Э. Парселл - Электричество и магнетизм, страница 8

Посмотрим, сзюжем ли мы вычислить величину этой энергии. Нам придется, по-видимому, иметь дело с суммой огромного числа членов, почти с двойной бесконечностью, так как даже малый макроскоппческий кристалл содержит около 10-'" атомов. Будет ли эта сумма сходитьсяй Итак, мы хотим определить потенциальную энергию, приходящуюся на единицу объема или на единицу массы кристалла. Можно надеяться, что она не зависит от размеров кристалла, так как один конец макроскопического кристалла будет оказывать весьма небольшое влияние на 30 другой. Два грамма хлористого натрия должны иметь вдвое большую потенциальную энергию, чем одын грамм, а форма не играет большой роли, поскольку атомы на поверхности составляют небольшую часть общего количества атомов.

Наши рассуждения оказались бы ошпбочныхш. если бы кристалл состоял нз ионов только одного знака. Тогда один грамм кристалла имел бы огромный электрический заряд, и для соединения двух таких кристаллов в двухграммовый кристалл понадобилось бы фантастическое количество энергии. (71ожете ее вычислить!) Положение спасает тот факт, что кристалл является чередованием равных и разноименных зарядов, тзк что ~очный зар~д любого макроскопиз!еского крис~зал~ осшпь близок к нулю.

а7' с!се Рис. !.7. Па рисунке показана чвстькрпствлла хлористое> натривс ионачн Ыз и С! длв прииерио правильных откалысльвых разксеров [и! и длк зквквалситных точечных за. рядов (о!. Для вычисления потенциальной энергии вспомним, что положение каждого положительного иона в решетке кристалла в точности повторяет положение любого другого. Далее, пз рассмотрения рис. 1.7 можно заключить, что расположение положительных ионов вокруг отрицательного иона совершенно аналогично расположению отрицательных ионов вокруг положительного.

Следовательно, мы можем принять один ион, безразлично какого знака, за централы!ый, просуммировать по его взаимодействиям со всеми другими ионами и полученное значение энергии умножить на полное количество ионов обоих знаков. При этом двойная сумма в уравнении (9) сведется к простой сумме, умноженной на число М; коэффициент х7', должен быть оставлен, чтобы учесть, что каждая пара вошла дважды. Таким образом, энергия решетки хлористого натрия, состоящей из й7 ионов, равна (10) в=з 31 На рис. 1. 7, б в центре находится положительный ион, и наша сумма охватывает всех соседей, ближних и далеких. Выражение (10) принимает следующий вид: 1 Г бее 12е' 8ее (у= — )у ~ — — + — — +...~.

Г' 2а 1' За (11) 0,8738Хее а (12) где Лà — число ионов, вдвое большее, чем число молекул. Отрицательный знак огражает доминирующую роль ближайших соседей и показывает, что на разделение кристалла на ионы должна быть затрачена работа. Другимн словами, электрическая энергия помогает объяснить сцепление кристалла. Однако, если бы дело было только в ней, то кристалл распался бы, так как потенциальная энергия распределения заряда, очевидно, уменьшается при сокращении всех расстояний а. Здесь мы снова встречаемся с известной проблемой классической, т.

е. неквантовой, физики. Согласно законам классической физики, ни одна система, на которую действуют только электрические силы, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия. Делает ли это утверждение наш анализ бесполезным? Отнюдь нет. Замечательно, что и в квантовой физике кристаллов понятие об электрической потенциальной энергии сохраняет свой смысл, и эта энергия может быть вычислена указанным выше способом. 1.7.

Электрическое поле Предположим, что мы имеем некоторое расположение зарядов ~)ь е)е ", 9е, фиксированное в пространстве, н что нас интересуют не силы, с которыми эти заряды действуют друг на друга, а только их действие на какой-то другой заряд д„помещенный в окрестности этих зарядов. Нам известен способ вычисления результирующей 32 Первый член появляется от шести ближайших ионов хлора, расположенных на расстоинии а, второй — от двенадцати ионов натрия, расположенных по углам куба, и т.

д. Очевидно, этот ряд не сходится абсолютно; если бы мы сделали глупость и попробовали вначале просуммировать все положительные члены, то такая сумма оказалась бы расходящейся. Для вычисления написанной суммы мы должны распространить ее на еще более удаленные ионы, причем включать их группами, представляющими собой почти нейтральные ячейки вещества. Затем зту сумму можно оборвать, так как удаленные ионы образуют равномерную смесь положительных и отрицательных зарядов, и мы можем быть уверенными в малости нх вкладов, Это — грубын способ описания тонкой вычислительной задачи. Численная оценка такого ряда производится в настоящее время па электронно-вычислительной машине.

Для нашего случая ответ ранен силы, действующей на заряд да, если даны его координаты х, у, г. Эта сила равна (1З) /= т та/ Здесь г,г — расстояние от 1'-го заряда системы до точки (х, у, г). Сила пропорциональна о„так что если мы исключим д„то получим векторную величину, которая зависит только от структуры нашей первоначальной системы зарядов д„уя, ..., д, и от положения точки (х, у, г).

Назовем эту векторную функцию от х, у, г электрическим полем, создаваемым зарядами т)„д„..., с)ло и обозначим ее через Е. Заряды с)„..., д,„, называются иеглочиикогли поля. Определением электрического поля Е, созданного распределением заряда в точке (х, у, г), может служить выражение ч.н Ч)га) Е(х, у, г)= — г та! (14) г ° ггг хуг))! 2 ж Пярселл На рис. 1.8 показано сложение векторов поля от точечного заряда, равного и-2 ед.

СГСЭ, и поля от точечного заряда — 1 ед. СГСЭ в определенной точке пространства. В системе единиц СГСЭ величина электрического поля выражается в динах на единицу заряда, т. е. в дин/ед. СГСЭ«. До сих пор мы не узнали ничего нового. Электрическое поле -угагг представляет собой только другой сг + Л яг способ описания системы зарядов; гг это описание заключается в указании величины и направления силы, приходящейся на единицу проб. ного заряда д„который можно поместить в любой точке.

При этом ггт~ следует проявлять осторожность. Г Если заряды неподвижны, то вве- дениЕ некОтОрого конечното Заряда р ° ьй поле в танке (е, р, я) является векторяой суетной полей квыдото яз д, может заставить их изменить зарядов сястсязк свое положение, и тогда само поле, определенное уравнением (14), изменится. Поэтому й~ы начинаем наше обсуждение с неподвижных зарядов. Иногда, вводя поле Е, требуют, чтобы заряд д, был «бесконечно малым» пробным зарядом, тогда поле Е определяют как предел отношения Е/до при с),— О.

Однако преимущество такого определения лишь кажущееся. Напомним, что в реальном мире мы никогда не встречаем заряда меньше е! Действительно, если мы примем уравнение (14) за определение Е без ссылки на пробный заряд, то не возникает никаких проблем и источники не должны быть неподвижными. Если введение нового заряда вызывает сдвиг в источнике зарядов, тогда действительно произойдет изменение электрического поля, и если мы хотим предсказать силу, действующую на новый заряд, то должны использовать для ее вычисления новое электрическое поле.

Возможно, вы спросите, что такое электрическое полей Является оно чем-нибудь реальным или только названием коэффициента, который следует умножить на заряд для получения численного значения силы, наблюдаемой в эксперименте? Здесь уместны два замечания. Во-первых, чем бы мы не считали поле, важнее всего то, что это понятие имеет смысл. Во-вторых, факт существования вектора электрического поля в любой точке пространства, дающего возможность предсказать силу, которая будет действовать на любо й заряд в этой точке, без сомнения, не является тривиальным. Это могло бы быть иначе! Если бы не соответствующие эксперименты, мы могли бы вообразить например, что в двух различных точках пространства, в которых единичные заряды испытывают одинаковую силу, пробные заряды удвоенной величины испытывали бы различные силы, зависящие от природы других зарядов системы.

Если бы это было верно, то описание сил с помощью поля не соответствовало бы действителыгости. Электрическое поле сообщает пространству локальное сво йство, имеющее следующий смысл: если нам известно значение Е в некоторой малой области, то мы знаем без дальнейших исследований, чтб случится с любьмш зарядами в этой области, Для этого не надо знать, как создано поле. Если нам известно электрическое поле во всех точках пространства, то мы имеем полное описание всей системы, которое позволяет обнаружить положения и величины всех зарядов.