kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 13

DJVU-файл kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 13 Математический анализ (259): Книга - в нескольких семестрахkudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа) - DJVU, страница 13 (259) - СтудИзба2013-09-15СтудИзба

Описание файла

Файл "kudryavtsev2a" внутри архива находится в папке "Кудрявцев - Курс математического анализа". DJVU-файл из архива "Кудрявцев - Курс математического анализа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 13 - страница

з 41. Неявные функции Доказательство. В силу дифференцируемости отображения 7 имеем Ы"1) (х+Ь) =а6(х+Ь)) = =д(7(х)+01(х)(Ь)+о(Ь)), Ь-+.О. (41.55) таким образом, аргуъ1ент функции д в точке у=7(х) получил приращйние й = РЕ (х) (Ь) + о (Ь). (41.56) Поэтому из (41.55) в силу дифференцируемости функции й имеем (д Е)(х+Ь)=д(у+й)=д(у)+Ре(у)(й)+о(й), й-н О, (41.57) Поскольку (см.

неравенство (41.42)) ! 01 (х) (Ь) ~ ~ ! РЕ (х) ! ! Ь !, (4! .58) где норма 101(х)! линейного оператора 01(х) является неотрицательным числом, то для функции й=й(Ь), определенной равенством (41.56) получим 1пп Ь=О. л-о Более того, справедлива оценка !й(«=10,(х)1)й(+(о(Ь)), Ь-+.О, а так как при достаточно малых й имеет место неравенство !о(Ег))((Ь~, то для таких Ь справедлива и оценка ! й ( ( (1.01 (х)) + 1) ! Ь !.

(41.60) Далее, из определения о(й) (см. (41е(7)) явствует, что суще- ствует такая функция е(й), что !!щ е(й)=-0 (41.61) л-о и !о(й)(=е(й) ! й!. Поэтому в силу (41.60) для указанных доста- точно малых Ь выполняется неравенство !о(й))=а(й)!й) =е(й)((01(х)(+1)!Ь~.. (41,62) А: поскольку из (41,59) и (41.61) вытекает, что 1!ш е (й) = 0 л-о н следовательно, е(й)(10 (х)!+1)(Ь!=о(Ь) пРи Ь-+0, то из (41.62) имеем (о(й)( «о(Ь), Ь вЂ” ~0, откуда о(й)=о(й) при Ь-+ О. Это означает, что формулу (41.57) можно переписать в виде. (д 7)(х+Ь)=д(у)+0 (у)(й)+о(Ь), Ь-в-О, (41,63) где й задается по формуле (41.66). 4й7, доффереяяоруеяые отображения сэ Рассмотрим теперь среднее слагаемое в правой части равенства (41.63). В силу линейности отображения Ре(у) имеем Р (у)(А)=0 (у)(Рг(х)(й)+о(й)) = =Ре(у)(Ру(х)(й))'+0,(у)о(й), й-+.О.

(41.64) Вследствие неравенства (41.42) будем иметь / Р, (у) о (й)/ =- '=.ДР (у)1/о(й)/, а поэтому 0„(у) о(й) =-о(й), й-+.О; следовательно, из (41.64) получим: 0,(у)(й) =0 (у) (Рг(х)(й))-1-о(й) = = (.Ре (у) Р~ (х)) (й) + о (й), й — О. Подставляя полученное для Р„(у) выражение в (4!.63) и принимая во внимание, что у=7" (х), будем окончательно иметь (ь"- 1) (я+й)=й(1(х))+10е(7 (х)) Ру (х)) (й)+о(й), й-+.О. Поскольку композиция линейных операторов является линейным оператором, то в силу единственности дифференциала оператор 0 ()(х)) ° Рг(х) является дифференциалом композиции 7 у, т. е. формула (41.53) доказана. Формула (41.54) сразу следует из нее, поскольку при композиции линейных операторов их матрицы перемножаются. Д 'веорема 6. Отображение ) = (Л, ..., г„): Е-+ )7'", Е с: й", дифференцируемо в точке х~Е в том и только том случае, когда все его координатные функции 7;:Е-е-й., (=1, 2, ..., т, дифференцируемы в этой точке.

В этом случае элементы ау матрицы дифференциала Ву (х) являются соответствующими частными проиэводнглми координатных функций: дй (х) ху Иначе говоря, производная г" (х) является матрицей Якоби системы функции 7; (см. определение 2 п. 41.3), дй (х) д7~ (х) дх, " ' дхв (41.65) д)в, (х) дГ, (х) дхд дх„ и называется также я~оп~рацей Якоби отображения ) в точке х. Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Координатные функции 7г = л;.7 (см. (41.37)) являются композицией двух дифференцируемых отображений: отображения 7", которое дифференцируемо в точке х по условию, и проекции и; (см. (41.36)), которая, как всякий линейный оператор Й" — Й дифференцнруема на всем простран- З кудрявцев л. д. т. э Э е1. Неявные функции стае )т'". Следовательно, согласно теореме 5, функции )г, =1, 2,, гп, дифференцируемы в точке х. 2. Пусть все координатные функции 1г = л;.1 отображения дифференцируемы в точке х. В силу (41.46) это означает, что существуют такие постоянные а1, 1=1, 2, ..., т, 1=1, 2, ..., и, что 11 (х+ 1г) = 1г (х) + аггйг+...

+ агвй„+ о (1г), й — «О, 1=1, 2, ..., пг. (41.66) Отсюда, как известно (см. 20.2), следует, что коэффициенты аг1 при приращениях й1 аргументов х1 являются соответствующими частными пРоизводными фУнкций 1г: а;1 —— — '„, 1=1, 2, ..., т, 1=1, 2, ..., и. (41.67) 1 Обозначим через 1:)т'"-«)т линейный оператор с матрнцей (ау). Поскольку (о(й), ..., о(й)) =о(й) *', то равенства (41.66) можйо записать в виде 1(х «-й) =1(х)+1(!г)+о (й), й-«0.

Зто и означает дифференцируемость отображения 1, причем из (41.67) следует справедливость формулы (41.65). Д Замечание 1. В силу формул (41.54) и (41.65), следствие из теоремы 5 означает, что матрица Якоби композиции отображений 1 и д равна произведению матриц Якоби этих отображений. Это, впрочем, непосредственно следует и из формулы дифференцирования сложной функции: если ха=-да(у„..., у ), А = = 1, 2,, з, а уг =гсг (хг, ..., х„), г = 1, 2, ..., гп, то (см. (20.26)) д . д дх" Й=1 2г ю зз 1=1г 2, ° гг ° г=г что согласно правилу умножения матриц (см. п. 41.6) и означает, что матрица ~ — ) является произведением матриц « — ) н ~ —.1), гдгай 1даа~ /даг ~ '(д;) (~-;,"г) =(' — ';,И~ —.";) Определение 9. В случае пг=п определитель бе1 ( — г) *' Запнсь (о (й), ..., о(й)) =о (й) означает, что вектор, координаты ноторого являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем й, сам является бесконечно малой более высокого порядка, чем й прил-«О.

Совпадение в данном случае обозначений вектора и его координат связано с тем, что мы, чтобы не усложнять символини, выбрали для н-мерного вектора обозначение х, в котором не отражена его размерность. Оаа делается ясной, только если оп записан с полгонгью координат х=(хг, ..., х„). 4!.7.

Ли4хреренцируемые отображения лгатриг(ы Якоби (41.65) называется определителем Якоби или якобианом опюбражения (: Е-«Р, Е с)е", о точке х яЕ и обозначается (см. п. 41.3) дчь "'' 1") или д(хь ..., х„) Р(х,, ..., х„)' 3 а м е ч а н и е 2. Из алгебры известно, что при умножении квадратных матриц их определители перемпожаются; поэтому при выполнении условий теоремы 5 в случае т = п = э якобиан композиции отображений г и у равен произведению якобианов отображений ) и йт д(г,, ..., г„) д(г,, ..., г„) д(у„..., у„) (41.68) д(хь ..., х„) д(уь .„, у ) д(хь .„, хя) Действительно, д(гь "., гн),1 (дгя) (дга1/ду;1 д(х„..., хн) (дх ) ~дрг) ~дхт.) 1 ( (дг„) 1 1 ~ду,) д(г,, ..., г„) д(у,, ..., у„) (дуг) ~дх.! д(у, ..., у„) д(х, ..., х„)' Замечание 3.

Пусть Ес:)тн и Ы:Е-«Е — тождественное отображение множества Е на себя. В координатной форме оно записывается в виде условия равенства координат точек образа и прообраза при этом отображении, т. е. координатные функции имеют внд 1г(х)=х;, 1= 1, 2, ..., п, (хг, ..., х„) ен Е. Если хев — внутренняя точка множества Е, то этн функции можно дх; дифференцировать в этой точке, и поскольку — ' = О при 1~/ и дхг дхп — ' = 1, то матрица Якоби тождественного отображения является дхт единичной матрицей е '(': .). Пусть теперь Ус)тя, )т с)хя и ):У- (г — взаимно однозначное (инъективное) отображение, а )-':1(У) — «У — обратное ему. Тогда для любой точки хан У имеем Г'(1(х)) =х, т. е. композиция 1-')' является тождественным отображением.

Пусть отображение ) днфферснцируемо в точке х, ~ () (следовательно, х,— внутренняя точка множества У, ибо только для таких точек определено понятие днфференцируемости), а обратное отображение )-" дифференцируемо в точке ((х,). Поскольку (-' (в тождественное отображение, то в силу формулы (41.54) имеем ()'-г) ' г" = ()-х )) ' = (18) ' = Е. (41.69) У 4А Неявные фунхвнн Перейдя от этого равенства матриц к их якобнанам, получим де1 ()-')' де1(' = 1, (41.?О) ибо де1 Е=!. Если отображение 1 задано координатными функциями (41.30), то формулу (41.70) можно переписать в виде д(х,, ..., х„) д(уь ..., у„) (41. 71) д(уь ..., у„) д(хь ..., х ) Из этой формулы следует, что при сделанных предположениях как якобиан отображения ) в точке х, так н якобнан обратного отображения (-' в точке ((х) не обращаются в ноль.

Перепишем формулу (41.71) еще в виде д(х„..., х.) (41.72) д (уь ..., у„) д (у„, ун)' д(хь ..., х„) Зта формула является очевидным обобщением формулы для произдх ! водной обратной функции одного переменного: — = — . ду ду вх В заключение сформулируем два полезных определения. Определение 1О. Отображение ?: Š— й'и, Е с:)7", ди4ференцируемое в каждой точке хан Е называется ди4ференцируемым отображением множества Е. Очевидно, если отображение днфференцируемо на множестве Е, то какова бы ни была точка х~ Е, согласно определению 8 отображение 7 определено в некоторой ее окрестности, т. е. Е— открытое множество. Согласно теореме 6 отображение 7=(До ..., 7„) дифференцнруемо на множестве Е тогда и только тогда, когда на этом множестве днфференцируемы все его координатные функции ~ь ..., )„.

Если все координатные функции непрерывно дифференцируемы на Е, т. е. все их первые частные производные непрерывны на Е, то отображение ) называется непрерывно дифференцируемым отображением множества Е. Определение 11. Гомеоморфное отображение 7: Π— Р, где О и Р— открытые множества просепранства Р' называется ди4феоморфным отображением или диффеомор4измом, если как оно само, так и обратное ему опюбражение ('а:Р-+-6, дифференцируемы. 408. ОТОБРАЖЕНИЯ С НЕРАВНЫМ НУЛЮ ЯКОБИАНОМ. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ОБЛАСТИ Прежде всего рассмотрим вопрос о существовании отображения, обратного данному. Как мы знаем, в случае и = 1 для непрерывно дифференцируемой на некотором отрезке функции условие необра- 41.8. Отоброженал с неравным нули лнобноном щения в ноль ее производной (которое влечет за собой ее строгую монотонность) является достаточным для существования обратной ей однозначной непрерывно днфференцируемой функции.

В случае же произвольного и дело существенно осложняется: соответствующие точечные условия, налагаемые на дифференциальные свойства отображения позволяют утверждать лишь что локально, т. е, в окрестности точки, существует обратное отображение. Более точно, справедлива следующая теорема. Теорема 7. Пусть ( Ус=(,(хн ..., х„), У=7(х) =~ (41.73)' у =7„(х„..., х„) — непрерывно дифференцируемое отображение открыпсого лсножеспсва (с ~)(н в пространство )7н. Если якобиан этого отображения ие обращается в ноль в точке хин в= 6, то существуют такие окрестности У„и У соответственно точек х(м и уев=с" (хиа), сто 7(х), х~ У, является взаилно однозначным отображением окрестности У на окрестность Усо а обратное ему отображение непрерывно дифференцируемо на множестве Ув. Следствие.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее