 2кг — '(г«р = — — г — = — ' де г 2.6. Равномерно заряженный диск Рассмотрим в качестве конкретного примера электрический потенциал и поле вблизи равномерно заряженного диска. Это распределение заряда похоже на рассмотренное в разделе 1.13, но в отличие от него ограничено.

Плоский диск радиусом а иа рис. 2. 7 заряжен положительно, причем заряд распределен по его поверхности с постоянной плотностью о, в ед. СГСЭ,/сме. а (Это — одинарный слой заряда а бесконечно малой толщины, а не два слоя по обеим сторонам диска. Следовательно, полный заряд системы равен лаео.) В дальнейшем с«У > мы часто будем иметь дело с поу у верхностными распределениями за- ряда, особенно на металлических р . ах ояред ° ин"' в "" проводниках. Однако рассматри.