Э. Парселл - Электричество и магнетизм, страница 13

1.21. Заряд распределен с цилпндрп меной спнл~етриен. Мы доказали, что поле сферическн симметричного распределения заряда вне сферы является таким, как будто весь заряд сосредоточен в центре, а поле внутри полости равно нушо. Докажите аналоги шую теорему для распределения заряда, имеющего цилиндрическую симметрию и бесконечную протяженность в направлении оси, например, для длинной заряженной трубки.

1.22. ??ом равномерно заряженной сферы. Рассмотрите сферическое распреде. ление заряда с однородной плотностью р, от г=.О до г=--.а и рэ=О при г>а, Опреде. лите электрическое поле для всех значений г как меньших, так н больших а. Имеется ли разрыв поля при прохождении поверхности при г=а? РТчеется ли такой же разрыв при г=б? Гд дня 2 ЗЛЕКтРИЧЕСКИй ПОтЕНЦИЛЛ 2.!. Линейный интеграл электрического поля Рх Р, 'Рх Рис. 2.!. Паиэээне пиление пухи нэ элементы ни г(з =- х х(х + у ду, и так как вектор Е в данном примере равен Е = К (ху + ух), (2) Ь! Рассмотрим поле Е некоторого стационарного распределения электрических зарядов.

Обозначим через Р, и Р, две произвольные точки поля. Линейный интеграл от Е между двумя заданными точками, взятый по некоторому пути, соединяющему точки Р, и Р„ Р, равен ~ Е х(а (рис. 2.1). Зто означает следующее: делим путь на ко- Р, роткие сегменты, причем каждый сегмент представлен вектором, соединяющим его концы; берем скалярное произведение вектора сегмента на поле Е в этом месте пути; находим сумму этих произведений для всего пути.

Интеграл, как всегда, является пределом этой суммы при уменьшении длины сегментов и беспредельном увеличении их числа. Рассмотрим конкретный пример. 'Д е Предположим, что мы имеем электрическое поле Е с компонентами Еи=:.Ку и Е, =-Кх, где К вЂ” величина постоянная.

Зто — одна из возможных форм электростатического поля. (Мы вскоре узнаем, как это можно быстро доказать.) На рис. 2.2, а изображено несколько силовых линий нашего поля. Чему равна величина интеграла от Е между точками А и С, взятого по определенному пути АВС (см. рис. 2.2)? Вектор, представляющий элемент пути, равен то скалярное произведение Е .3(з для любого элемента пути имеет вид Е 3(а =-К(ус(х+хб(11).

(3) Вдоль отрезка пути ог А до В у=2х и 3(У=23(х. Следовательно, В В 1 1 ~ Е 3(а=К ~ (ут(х--', хр(у) =К ~ (2хс(х+2хб(х)=-4К~ хб(х=2К. (4) Вдоль пути от В до С у=2 н б(у=О ~ Е 3(а=К ~ (уб(х-,'-хб(у) =-К ~ 23(х=2К. В В 1 (5) Линейный интеграл по пути АВС равен, следовательно, 2К вЂ”;2К, илн 4К. /йх е 3 3 3 3 3 3 3 3 в) Ей тчн а) РИС 2.2.

а) ОПРСЛЕЛЕННЫй ПутЬ ДВЕ, В ОЛСКтрнЧЕСКаи ПОЛЕ ЕВьв .Ксй, Е — — КХ. ПанаванО НЕ- сколько силовых линий. б) Вычисление линейного интеграла (~Е йв по втоиу гуун )см, уравнение 32) — и)). е) Другой аид пути между теми же точками. Электрическое поле точечного заряда направлено радиально, и его величина зависит только от радиуса г. Если Р, и Р, являются любымк двумя точками в поле точечного заряда, то довольно очевидно, что линейный интеграл от Е одинаков для всех видов пути, соединяющих эти точки. Это непосредственно следует нз доказательства, приведенного в разделе 1.5 (см, также рис.

1.5), для получения работы, затраченной на перемещение заряда в поле центральной силы. Действительно, единственным различием между линейным интегралом от силы г, действующей на пробный заряд 3), и линейным интегралом от Е, т. е. от поля, в котором движется пробный заряд, является множитель 3). Любое электростатическое поле представляет собой просто суперпозицию полей определенных зарядов, как показано выражениями (!.14) и (1.15).

В любом таком поле, следова- вл тельно, линейный интеграл от поля Е, т. е. полного поля, созданного всеми источниками, не должен зависеть от пути: (6) В качестве примера рассмотрим линейный интеграл от А до С на рис. 2.2, в по пути через точку (2,0) в рассмотренном выше поле Е. На первом отрезке пути вдоль оси к, между началом координат и х=2, поле перпендикулярно к пути, следовательно, произведение Е гтз равно нулю.

На втором отрезке пути Ев — — Кх=2К и длина этого отрезка составляет 2 единицы. Таким образом, величина линейного интеграла равна 4К, что совпадает со значением, полученным выше. Если нам известно, что линейный интеграл не должен зависеть от пути, было бы неразумно вычислять его для такого пути, как АВС.

На практике не часто требуется вычислять величины линейных интегралов. Главная цель примера дать ясное представление о том, что означает линейный интеграл. 2.2. Разность потенциалов и потенциальная функция Поскольку линейный интеграл в электростатическом поле не зависит от пути, мы можем использовать его для определения скалярной величины рм: (7) Величина грм ихгеет смысл работы, затраченной на перенос единицы полохсиглктониго заряда в поле Е из точки Р, в Р«. Таким образом, ~р„представляет собой однозначно определенную скалярную функцию двух точек Р, и Р„называемую электрической разностью потегщиалов между двумя точками. В системе единиц СГС разность потенциалов измеряется в эра/ед. СГСЭ«.

Эта единица имеет свое собственное название, спгапт-вольт («стат» происходит от слова «электростатический»), и обозначается «единица СГСЭ ю. Вольги — это единица разности потенциалов в системе МКС е), Он эквивалентен 1/299,79, т. е. приблизительно «) Вольт, так же как кулон, ампер н ом, нрнменялся в качестве «врактнческой» еднннны задолго до того, как была построена полная система злектрнческнх ед ш МКС. 1(300 ед. СГСЭ .

Для перенесения заряда в один кулон из одной точки в другую, разность потенциалов между которыми составляет один вольт, требуется работа, равная одному джоулю. Предположим, что положение точки Р, фиксировано. Тогда разность потенциалов ф„будет зависеть только от положения точки Ро т. е.

от пространственных координат х, у, г. Мы можем обозначить эту функцию просто через (р (х, у, г) без индексов, помня, что ее определение связано с вышеупомянутой точкой Р,. Мы говорим, что функция Ч) является потенциалом векторного поля Е. Она представляет собой скалярную функцию положения, или скалярное поле (это одно и то же). Величина (() в данной точке является просто числом (в единицах работы на единицу заряда), с которым не связано никакое направление.

Если задано векторное поле Е, то потенциальная функция (() определена с точностью до произво.чьной аддитивной постоянной, появляющейся благодаря произвольности выбора Р,. В качестве примера определим потенциал электрического поля, изображенного на рнс. 2.2. Точку Р, удобно расположить в начале координат, обозначенном на рис. 2.2 буквой Л. Чтобы вычислить интеграл (8) от этой точки до любой точки (х, у), удобно воспользоваться наиболее легким путем, обозначенным на рис.

2.2, в пунктиром: (х, а) (х, о) (р(х, у)= — ~ Е ((з= — — ~ Ех((х — ) Е, ((у. (9) (о, о) (х, о) Первый интеграл равен нулю, как уже бь(ло отмечено, так как в этом поле компонента Ех равна нулю вдоль оси х, Второе интегрирование проводится при постоянном х, и так как Е,=Кх, то интеграл будет иметь вид (!О) а величина его будет равна — Кху. Для такого поля, следовательно, потенциал равен (р =- — Кху. (11) К этому выражению можно прибавить любую постоянную. Это будет означать только то, что точка, в которой потенциал считается равным нулю, перенесена в другое место. Мы должны быть осторожны и не перепутать иогпенциал Ч) данного поля Е с потенциальной энергией системы зарядов.

Потенциальная энергия системы зарядов является полной работой, затраченной на создание этой системы. Уравнение (1.8), например, дает ((', потенциальную энергию системы зарядов, изображенной на рис. 1.6. 54 Электрический потенциал ~р(х, у, г) поля, показанного на рисунке, представляет собой работу, приходящуюся на единицу заряда, которая требуется для переноса единичного положительного пробного заряда из бесконечности в точку(х, у, г) в поле этой системы из восьми зарядов.

2.3. Градиент скалярной функции При заданном электрическом поле мы можем определить электрическую потенциальную функцию. Обратно, зная потенциал,можно определить поле. Из уравнения (7) следует, что поле является в некотором смысле производной от потенциальной функции. Для уточнения этой идеи вводится понятие градиешпа скалярной функции координат.

Пусть ) (х, у, г) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная ее частные производные д()дх, д()ду и д()дг, в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого х, у, г равны соответствующим частным производным '). Этот вектор называется градиентом ( и обозначается символом йгас() или ))); (! 2) *) Напоминаем читателю, что частная производная по х от ( (х, у, г), обозна. чаемая через дйдх, представляет собой скорость изменения функнни при изменении х, при постоянных значениях других переменных у и г. Более точно, д) !.