Э. Парселл - Электричество и магнетизм, страница 7

Однако у нас нет определенной причины ожидать нарушения закона прп больших расстояниях. Дег>ствнтельно, сОВремен1ыя НВантОВВН теория э1ектромаг!штного поля дает некоторое Основание считать, что закон Кулона справедлив для расстояний, намного превышающих расстояния, применяемые в современных Вариантах опыта Кавендиша. Дело в том, что при нарушении закона Кулона на больших расстояниях квант света, Вли фотон, имел бы небольшую, но конечную массу покоя, что привело бы к некоторой зависимое!и в скорости электромагнитных волн в вакууме от длины волны, 11епосредствс>шые наблюдения я) показывают, что короткие радиоволны расцространяотся в вакууме с той же скоростью, что п видимый свет.

Точность этого утверждения составляет по крайней мере одну часть на ! 0'. На этом основании теория предсказывает, что закон Кулона должен быть справедливым до расстоян1!й по крайней мере в несколько километров. Вероятно, можно привести и более строгие доказательства. Подводя итоги сказанному, мы имеем полное основание считать, что закон Кулона справедлив для огромного диапазона расстояний от 10 " с»и до нескольких километров, если нс больше. Мы принимаем этот закон за основу нашего описания электромагнетнзмп. 1.5. Энергия системы зарядов В принципе закон Кулона — это все, что есть в электростатике.

Зная заряды и их координаты, мы можем определить все электрические силы. Если же заряды могут свободно перемещаться под действием сил другого типа, то закон Кулона позволяет найти состояние равновесия, прн котором распределение зарядов останется постоянным. В этом же смысле законы движения Ньютона заключают в себе всю механику. Но и в механике, и в электромагнетизме мы получаем ббльшую возможность проникновения в сущность проблемы с помощью введения других понятий, наиболее важным из которых является энергия. В электростатике понятие энергии имеет большое значение, так как электрические силы консервативно!. Рассмотрим вначале работу, которая должна быть совершена над системой для того, ') Лучшим доказательством атому утверждению было недавнее наблюдение практически одновременного (в большинстве случаев в пределах нескольких минут) прибытия на Землю радиоизлучений и излучений света от вспышки «яркой звезды», находящейся от нас на расстоянии 20 световых лет.

(В. ). о и е 1 1, г. !.. '»Ч Ь ! р р ! е, !.. Н. Б о ! о ш оп, )Ча!иге 262, 377 (!964).) 26 чтобы определенным образом расположить некоторые заряженные тела. Начнем с двух заряженных тел или частиц, расположенных очень далеко друг от друга, как показано в верхней части рис. !.4, и несущих заряды с), и г)а Нас совершенно не интересует энергия, с помощью которой были первоначально получены эти концентрации зарядов.

Будем медленно сближать частицы, пока расстояние между нимл пе станет равным ь!еыу равна произведенная прн этом работа'. Способ сближения зарядов никакой роли не играет: мы зу згг ууг»... Лгыгеунне -р"аунгуенсенне, еу ргг ггг гдгн.гнегнен 1 г Рнс.

Ьт, Трн з рада, распопово~ зиа близко друг к другу. аазналг ааосвтсв зарвд В; затон прн фнксвроаапнпнк гтг а За аносвгс» партн Сг. дюжем перемещать заряд т)з по прямой к д, или пользоваться любыми окольными путямп. Б любом случае затраченная работа равна интегралу от произведения силы на смещение в направлении силы. Сила, которую следует приложить для того, чтобы перенестп один заряд по направлению к другому, равна и противоположна кулоновской силе )р' =- ~ сила и расс роя н ие =- (3) Поскольку г нзменяе-ся от со до гза то приращение смещения равно — б!г. Очевидно, что работа, произведенная над системой, будет положительной для одноименных зарядов, так как они отталкиваются друг от друга. Если дг и с)н выражены в единицах СГСЭ и г„— в сантиметрах, уравнение (3) дает работу в эргах. В т.

! при изучении консервативных сил (см. т. 1, гл. 5) мы установили, что эта работа всегда одинакова, независимо от траектории сближения. Применим это доказательство к двум зарядам дг и г), (рис. 1.5). Пусть заряд д, закреплен, а заряд д, может быть перемещен в одно и то же конечное положение по двум различным траекториям. Сферическая оболочка, изображенная радиусами г и г+й, пересекается обеими траекториями.

Приращение работы — Г г(з на этом отрезке пути одинаково для обеих траекторий. Это объясняется тем, что сила Г одинакова по величине на всей сфере и направлеЫг на по радиусу от д,, в то время как Й=-г(г(соз О, следовательно, Г г(з--Гг(г. Лйобое приращение работы вдоль одной траектории сопровождается таким же приращением на другои, так что полные работы долм ны быть одинаковы. Нащ вывод будет справедлив даже для столь извилистых траекторий, как траектория на рис.

1.5, обозначенная пунктиром. (Почему?) Вернемся теперь к двум зарядам на рис. 1.4,6 и внесем в систему из какого-нибудь удаленного места третий заряд дм поместив его в точку Р,, расстояние которой от заряда 1 равно г„ сж, а от заряда 2 — г„, см. Работа, затраченная на этот перенос, будет равна (4) Благодаря свойству аддитивности электрических взаимодействий, которое ыы уже подчеркивали выше, — 1 Г,, Ь= — 1 (Г„, +Г ) ба==- — 1 Г,„г(г — 1 Г„дг. (5) Таким образом, работа по перенесению заряда г), в точку Р, равна сумме двух работ, одна из которых необходима для переноса 7, в точку Р„если имеется только один заряд д„а другая требуется для переноса д, в точку Р, при наличии только одного заряда дг Ч~чз чъчз з= гз~ гм Следовательно, полная работа, затраченная на образование указанного расположения трех зарядов, которую мы обозначим через (7, равна (7) г)и газ гм Отметим, что величины д„д., и д,, входят в уравнение (7) симметрично, несмотря на то, что заряд и, был внесен в систему последним, 28 Яы получили бы тот же результат, если бы внесли заряд !7л первым.

(Попробуйте это проделать.) Таким образом, работа (7 не зависит от последовательности, в которой собираются заряды. Ее можно назвать электрической нотенб1иольчой энергией рассьютренной системы зарядов. Как всегда в определении потенциальной энергии, здесь существует некоторый произвол. В данном случае нулевое значение потенциальной энергии соответствует ситуации, когда все три заряда уже существуют, но находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Потенциальная энергия относится к конфигурации в целом.

Приписывать определенную ее часть одному из зарядов не нмеетсмысла. Очевидно, что этот простой результат можно обобщить на любое количество зарядов. Если мы имеем Л' различных зарядов, любым образом расположенных в пространстве, то потенциальная энергия системы вычисляется суммированием по всем парам, как показано в уравнении (7). Нулевое значение потенциальной энергии, как и в первом случае, соответствует удалению всех зарядов на большие расстояния друг от друга. В качестве примера вычислим потенциальную энергию для восьми отрицательных зарядов, расположенных по углам куба со стороной (т, н положительного заряда в центре куба, как это показано на рис.

1.6, а. Предположим, что каждый отрицательный заряд 7л" лтлкиг туут у!судну лл7т лр рпс, ! б. о! Потенциальная эяергня для таного расположення дсвят» точечных нарядов выражается аорчулоп !тч б! в сунну входгп четыре тапа пар. является электроном с зарядом — е, в то время как частица в центре несет двойной положительный заряд 2е. Суммируя по всем парам, получим 8 ( — 2ее) 12ее 12лн, 4е' 4,32еа — + — + — =-+= (8) (3' 312) Ь р )г 2Ь )'31! На рис. 1.6, б показано, озкуда берется каждый член этой суммы.

Энергия положительна; это значит, что на создание системы была затрачена работа, которая может быть, конечно, получена обратно, если мы предоставим зарядам возможность разойтись, воздействуя при этом на некоторое внешнее тело (или тела). 29 Если бы электроны могли просто уйти на бесконечность из этой конфигурации, то полная кинеаическая энергия всех частиц была бы равна (7. Зто справедливо и в том случае, если они будут удалены одновременно и симметрично, и в том случае, когда их будут освобождать по одному в любом порядке.

Мы чувствуем здесь значение простого понятия полной потенциальной энергии системы. Подумайте, какую задачу пришлось бы выполнить, если бы мы должны были вычислить результирующий вектор силы, действующей на каждую частицу, в каждой стадии создания конфигурации! В нашем примере геометрическая симметрия, конечно, облегчила бы задачу; но даже при этом задача была бы гораздо сложнее, чем простое вычисление, приведенное выше.

Один из способов написания суммы по парам таков: м /=-1 й~! Знак двойной суммы означает следукхцее: возьмите)-=1 и суммируйте по й=2, 3, 4, ..., Л'; затем возьмите 1--=2 и суммируйте по 1=1, 3, 4, ..., Д'; и т. д. до ) =-)т'. Ясно, что при этом каждая пара войдет в сумму дважды, поэтому перед знаком суммы стоит множитель 'Ч, 1.6. Электрическая энергия кристаллической решетки Эти идеи имеют широкое применение в физике кристаллов. Мы знаем, что ионный кристалл, например кристалл хлористого натрия, может быть описан с очень хорошим приближением, как расположение положительных ионов (Ма+) и отрицательных ионов (С1-), чередующихся в правильной трехмерной последовательности, или решетке. Расположение попов в кристалле хлористого натрия показано на рис.

1.7, а. Конечно, ионы не точечные заряды, но опп представляют собой почти сферические распределения зарядов и, следовательно (как мы вскоре докажем), электрические силы, с которыми они действуют друг на друга, будут такимн же, как если бы каждый ион был заменен эквивалентным точечным зарядом, расположенным в его центре. На рис. 1.7, б показана такая электрически эквивалентная система. Электростатическая потенциальная энергия решетки зарядов играет важную роль в объяснении стабильности и сил сцепления ионного кристалла.