Э. Парселл - Электричество и магнетизм, страница 9

Чтобы представить себе элентрическое поле, вы должны связать с каждой точкой пространства вектор. В этой книге мы будем пользоваться различными способами представления векторных полей, но ни один из ннх не является полностью удовлетворительным. Векторную функцию.

заданную в трехмерном пространстве, трудно представить в пространстве двух измерений.Мы можем изобразить величину и направление Е в различных точках, нанеся на рисунок небольшие стрелки вблизи этих точек и делая стрелки длиннее там, где поле Е больше а). Пользуясь таким способом, мы изобразили на рис. !.9, а поле изолированного точечного заряда, равного т 3 произвольным единицам, и на рис. !.9, б поле точечного заряда в — ! единицу.

Эти изображения ничего не прибавляют к нашему пониманию поля изолированного заряда; каждый может представить простое радиальное поле силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и без помощи таких изображений. Мы делаем это, чтобы *) Такое представление довольно нелепо. Трудно указать такую точку в пространстве, которой соответствует данная величина вектора; кроме того, диапазон величин Е часто настолько велик, что выбор длин стрелок, пропорниональнык Е, обычно неосуществим.

34 иметь возможность объединить оба поля на рис, 1.!О, на котором таким методом представлено поле двух разных зарядов, разведенных на расстояние а. На рис. 1.10 изображено только поле в плоскости, содержащей заряды. Для получения полного трехмерного представления следует вообразить, что рисунок вращается вокруг оси )) тух ,а а., ь .т а' Х' .т Рнс.

).9. а) Поле заряда о,.= — '3. б) Поле заряда с,= — !. Оба рисунка весьма приблизи- тельны и амеатт талысо ззлл~остратнвное знаяенне. симметрии. На рис. 1.10 существует одна точка пространства, в которой поле Е равно нулю. На каком расстоянии от ближайшего заряда она расположена'. Заметьте также, что на краях рисунка поле 3 а ь, я л Ф а Л;Русу ~,7 о,уйиузт - у ') Рис. ).)б. Поле в окрестноспз двух заридон, е,=-)-3, ба=- — ), является супероозиниеб нолен, ноказаинык на рис.

).9, а а 6. направлено в основном наружу и поэтому на большом расстоянии от зарядов оно похоже на поле положительного точечного заряда. Этого следовало ожидать, потому что разведение зарядов не может иметь большого значения для точек, расположенных на больших расстоя- 2* за ноях, и если два наших источника соединить в одном месте, то останется точечный заряд, равный +2 единицам. Другим способом представления векторного поля является изображение силовых линий поля. Последние представляют собой просто кривые, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением поля в этой точке.

Такие кривые являются гладкими и непрерывными, за исключением таких особенностей, е как точечные заряды, или таких точек, как та точка в примере рис. 1.10, где поле равно нулю. По силовым линиям нельзя непосредственно определить величину поля, несмотря на то, что обычно, как мы увидим, силовые линии сходятся по мере прибли° Лудит о-У жения к области сильного поля и расходятся в области слабого поля.

На рис. 1.11 нанесено несколько силовых линий для такого же расположения заряРяе. Ь П. Нескольяа сялояих ляяяб злехтряеееяога воля вблизи двух зерядое, о, -~-з,' „= — з, дов, как на рис. 1.10, а именно для положительно- го заряда в 3 единицы и отрицательного заряда, равного 1 единице. В данном случае мы снова дюжем дать только картину на плоскости. 1,8. Распределение заряда Перейдем теперь от точечных зарядов к их непрерывным распределен и ям. Объемное распределение заряда описывается скалярной функцией, плотностью заряда р, которая имеет размерность [заряд/объем1 н зависит от положения точки в пространстве.

Таким образом, плотность р, умноженная на элемент объема, дает величину заряда, содержащегося в этом элементе объема. Если записать р как функцию координат х, у, г, то произведение р (х, у, г) б(х г(у пг будет представлять собой заряд, содержащийся в небольшом ящике с объемом б(х з(у бК расположенном в точке (х, у, г). В атомном масштабе плотность заряда, конечно, колоссально изменяется от точки к точке; несмотря на это, она оказывается полезным понятием и в втой области. Однако мы будем пользоваться ею главным образом при исследовании макроскопических систем, настолько больших, что наш элемент объема о(п=з(х б(у дг, будучи чрезвычайно малым по сравнению с размерами системы, окажется достаточно большим, что- р (х', у', г'1«((х' с(у'((г' Е(х, у, г)= ( « (! 5) Этот интеграл является объемным.

Сохраняя точку (х, у, г) непо- движной, мы заставляем переменные интегрирования х', у'и г' пере- мещаться по всему пространству, содержащему заряд, суммируя таким образом вклады всех частей заряда (рис. !.!2). Единичный вектор г направлен от (х', у', г') к (х, у, г). Если мы захотим поставить перед интегралом знак минус, то направление г следует изменить иа обратное. Правильно ставить знаки всегда трудно. Вспомним, что электрическое поле направлено от положительного источника. В окрестности реального точечного заряда электрическое поле по мере при- -:.'.: (руслу;р ближения к точке стреьштся к бесконечности как 1/«а. Понятие поля в самом точечном заряде не имеет сх(ьюла.

Поскольку наши первичнь(е физические У' "ч источники поля являются, как мы надеемся, не бесконечными концентрациями заряда в нулевом объеме, а конечными структурами, то мы просто игнорируем математические особенности, (д;уг) которые возникают при применении ри,,м , понятия точечного заряда, и не интере- пред некии аарида р(»', р',~ач суемся тем, что происходит внутри на- '„"'",ив „',",",,д „',',",",рп",",,"," ших элементарных источников. Тем не поле в атод тюке ласт»к сум мод всех таких вкладов (уравкеменее полезно заметить, что непрерыв- кие Огни ное распределение заряда не имеет особенностей и позволяет определить поле в точках, расположенных внутри самой области, где расположен заряд. Теперь нам ясно, почему объемный интеграл в уравнении (15) в окрестности «=О не будет расходиться: величина р конечна, а сам элемент объема про- порционален «хй.

Иными словами, пока р остается конечной величиной, поле будет также оставаться всюду конечным, даже внутри распределе- ния зарядов или на его границе. 37 бы содержать много атомов или элементарных зарядов. Как мы уже отмечали, подобная проблема возникает и при определении обычной плотности вещества. Если источником электрического поля является непрерывное распределение заряда, а не точечные заряды, то в уравнении (13) следует заменить сумму соответствующим интегралом. Интеграл дает значение электрического поля в точке (х, у, г), которое создано зарядами в других точках (х', у', г'): 1.9.

Г)отак Связь между электрическим полем и его источникамн может быть выражена замечательно простым способом, который будет иметь много применений. Начнем с определения величины, называемой потоком. Рассмотрим в пространстве некоторое электрическое поле и замкнутую поверхность произвольной формы. На рис. 1.!3 изображены такая поверхность и поле в виде нескольких силовых линий.

Разделим всю поверхность на столь малые части, что поверхность каждой Рнс !.(3 Замкнутая поверхность в векторном поле(М разделена на элементы малан плаца дн (Зд Каждыа алемент поверхностн представлен вектором, наарвнленным наружу (вд части (назовеы ее элементом поверхности) можно считать практически плоской; на такой поверхности вектор поля не будет заметно меняться.

Другими словами, поверхность не должна быть слишком морщинистой и не должна проходить непосредственно через особенность поля а), например через точечный заряд. Элемент поверхности имеет определенную величину, выра>кающуюся в квадратных сантиметрах, кроме того, он определяет единственное направление — направление наружной нормали. 1Поскольку поверхность является замкнутой, ее внутреннюю часть можно отличить от наружной; здесь нет неоднозначности.) Представим величину и направление элемента поверхности вектором. Тогда для каждого из элементов, на которые разделена поверхность, как, например, для элемента под номеРом), мы бУдем иметь вектоР аь оп Редел Яющи й его величинУ и направление.

Шаги, предпринятые вами, отображены на рис. 1.1З,б и в. Обратите внимание на то, что векторы а; совсем не зависят от формы элемента поверхности; способ разделения поверхности не имеет значения, пока элеи(енты достаточно малы. Обозначиь( через Е, вектор электрического поля на элементе поверхности 1. Скалярное произведение Е; а; является числом. Мы *) Под особенностью поля мы обычно понимаем не только точечный источник, где поле приближается и бесионечности, но любое место, где величина нли направление поля претерпева(от разрыв, кан, например, бесконечно тонкий слой коннентрироваиного заряда. Этот последний, более слабый внд особенности не вызывает трудности, пока некоторая конечная поверхность нанмго объема не совпадает с поверхностью разрыва. называем это число потоком через данный элемент поверхности.