kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 10

Покажем, что прообраз ГЯ(У) этого множества — открытое в пространстве )к," множество. Если множество 1-'(У) пусто, то утверждение очевидно, так как пустое множество открыто. Пусть множество 1'-'(У) не пусто, т. е. существует точка х" ' ев 1-' (У) и, следовательно, 1 (х~е~) е- =У. Поскольку У вЂ” открытое множество, то опо является окрестностью точки у1в) =1(хкн).

Поэтому, в силу непрерывности отображения )' в точке х~е~ (см. определение 3'), существует такая окрестность У„ этой точки, что ) (У, П 6) с У, следовательно, У„Д 6 с 1-'(У). Поскольку множество У П6, как пересечение двух открытых множеств У и 6, является открытым и х~е~ ~У„П6, то х~е~ — внутренняя точка множества 1-'(У). Таким образом, каждая точка прообраза открытого множества У является внутренней точкой этого прообраза, значит, он — открытое множество. Доказательство достаточности.

Пусть 1 — отображение откРытого множества 6 пРостРанства Я", в Квы и пУсть пРи этом отображении прообраз каждого открытого в пространстве й,", множества является открытым в )к„"множеством. Пусть х~в) е— : 6. Покажем, что отображение 1 непрерывно в точке хаий Пусть ӄ— некоторая окрестность точки у" ~ =((х<в~).

Поскольку прообраз (-'(Уе) открытого множества Ув является, по предположению, открытым множеством и, очевидйо, х~е> ~~-'(Ув) ~ 6, то множество У„=-1-'(Ун) является окрестностью точки х~", причем 1(Ук) =-- У„. Отсюда йепосредственно и вытекает непрерывность отображейия 1 в точке хкн (см.

определение 3). ( ) П р имер. Рассмотрим отображение 1: ЯЯ вЂ” н.Я, заданное форне и' мулой 1(х, у) = —, + =,— — 1. Согласно лемме 2 прообраз открытого множества ( — ею, О), т. е. множество точек (х, у), удовлеткя уя воряющнх неравенству —, + —,, (1 (и, следовательно, составляющих внутренность эллипса), а также прообраз открытого множества яе уе (О, + оо), т. е. множество таких точек (х, у), что —;+ —;)1 (эти точки образуют внешность эллипса), являются открытыми множествами. .Вообще, если 1:)гн- )к — непрерывная на )ся функция, то для любого числа а ев)г множества (х:1(х)<а, х~ е(я» и (х:1(х))а, х еи 1хн» являются открытыми множествами как прообразы открытых множеств ( — оо, а) н (а, + оо).

Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывных на компактах функций н достижнмости этими функциями их нижних и верхних граней обобщается и на случай непрерывных отображений. Более точно — справедливо следующее утверждение. 49 4Л4. Отоболжсния Лемма 3. Пусть !': А -+-)сь", А с: !4" — непрсрывног отображение компакта А в пространство !с".

Тогда множество !'(А) также является компактом. Короче: непрерывный образ компакта является компактом. До к аз ательст во. Пусть ум' е-=~(А) — произвольная последовательность точек из !(А). В силу определения образа множества при заданном отображении, для любого й =- 1, 2, ... существует такая точка хою е— : А, что )(х("~) =у'ю. Поскольку А — компакт, то из последовательности (хм~» можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х( ~)», предел которой х~ ' принадлежит компакту А: !пп х(')=хен ен А.

6 ОЭ В силу непрерывности функции ~ в точке хбе имеем !пп Ях(" ))=!(хев), т. е. !!пзу(~~1=~(х<е) ен)(А), Таким образом, из любой последовательности точек, принадлежащей множеству ! (А), можно выделить сходящуюся, предел которой принадлежит зтому множеству. Это и означает, что 1(А) — компакт. [ '! Замечание. !Из леммы 3 следует доказанная ранее теорема о достижимости нижней и верхней граней действительной функцией, непрерывной на компакте (см. п. 19.6). В самом деле, согласно лемме 3, множсство значений такой функции является компактом на числовой прямой, а всякий компакт на числовой прямой имеет конечные минимальную и максимальную точки. Зго следует из того, что компакт †ограниченн множество и, следовательно, имеет конечную верхнюю (нижнюю) грань, которая в силу своего определения является точкой прикосновения множества.

Поскольку компакт замкнут, то она ему принадлежит и является, очевидно, его максимальной (минимальной) точкой. Обобщается на случай отображений и понятие равномерной непрерывности. Определение 4. Отображение ! множества Е ~ К в пространство Я„называегпся равномерно непрерывным, если для любого е'-»0 — существует такое 6 =б(е)-=.0, что для любых точек х' ен Е и х" енЕ, удовлгтворяющих условию р(х', х") <б, выполняется неравенсл1во р()(х'), ! (х ))(е.

Для отображений имеет место и утверждение, аналогичное теореме Кантора (см. п. 19,6) для непрерывных функций. Лемма 4. Непрерывное отображение компакта равномерно непрерывно. Доказательство. Воспользуемся тем же методом, что и при доказательстве теоремы Кантора о равномерной непрерывности действительных функций, непрерывных на компактах (см. теорему 5 в и. 19.6). 5О з лй Неявные функции Допустим, что существует отображение (: А -+ Л'", А с: Я", непрерывное на компакте А, но пе равномерно непрерывное на нем. Тогда существует такое гв)0, что для любого 5)0 найдутся точки хьен А и хь ен А, для которых имеют место неравенства Р ( ' " ) ~ 5 " Р () ( в), )'( ~)) У '" =" '" ' = 2 П у А — компакт, то из последовательности (х' М~) можно выделить сходящуюся подпоследовательиость (х'(" )1, предел хои которой содержится во множестве А: 1)гп х'(Я»)=«~в) еи А.

При атом из е с» р(«е(яе), «(в))(р(х"(яе), «»(я ))+р(х'(яе) х(в))( .к . + р (х'("») х»в») +. 0 при 5-3 ° оо лв следует, что подпоследовательиость (х ( )1 второй последовательности (х'01) также сходится к точке х~в). Теперь заметим, что из непрерывности отображения )' в точке х(в) явствует, что 11пз ~ (х'(' )) = ! ип ) (х (' )) =-) (хон)» $»» и так как р (( (х (~е))» ) (х (~е))) «=- р Д (х" (~е))» ~ (х(М)) + р Д (х('))» )' (х ( ))) -ь О при в-~со, то 1пп р Д(х (" ))), 1(х ("))) = О. Это противоречит условию р()(х (яе)), ~(х ( )))==г,. ( ) С помощью доказанйых свойств непрерывных отображений можно получить одно полезное для дальнейшего свойство областей (т. е.

открытых линейно связных множеств, см. п. 18.2). Сформулируем зто свойство также в виде леммы. Лемма 5. Открьетое множество является областью тогда и только тогда, когда любьег дсе его точки можно соединить целиком лежащей в нем ломаной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность сформулированного условия ие требует доказательства. В самом деле, если у некоторого открытого множества 6 ~ Ин любые две точки можно соединить некоторой ломаной, целиком лежащей в нем, то, поскольку всякая ломаная является кривой (см.

п. 16.5), любые две точки множества 6 оказываются соедннимыми в нем кривой, что и означает, согласно определению (см. определение 25 в п. 18.2), что открытое множество 6 линейно связно, т. е. является областью (см. определение 26 там же). 4!.4. Отображения Докажем необходимость условий леммы. Пусть 6 — область пространства У?". Рассмотрим точки х еи б и у еи б. Согласно определению области, существует кривая у = [г(!), а=-" 1«='Ь), соединяющая в б точки х и д, т. е. г(а) =х, г(Ь) =у и 1" (!) ~6, а ( е ~ Ь. Кривая у представляет собой непрерывный образ отрезка [а, Ь), являющегося компактом и, поэтому (см. лемму 3), сама будет компактом.

Поскольку компакт у не пересекается с замкнутым множеством )?"'~6, то расстояние между ними больше нуля (см. лемму 7 в п. 18.2). Следовательно, существует такое число т! ~ О, что р ( у, Я"'~6) ) т!. Отображение г(!), а~!(Ь, отрезка [а, Ь), будучи непрерывным, является и равномерно непрерывным (см. лемму 4). Поэтому существует такое б'- О, что для любых двух точек У еи си[а, Ь) и !" я[а, Ь), удовлетворяющих условию !!" — У~<б, выполняется неравенство р (г (!"), г (д )) < т). Отсюда вытекает, что для любого разбиения т=[1;),'==во отрезка [а, Ь] мелкости б, =б все точки ломаной Х с вершинами г((!), 1=0, 1, ..., й, будут содержаться в 6. (почему)? Следовательно, Х,»6. Поскольку началом и концом ломаной 1 являются соответственно начало и конец кривой у, т.

е. произвольно заданные точки х и у из 6, то нами доказано, что любые две точки области могут быть соединены ломаной. [ ) Пусть теперь Е с )т,", У? » )?е", у =Г(х) — отобрамсение множества Е в Р!„, причем у(Е) » О и г =у(у) — отображение У? в )?е, т. е. У: Е-+-О, у: Уд- Рте. В этом случае имеет смысл композиция у [: Е- Ре отображающая множество Е с У?„" в р-мерное пространство К:(д у) ="у([(х)), х сиЕ. Отметим, что если отображение г(х) множества Е непрерывно в точке х!'~ ~ Е, а д(д) определено в некоторой окрестности точки дно=у(х!'~), то всегда существует такая окрестность (у точки х"!, что на множестве ЕП(У, имеет смысл композиция у у. Действительно, пусть (Уе — окрестность точки уы!, на которой определено отображение у(у!); согласно определению 3 для нее существует такая окрестность (У, что ! ((У„ПЕ)»(У„.

Очевидно, что для всех точек хе-:(У„ПЕ, и имеет смысл композиция д [. Напомним еще, что, согласно введенной для функций терминологии (см. п. 1.2"), отображение !": Е-+.)?'„", Е с: )?," называется взаимно однозначным, или инъекиией, если разным точкам множества Е при этом отображении соответствуют разные точки.

В этом случае говорят также, что множество Е взаимно однозначно отображается посредством этого отображения на множество 1(Е), т. е. У": Е-+[(Е) является биекцией. При выполнении ь2 э 41. Ненвньге Функции этого условия на гвножестве )(Е) существует однозначное обратное отображение (обратная функция) 1-г(у) =х, где х таково, что 1(х) = у.

Поэтому 1-г 11'(х)! = х, т. е. это тождеспгеенное отображение (тождественным отображением множества Е называется отображение, которое каждой точке хек Е ставит в соответствие эту же точку). Определение 5. Еслгл отображение 1 множества Е ~ Я," в пространопво Ю, взаимно однозначно и непрерывно на Е, а обратное ему отображение Гг непрерывно на 1(Е), то ) называется гомеоморфным отображением, или гомеоморфизмом, а множество 1(Е) называется гомеоморфным образом множества Е, или, что то же, множеством, голгеоморфным множеству Е.