kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 11

Очевидно, что если 1 — гомеоморфизм множества Е, то 1 — г является гомеоморфизмом множества ) (Е). При гомеоморфном отображении открытого множества на открытое образы открытых подмножеств также открыты. Действительно, если ! — гомеоморфное отображение открытого множества 6 на открытое же множество Г, У вЂ” открытое подмножество множества 6, Ю=!'(У), то У=1-г((у'), т. е.

У является образом множества Ч7 при непрерывном отображении Г-г открытого множества Г и, следовательно, К является прообразом открытого множества У при этом отображении. Поэтому согласно лемме 2 множество Я7 открыто. Рассмотрим теперь композицию непрерывных отображений.

Лемма 6. Пусть !": Е -«К'", Е с- Р', у: Ег — «К', В:з!'(Е). Если отображение 1 непрерывно в гпочке хои в=Е, а у непрерывно в точке ) (хгв'), то композиция д 1 также непрерывное точке хгв>. Доказательство этого утверждения может быть проведено методом, аналогичным использованному при доказательстве теоремы 2 п. 5.2 и теоремы 2 п. 19.4, основанном на определении непрерывности в терминах окрестностей. Для разнообразия докажем лемму, исходя из определения непрерывности в терминах последовательности. Пусть хои е= Е, й = 1, 2, ..., и 1пп хон = х'в>.

Тогда )' (х'ьг) ~ 0 и, в силу непрерывности отображения 1 в точке хщ>; имеем 1пп 1(хои) =)(хгвг) (41.29) В силу же непрерывности отображения д в точке 1(хгвг) для любой последовательности угьг ен О, А = 1, 2, ..., 1! щ уоо = !" (х'в>) ггмест место 1пп у(уио)=д(1(хгь>)). В частности, в силу (41.29) л к при ум! =1(хон) 1пп у () (хпа)) = у (1 (хгвг)). Это и означает непрерывность композиции д 1 в точке хы>. ( ) 4Д4. Отоброхсеиия У п р а ж н е в н е 7.

Доказать, что непрерывное взаимно однозначное отображение компакта пространства (?а в некоторое пространство (?и является гомеоморФизмом. В заключение этого пункта определим, что будет пониматься под образом кривой прн заданном непрерывном отображении, и докажем лемму о непрерывных образах линейно связных множеств. Пусть ~ — непрерывное отображение множества Е»К в пространство )7'„", и à — кривая, целиком лежащая во множестве Е, т, е.

задан класс эквивалентных отображений отрезков во множество Е (см. 2 16). Пусть х(1), а =)==Ь, — одно из представлений кривой Г. Кривая в пространстве )ча, представлением которой является отображение ~[х(()1, а=-(=-.Ь, называется образом кривой Г при отображении ~ и обозначается через ) (Г). Это определение корректно, так как при сделанных предположениях )(х(()), а=1(Ь, является непрерывным отображением отрезка в пространство и, следовательно, определяет некоторую кривую.

Лемма 7. Пусть ~: Е- Гс'" непрерывное отображение линейно- связного мнояссства Е» Гс» в пространство )('". Тогда множесп1со ) (Е) также линейно связно. Короче: непрерывный образ линейно связного множества линейно связен. Доказательство. Пусть Š— линейно связное множество и ( — его непрерывное отображение в А' . Для того чтобы доказать, что множество [(Е) является линейно связным, надо доказать, что две любые его точки можно соединить в [(Е) непрерывной кривой (см.

определение 25 в п. 18.2). Пусть угз? е=[(Е) и уоп я( (Е); выберем какие либо точки х('1 ен (-т (у1'1) и хг 1 я (-з(у(Я1). Поскольку х(т~ еиЕ, х('1 енЕ и Е линейно связно, то существует такая кривая Г, что ее началом является точка х('1; концом — точка х(" и все ее точки принадлежат множеству Е. Кривая 1(Г) является искомой кривой. Действительно, ее началом является точка у('1 =7(х(т1), а концом — точна у1Я1 =7(х(а1).

Все же другие ее точки принадлежат множеству [(Е). Таким образом, 7(Е) — лпнейно связное мнонсество. Ц Уп р ажнен н я. З. Огображенне ):ЯЗ- (?З задано следующим образом: (х, у) ~ (2х, Зу). Во что оно переводит окружность хе+уз=-1? 9. Найти образ прямой х=2 плоскости Оху при отобразкении 1' 1?е-~-(?з, заданном следующим образом: (х, у) ь (ху, у) 1О. В плоскости Оху задана прямая х=с (с= сопз( М О). Найти ее образ прн отображении 1: Яз ~ — (?з с координатными функциями (е ' соз у„ех мп у). 54 з 4П Неквкме функцки 4кз. ВЕКТОРНЫЕ ОТОБРАН!ЕНИЯ При изучении дифференцируемых отображений (их определение будет дано ниже, в п.

41.7) пространство Е", в котором лежит отображаемое множество, и пространство К", в которое происходит отображение, удобнее рассматривать как векторные евклидовы пространства (см. п. 18.4). Для простоты л-мерный вектор с координатами (хз, ..., х„) будем обозначать тем же символом х, которым мы обозначали точку п-мерного точечного пространства с теми же координатами. Это, конечно, не приведет к недоразумениям, так как и точка и-мерного пространства и п-мерный вектор представляют собой упорядоченный набор и действительных чисел. Пусть Е с:)с" и 7: Е-~ К'", где теперь отображение 7' ставит в соответствие каждому вектору х ен Е некоторый вектор у = = !'(х) ен 1с .

Такие отображения будем называть оенторныли!. Если е,, ..., е,— координатные векторы в пространстве )с'" (см. п. 18.4), е„..., е — координатные векторы в пространстве )с-, к юк х = (х„..., х„) = ~~ х;еп у = (ум " у ) = " ', ууез и у = !' (х), то !=- ! 1= 1 каждая координата у!, 7'=1„2, ..., л4, вектора у также является функцией от вектора хыЕ и, следовательно, функцией от его координат х„..., х„: уу — — )~(х)=)~(хм ..., х„), ! =1, 2, ..., т. (41.30) Как и в случае точечного пространства (см.

(41.26)) функции (41.30) называются координатными функциями отображения !" и пишется 7"=(7„..., ) ). Интерпретация л-мерных точек (х„..., х,) как векторов не препятствует, конечно, рассмотрению таких свойств отображений как их непрерывность и равномерная непрерывность. Поэтому все сказанное об отображениях в предыдущем пункте остается в силе и для векторных отображений. Напомним еще, что для расстояния р(х, у) между векторами х и у справедлива формула (см. в п. 18.4 формулу (18.37)) р(х, у) =~х — у~.

В качестве примера отметим, что длина ~х~ вектора х ~Е" является непрерывной функцией в К . Это следует из неравенства (18.36): поскольку для любых хая)кк и хе=)ск справедливо неравенство ()х~ — )х,(! =)х — х,!, то !'пп !х(= 1'пп ~х(=)хк~. х !к — хи О 4дб. Линейные отображения 4$.6. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Г (Л'х'+ Л"л") = Л'1 (х') + Л") (х"). Из этого определения по индукции следует, что при линейном отображении 1 любая конечная линейная комбинация векторов х(г! ен К" отображается в такую же линейную комбинацию образов 1(х(т!), ! = 1, 2, ..., й, этих векторов Обычно линейные однородные отображения называются линейными операторами.

О линейном операторе Г: )С" — «К" говорят, что он действует из )с" в К". Из определения линейного оператора непосредственно следует, что композиция д Г' линейных операторов Г: )с"-«К" и у: 1С -« -«!к' также является линейным оператором й( Г: )с" — «Я'. Пусть !': Я"-«)с'" — линейный оператор. Образ каждого координатного вектора е4~Я", (=1, 2, ..., п, при отображении ~ является вектором пространства Я" и поэтому раскладывается по координатным векторам е; ~Я"', !'=1, 2, ..., т.

Обозначим коэффициенты этого разложения через ас.' )'(ет) = ~ '„ауе!. (= ! Пусть у=Г'(х), х= ~л хет и 1= ! о( у =,5, у;е!. (4!.31) (= ! Тогда в силу линейности отображения 1 получим у=((х)=1( ~', х~е! = ~ х,)(е!)= (( п м о(/ о (4(.32! (=! (=-! (= ! /=-! Рассмотрим специальный класс отображений пространства Р' в дм, называемых линейными. Определение 6. Отображение г: К"-«)с'" называется линейным (или, более полно, линейным однородным), если для любых двух векторов х'е=)с", х" ~)со и любых двух чисел Л'енй, Л" я)с выполняется равенство з 41.

Неявные фунлилн ББ Сравнив козффициенты разложения вектора у по координатным векторам г„..., е. в (41.31) и (41.32), получим ул — — амхл+... + аыхл (41. 33) уы = ал1Х1+. ° ° + аылХл. Наоборот, легко проверить, что всякое отображение 1: Р*-л К'", координатные функции которого имеют вид (41.33), является линейным оператором. Матрица (41.34) называется матрицей линейного оператора 1. Очевидно, что если (4!.34) является матрицей линейного оператора )', то для любого х= ~ч~~ х1ет имеет место (см. (41.32)) 1=! разложение ы 1'л 1 (х) = ~~ ~,",' аухт ) еь (41. 35) 0 ... 0 0 0 ..

0...000.„ 0 ... 0 1 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 О ... С помощью операторов проектирования иь 1=1, 2, ..., п, легко устанавливается связь между произвольным векторным отображением 1': Е-л1лы, Ес:)сл и его координатными функциямн Д (см; (41.30)): (41,37) ПРимеР. ПУсть ие — опеРатоР пРоектиРованиа на 1-Ую кооР- динатную ось, т. е. , у.)=у; (41.36) (Р— фиксированное число среди чисел 1, 2, ..., и). Тогда и; является линейным оператором с квадратной матрицей порядка т, состоящей из одних лишь нулей кроме (-го злемента главной диагонали, равного единице: 41.б.

Линейные отображения т. е. каждая координатная функция /ь 1=1, 2,, т, является композицией отображения / с оператором проектировании яь Если т=1, т. е. линейный оператор /: Р'-э-Я отображает пространство )сн во множество всех действительных чисел, то он называется обычно линейным функционалом. В силу (41.33) всякий линейный функционал имеет вид у=а,х,+...+а„х„, (41.38) где а„..., а„— некоторые действительные числа. Обозначив через а вектор с координатами (а„..., аи), полу- чим, что всякий линейный функционал /:Ян-+.ес имеет внд /(х)=(а, х), где через (а, х) обозначено скалярное произведение векторов а и х. Очевидно и обратное: каждое отображение вида х (а, х) является линейным функционалом /: )сн -ь дг.

Упражнение 11. Установить, какие из следующих отобрв>кений» линейны: в) /: яз-ьщ причем /(х, у, х)=(х, х); б) /: Я»-нЯ», причем /(х) = — х, где х — произвольный вектор в Я»; В) /:К»-нн», ПрнЧЕМ /(Х)=Х+(О, — 1, О), ГдЕ Х вЂ” ЛЮбОй ВЕКтар В Щ т) /: Я»-н К», причем /(х, у) =(2х+у, у); д) /: кы-е-й», причем /(х, у)=(2х, у — х); е) /: й» -нд», причем /(х, у)=(у, х); ж) /: Я»-н Р, причем /(х, у) =ху. Напомним определения некоторых операций с матрицами (известных из алгебры). Если А=(ау) и В=(Ьу) — прямоуголь- ные матрицы с одинаковым числом строк н столбцов, 1= ), 2, ... ..., т, /=1, 2, ..., п, то их сумма определяется как матрииа, элемент су которой является суммой соответствующих элементов матриц А и В, т.