kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 13

з 41. Неявные функции Доказательство. В силу дифференцируемости отображения 7 имеем Ы"1) (х+Ь) =а6(х+Ь)) = =д(7(х)+01(х)(Ь)+о(Ь)), Ь-+.О. (41.55) таким образом, аргуъ1ент функции д в точке у=7(х) получил приращйние й = РЕ (х) (Ь) + о (Ь). (41.56) Поэтому из (41.55) в силу дифференцируемости функции й имеем (д Е)(х+Ь)=д(у+й)=д(у)+Ре(у)(й)+о(й), й-н О, (41.57) Поскольку (см.

неравенство (41.42)) ! 01 (х) (Ь) ~ ~ ! РЕ (х) ! ! Ь !, (4! .58) где норма 101(х)! линейного оператора 01(х) является неотрицательным числом, то для функции й=й(Ь), определенной равенством (41.56) получим 1пп Ь=О. л-о Более того, справедлива оценка !й(«=10,(х)1)й(+(о(Ь)), Ь-+.О, а так как при достаточно малых й имеет место неравенство !о(Ег))((Ь~, то для таких Ь справедлива и оценка ! й ( ( (1.01 (х)) + 1) ! Ь !.

(41.60) Далее, из определения о(й) (см. (41е(7)) явствует, что суще- ствует такая функция е(й), что !!щ е(й)=-0 (41.61) л-о и !о(й)(=е(й) ! й!. Поэтому в силу (41.60) для указанных доста- точно малых Ь выполняется неравенство !о(й))=а(й)!й) =е(й)((01(х)(+1)!Ь~.. (41,62) А: поскольку из (41,59) и (41.61) вытекает, что 1!ш е (й) = 0 л-о н следовательно, е(й)(10 (х)!+1)(Ь!=о(Ь) пРи Ь-+0, то из (41.62) имеем (о(й)( «о(Ь), Ь вЂ” ~0, откуда о(й)=о(й) при Ь-+ О. Это означает, что формулу (41.57) можно переписать в виде. (д 7)(х+Ь)=д(у)+0 (у)(й)+о(Ь), Ь-в-О, (41,63) где й задается по формуле (41.66). 4й7, доффереяяоруеяые отображения сэ Рассмотрим теперь среднее слагаемое в правой части равенства (41.63). В силу линейности отображения Ре(у) имеем Р (у)(А)=0 (у)(Рг(х)(й)+о(й)) = =Ре(у)(Ру(х)(й))'+0,(у)о(й), й-+.О.

(41.64) Вследствие неравенства (41.42) будем иметь / Р, (у) о (й)/ =- '=.ДР (у)1/о(й)/, а поэтому 0„(у) о(й) =-о(й), й-+.О; следовательно, из (41.64) получим: 0,(у)(й) =0 (у) (Рг(х)(й))-1-о(й) = = (.Ре (у) Р~ (х)) (й) + о (й), й — О. Подставляя полученное для Р„(у) выражение в (4!.63) и принимая во внимание, что у=7" (х), будем окончательно иметь (ь"- 1) (я+й)=й(1(х))+10е(7 (х)) Ру (х)) (й)+о(й), й-+.О. Поскольку композиция линейных операторов является линейным оператором, то в силу единственности дифференциала оператор 0 ()(х)) ° Рг(х) является дифференциалом композиции 7 у, т. е. формула (41.53) доказана. Формула (41.54) сразу следует из нее, поскольку при композиции линейных операторов их матрицы перемножаются. Д 'веорема 6. Отображение ) = (Л, ..., г„): Е-+ )7'", Е с: й", дифференцируемо в точке х~Е в том и только том случае, когда все его координатные функции 7;:Е-е-й., (=1, 2, ..., т, дифференцируемы в этой точке.

В этом случае элементы ау матрицы дифференциала Ву (х) являются соответствующими частными проиэводнглми координатных функций: дй (х) ху Иначе говоря, производная г" (х) является матрицей Якоби системы функции 7; (см. определение 2 п. 41.3), дй (х) д7~ (х) дх, " ' дхв (41.65) д)в, (х) дГ, (х) дхд дх„ и называется также я~оп~рацей Якоби отображения ) в точке х. Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Координатные функции 7г = л;.7 (см. (41.37)) являются композицией двух дифференцируемых отображений: отображения 7", которое дифференцируемо в точке х по условию, и проекции и; (см. (41.36)), которая, как всякий линейный оператор Й" — Й дифференцнруема на всем простран- З кудрявцев л. д. т. э Э е1. Неявные функции стае )т'". Следовательно, согласно теореме 5, функции )г, =1, 2,, гп, дифференцируемы в точке х. 2. Пусть все координатные функции 1г = л;.1 отображения дифференцируемы в точке х. В силу (41.46) это означает, что существуют такие постоянные а1, 1=1, 2, ..., т, 1=1, 2, ..., и, что 11 (х+ 1г) = 1г (х) + аггйг+...

+ агвй„+ о (1г), й — «О, 1=1, 2, ..., пг. (41.66) Отсюда, как известно (см. 20.2), следует, что коэффициенты аг1 при приращениях й1 аргументов х1 являются соответствующими частными пРоизводными фУнкций 1г: а;1 —— — '„, 1=1, 2, ..., т, 1=1, 2, ..., и. (41.67) 1 Обозначим через 1:)т'"-«)т линейный оператор с матрнцей (ау). Поскольку (о(й), ..., о(й)) =о(й) *', то равенства (41.66) можйо записать в виде 1(х «-й) =1(х)+1(!г)+о (й), й-«0.

Зто и означает дифференцируемость отображения 1, причем из (41.67) следует справедливость формулы (41.65). Д Замечание 1. В силу формул (41.54) и (41.65), следствие из теоремы 5 означает, что матрица Якоби композиции отображений 1 и д равна произведению матриц Якоби этих отображений. Это, впрочем, непосредственно следует и из формулы дифференцирования сложной функции: если ха=-да(у„..., у ), А = = 1, 2,, з, а уг =гсг (хг, ..., х„), г = 1, 2, ..., гп, то (см. (20.26)) д . д дх" Й=1 2г ю зз 1=1г 2, ° гг ° г=г что согласно правилу умножения матриц (см. п. 41.6) и означает, что матрица ~ — ) является произведением матриц « — ) н ~ —.1), гдгай 1даа~ /даг ~ '(д;) (~-;,"г) =(' — ';,И~ —.";) Определение 9. В случае пг=п определитель бе1 ( — г) *' Запнсь (о (й), ..., о(й)) =о (й) означает, что вектор, координаты ноторого являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем й, сам является бесконечно малой более высокого порядка, чем й прил-«О.

Совпадение в данном случае обозначений вектора и его координат связано с тем, что мы, чтобы не усложнять символини, выбрали для н-мерного вектора обозначение х, в котором не отражена его размерность. Оаа делается ясной, только если оп записан с полгонгью координат х=(хг, ..., х„). 4!.7.

Ли4хреренцируемые отображения лгатриг(ы Якоби (41.65) называется определителем Якоби или якобианом опюбражения (: Е-«Р, Е с)е", о точке х яЕ и обозначается (см. п. 41.3) дчь "'' 1") или д(хь ..., х„) Р(х,, ..., х„)' 3 а м е ч а н и е 2. Из алгебры известно, что при умножении квадратных матриц их определители перемпожаются; поэтому при выполнении условий теоремы 5 в случае т = п = э якобиан композиции отображений г и у равен произведению якобианов отображений ) и йт д(г,, ..., г„) д(г,, ..., г„) д(у„..., у„) (41.68) д(хь ..., х„) д(уь .„, у ) д(хь .„, хя) Действительно, д(гь "., гн),1 (дгя) (дга1/ду;1 д(х„..., хн) (дх ) ~дрг) ~дхт.) 1 ( (дг„) 1 1 ~ду,) д(г,, ..., г„) д(у,, ..., у„) (дуг) ~дх.! д(у, ..., у„) д(х, ..., х„)' Замечание 3.

Пусть Ес:)тн и Ы:Е-«Е — тождественное отображение множества Е на себя. В координатной форме оно записывается в виде условия равенства координат точек образа и прообраза при этом отображении, т. е. координатные функции имеют внд 1г(х)=х;, 1= 1, 2, ..., п, (хг, ..., х„) ен Е. Если хев — внутренняя точка множества Е, то этн функции можно дх; дифференцировать в этой точке, и поскольку — ' = О при 1~/ и дхг дхп — ' = 1, то матрица Якоби тождественного отображения является дхт единичной матрицей е '(': .). Пусть теперь Ус)тя, )т с)хя и ):У- (г — взаимно однозначное (инъективное) отображение, а )-':1(У) — «У — обратное ему. Тогда для любой точки хан У имеем Г'(1(х)) =х, т. е. композиция 1-')' является тождественным отображением.

Пусть отображение ) днфферснцируемо в точке х, ~ () (следовательно, х,— внутренняя точка множества У, ибо только для таких точек определено понятие днфференцируемости), а обратное отображение )-" дифференцируемо в точке ((х,). Поскольку (-' (в тождественное отображение, то в силу формулы (41.54) имеем ()'-г) ' г" = ()-х )) ' = (18) ' = Е. (41.69) У 4А Неявные фунхвнн Перейдя от этого равенства матриц к их якобнанам, получим де1 ()-')' де1(' = 1, (41.?О) ибо де1 Е=!. Если отображение 1 задано координатными функциями (41.30), то формулу (41.70) можно переписать в виде д(х,, ..., х„) д(уь ..., у„) (41. 71) д(уь ..., у„) д(хь ..., х ) Из этой формулы следует, что при сделанных предположениях как якобиан отображения ) в точке х, так н якобнан обратного отображения (-' в точке ((х) не обращаются в ноль.

Перепишем формулу (41.71) еще в виде д(х„..., х.) (41.72) д (уь ..., у„) д (у„, ун)' д(хь ..., х„) Зта формула является очевидным обобщением формулы для произдх ! водной обратной функции одного переменного: — = — . ду ду вх В заключение сформулируем два полезных определения. Определение 1О. Отображение ?: Š— й'и, Е с:)7", ди4ференцируемое в каждой точке хан Е называется ди4ференцируемым отображением множества Е. Очевидно, если отображение днфференцируемо на множестве Е, то какова бы ни была точка х~ Е, согласно определению 8 отображение 7 определено в некоторой ее окрестности, т. е. Е— открытое множество. Согласно теореме 6 отображение 7=(До ..., 7„) дифференцнруемо на множестве Е тогда и только тогда, когда на этом множестве днфференцируемы все его координатные функции ~ь ..., )„.

Если все координатные функции непрерывно дифференцируемы на Е, т. е. все их первые частные производные непрерывны на Е, то отображение ) называется непрерывно дифференцируемым отображением множества Е. Определение 11. Гомеоморфное отображение 7: Π— Р, где О и Р— открытые множества просепранства Р' называется ди4феоморфным отображением или диффеомор4измом, если как оно само, так и обратное ему опюбражение ('а:Р-+-6, дифференцируемы. 408. ОТОБРАЖЕНИЯ С НЕРАВНЫМ НУЛЮ ЯКОБИАНОМ. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ОБЛАСТИ Прежде всего рассмотрим вопрос о существовании отображения, обратного данному. Как мы знаем, в случае и = 1 для непрерывно дифференцируемой на некотором отрезке функции условие необра- 41.8. Отоброженал с неравным нули лнобноном щения в ноль ее производной (которое влечет за собой ее строгую монотонность) является достаточным для существования обратной ей однозначной непрерывно днфференцируемой функции.

В случае же произвольного и дело существенно осложняется: соответствующие точечные условия, налагаемые на дифференциальные свойства отображения позволяют утверждать лишь что локально, т. е, в окрестности точки, существует обратное отображение. Более точно, справедлива следующая теорема. Теорема 7. Пусть ( Ус=(,(хн ..., х„), У=7(х) =~ (41.73)' у =7„(х„..., х„) — непрерывно дифференцируемое отображение открыпсого лсножеспсва (с ~)(н в пространство )7н. Если якобиан этого отображения ие обращается в ноль в точке хин в= 6, то существуют такие окрестности У„и У соответственно точек х(м и уев=с" (хиа), сто 7(х), х~ У, является взаилно однозначным отображением окрестности У на окрестность Усо а обратное ему отображение непрерывно дифференцируемо на множестве Ув. Следствие.