kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 12

е. су ~=ау+Ьу, /=1, 2, ..., т, /=1, 2, ..., п. Произведением матрицы А на число )ь назынается матрица, все элементы су которой получаются из соответствующих элемен- тов матрицы А умножением их на /ь су = лау, /=1, 2, ..., т, /=1, 2, ..., п. Если число столбцов матрицы А =(ау) равно числу строк матрицы В=(Ь)»), 1=1, 2, ..., т, /=1, 2,..., и, Ь=1, 2, ..., л, то произведение АВ матриц А и В определяется как матрица, состоящая из элементов с;», которые определяются по формулам: сгв.= ~', апЬ|», 1=1, 2, ..., т, й —.1, 2, ..., л.

1= 1 Отметим два нужных нам для дальнейшего свойства линейных операторов. 58 з 4/. Неявка!в функции 1а. Если / и о — линейные операторы, /': Ри-ь-К"', а: )сл-+.Р", а Х и р — произвольные числа, то Х/+щ — также линейный оператор, действуюгций из Клв К", причем, если А и В суть матрицы линейных операторов / и у, то )ьА+рВ является матрицей оператора й/+ рд. Доказательство этого утверждения производится путем его непосредственной проверки: если и у;=,У', а!/х/, !=1, 2, ..., т /= ! — координатные функции отображения ), а г! = ~ Ь!/х/, !' = 1, 2... т / —..

! — координатные функции отображения д, то для координатных функций отображения )/+щ будем иметь (при сложении и умножении на числа векторов их координаты складываются и умножаются на те же числа) и л л Хуь+)аг! = )ь ~~ аух/+р ~~ Ь! х/= ~ (Хг! +рЬу) х, ь=! !'=! т. е., во-первых, координатные функции отображения Х/+ щ являются линейными функциями, а, во-вторых, элементами с/ матрицы отображения Ц+)ьу являются числа с/=)ьат+/ьЬ!„ т. е. элементы матрицы ХА+1!В, где А=(а!/), В=(Ь//). П 2а.

Если /" и Ьь — линейные операторы, /: )си-и)си, сь: /с — з-Яь, то их колтозиция у / также является линейным оператором Ки — Кь, а ее матрица равна произведению л!атриц отображений д и /. Снова выполним непосредственную проверку утверждения. Если и у; = )~ а/х/, ! = 1, 2, ..., т, /= ! — координатные функции отображения /, а гн = ~ Ьмуь й = 1„2, ..., з ь=- ! — координатные функции отображения д, то иь иь л и / ьи ..= т, ь,иь — т. ь„т.

„„= т. ( т. ь.и,,),, != ! ь'=! ь=! /= ! ь=! т. е., во-первых, координатные функции композиции д / суть линейные функции, а, во-вторых, элементы са/ ее матрицы полу 59 41.6 Линейные отображения чаются нз элементов матриц аи и Ьм операторов7 ну по правилу с =ХЬм~;. (41. 39) с= ! Как было сказано, такая матрица (сяу) и называется произведением матриц (Ьм) и (ац). ( ) Заметим, что каждый линейный оператор ):)с"-+.гс является непрерывным отображением пространства )с", ибо все его координатные функции (41.33), будучи линейными, непрерывны. Длина вектора х ен)ся, как это отмечалось в п.

41.5, является непрерывной в пространстве Й" функцией. Поэтому, если р:)с"-~- -+.К'" — линейный оператор, то функция !1(х)!, как композиция двух непрерывных функций, будет также непрерывной в )с!е. Поскольку единичный шар сг" = (х ~ )с": ! х !(1) является компактом, то для всякого линейного оператора 1: )с"-э.)сж сужение непрерывной функции !)!: 1с"-е.1с на шар Сг", т. е.

функция ! р!: Сея-м)с, ограничено: зцр ! 1(х) ! (+ оо. (41.40) !х!< ! Определение 7. Для линейного оператора (е частности — для линейного функционала, при т=1) ): К"-+!с"' число анр !!'(х)! 1х!< ! называется его нормой *1 и обозначается через )1(: ! Д вЂ” ' зц р ! ) (х) !. (41.41) /к!< ! В силу неравенства (41.40) норма любого линейного оператора конечна.

Оценим длину образа вектора х ~ )с" через норму оператора ~ н длину х самого вектора. Для любого хФ О, х ен )ся, вектор х !х~! $= — имеет длину 1: !$!=! — ~ = — !х!=1. Поэтому, исполь)х! ! !х! ! )х~ зовав линейность оператора )', свойство (18.34) длины вектора и определение (41.41), получим т. е. !1(х) !~1) )/х!. (41.42) Из этого неравенства следует, что при !х/(1 справедливо неравенство !1(х)/(!!1!!. Вспомним, что непрерывная на компакте функция достигает на нем своего наибольшего значения (см.

тео- '~ Общее определение нормы будет дено в и. 67.3. э 4!. Неяв«ые фраки!!и рему 3 в п. 19.5). Поэтому функция !!'~: 9«-+.1т, будучи непрерывной на компакте !~", достигает иа нем своего наибольшего значения: 1Д= апр ~)(х)~= !пах ~~(х)(, !«,'ж ! !«~(1 а поскольку при ~х((1 имеет место неравенство ~Дх)~СЯ, то указанный максимум достигается при 1х~ =1, т.

е. на единичной сфере 3"-т=(х: ~х ~ =1). Таким образом, ))(= !пах ~г(х)~. !«1=-! Отметим еще одно полезное выражение для нормы линейного оператора (41.44) «ял««к а Докажем его. Используя снова свойство длины (18.34) вектора, линейность отображения 1 и формулу (41,41), получим .;." „„, "'~ =..„." „,1 —,'~~(")1=,,;."р,„!~(И= пр,У(В)!=й- Отсюда для каждого х~О, х~)с« Г и В !=!р=! Поэтому в силу (41.44) Г '" «на«, «~0 ! !т ! (41.45) Нетрудно оценить норму Я линейного оператора !".

через эле- менты его матрицы (41.34). Замечая, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, применяя формулу (41.35) н неравенство Коши-Шварца (18.2), будем иметь <».7. Дифференцируемые отоброжечлл Тем самым еще раз, но уже «алгебраическим путем» доказано неравенство (41.40). вы. 1(НФФквенциРздемые ОтОБРАжения Перейдем теперь к определению днфференцируемых векторных отображений.

Предварительно напомним, что функция и переменных 1: Š— К Е ~ дс" *', определенная в окрестности точки х:=(х„,... ..., х.) <в : Е называется диффервнцируемодт в этой точке, если существуют такие постоянные а„..., ол (они являются частными производными функции ) в этой точке а;= — — (х)), что д( хд 1(хд-1 Ь„..., х„-1 Ьа) — 1'(х„..., х,)= — р пдЬ»+... + а„Ь„+ о(Ь), Ь-» О, (41.46) где Ь=(Ь„..., Ь„).

Для отображений из и-мерного пространства в т-мерное <о малое» определяется следующим образом: пусть(»в окрестность точки х, е= Е, а: У-вт«"; будем говорить, что а=о(х) при х-~-х„если )а! =-о(~х~), х — ~-х„т. е. если существует такая функция в: (т'-и»х, что ((и=(н (, (41.47) х е= У и Игп в (х) = О. Х хе Само собой разумеется, что! а(х) ~ является длиной вектора в пространстве Р", а ~х) — длиной вектора в пространстве А". Для выражений вида о (х), являющихся векторами, сохраняются обычные правила действий с символом «о малое», например, о(х)+о(х) =о(х)'при х — »-ха и т, п.

Линейное отображение (линейный функционал) (Ь„..., Ь,) а»Ь»+...+ а,й„в формуле (41.46) называется ди4»фвренциплолд функции 1" в точке х. Обозначив его через Р(х), получим Р (х) (Ь) = а»Ьд +... + паЬ„. Таким образом, определение дифференцируемости (41.46) можно представить в виде ~(х-(-)д) =-)(х)+Р(х)(Ь)+о(Ь), Ь-<-О. Лналогично определяется и дифференцируемость отображения в общем случае. Определение 8. Пусть У вЂ” окрестность, в простра 'стае )ха, точки хе=)ха.

Отображение 1:(7- К" называется дпффврвнцидусжым в тоже х, если существует токов линейное од»1обрвявемие (лпщбмип опера»нор) 1: тс"-»- Й"', что У(х+)д) =.-1(х)+1(Ь)+о(Ь), Ь. О, Ь е= Еа. (11,48) *' Черезд, аан вссгла, обозначается множество всех аеаствитслыодх чисел.

Э «Л Нелепые фу«вчии Линейный оператор 1 наилвается дифференци лом отображе- ния 1' в точке х и обозначается через Р(х) или более подробно, через Рс (х). Используя это обозначение„определение диффереицируемости (41А8) можно переписать в виде 1(х+Ь) =1(х)+Р1(х) (Ь)+о(Ь), Ь-+-О. (41.49) Матрица дифференциала Рс(х) (см.

(41.34)) называется про- изводной опсображения 1 в точке х и обозначается через 1' (х). Отметим, что из формулы (41А8) сразу следует, что отобра- жение, дифференцируемое в точке х, непрерывно в ней: 11гп1(х+Ь) =1(х). «-о Теорема 3. Если отображение 1: Е-+Я", Е с: Я", дифферен- цируемо в точке х ен Е, то его дифференциал в втой точке опре- деляется однозначно. Следствие. Дифференциал линейного отображения совпадает с самим отображением. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е и ы.

Пусть наряду с равенством (41.48) выполняется также равенство ~(х+1с)=~(х)+1,(Ь)+о(Ь), Ь-«.0, (41.50) где 1,:1с" — ~)с"', 1,— линейный оператор. Вычитая одно из этих равенств из другого, получим 1(Ь) — 1,(!с) =о(Ь) при Ь-с.О, т, е. существует такая функция е(Ь), определенная на некоторой окрестности 1' нуля пространства Р', т.

е. о: У-сгс„что 11гпе(Ь)=0 «о и для всех Ь ен У имеет место ! 1(1с) — 1, (Ь) / = е (Ь) ! Ь !. (41.51) Возьмем теперь произвольное йене"; тогда для всех доста- точно малых 1 будем иметь И е У. Поэтому в (41.51) для таких 1 можно взять Ь = И: ~1(И) — 1,(1Ь) ) =-е(И) ! И ~. Поскольку 1И(=(1с(Ь~ и отображения 1 и 1, линейны, будем иметь 1(И) — 1, (И) =1[1 (Ь) — 1, (ЬД, а потому ~1(Ь) — 1,(Ь),'=е(И) ~Ь/. (41.52) 1-1о ВтИ=О, следовательно, в силу свойства функции е, имеем с о также !1те(И)=0.

Переходя к пределу при 1-+.0 в (41.52), с-о 4Х7. дифференцируемые огображения получим ~1(Ь) — 1,(Ь)~=О, т. е. для любого Ь~Я" 1(Ь) = 11 (Ь). Это и означает, что 1=1,. П Доказательство следствия. Пусть г: )с" — ~Я'" — линейный .оператор. Тогда в силу линейности для любых х е- :Ь'" и Ь е- =Е 1(х+Ь) =г(х)+)(Ь), т. е. равенство (41.48) выполняется при 1=)' и о(Ь) = — О. В силу единственности дифференциала Рт(х) =~. ( ) Теорема 4 (линейность дифференциала).

Если отобралсения 1: Е-о. Р" и й: Е - й'", Е с: )с", дифференцируемы в точке х ~ Е, то при любых числах Х и р линейная кол~бинация Ц+рй также ди44еренцируема в точке х и Рм~ ве (х) = ХР~ (х) + рРе (х). Доказательство. В силу дифф ренцируемости отображений Г и д в точке х имеем (см. (41.49)): Г(х+Ь)=Дх)+РГ(х)(Ь)+о(Ь), Ь вЂ” ~-О, й(х+Ь)=д(х)+Р (х)(Ь)+о(Ь), Ь-+О; отсюда Я(х+Ь)+рй(х+Ь) = =Я(х)+рд(х)1+(Щ(х)+рРе(х)1(Ь)+о(Ь), Ь-э-О. Поскольку ХРг (х)+ рРе (х) является линейным отображением (см.

п. 41,6), то, в силу определения 8, линейное отображение Юу (х)+ рР (х) является дифференциалом отображения Х1+ рй. ( ) Теорема 5. Пусть Е~Р, РсР", (":Е-+Р, й:Р-+Р, причем отображение г дифференцируемо в точке х~Е, а й— в точке ~(х). Тогда колтозиция й )' ди44еренцируема в точке х и ее ди4ференциал в этой точке равен композиции ди44гренциалов отображений г и йп Ре ц (х) = Ре () (х)) ° Р~ (х). (41.53) Следствие. Если выполнены условия теоремы, то производная композиции отображений ровна произведению производных: (а 1)'(х)=д'Д(х))Г'(х). (41.54) Как видно из приведенных формул, благодаря удачному выбору определений и символики, в формулировках теорем имеет место полная аналогия с одномерным случаем.