kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 7

132 ь=!, 2, ..., 11. у п р а гк п е и «я, 1. Сформулировать условия, прн которых функция ь(х), определяемая уравненяем г" (х, у) =О (теорема 1), имеет в то'ьке (хя уя) непрерывные производные до л-го порядка включительно. Найти формулы для (хе) и 1 (хе). С помощью теоремы 1 н ответа на предыдущие упражнения найти достаточные условия существования функции х=ф(у), обратной к У=)(х) и имеющей в точке уз непрерывные производные до и-го порядка включительно. Доказать, что ~Рх Р (х) Лвх 3 1)" (х) )з — ~'.

(х) 1н (х) дуз (р (х) 1" ' ьгуз (р (х)1! 3. Найти =- и — если у †функц, определяемая уравнением ду ду дх ь1х' ' сот хауз + ху = 2 ю На рис. 132 изображен случай, когда л=2 и окрестность (Ьх прямоугольная. 2 Кулпнвчсв Л. Д. т. 2 р 4В Неявные функции 4П2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ МНОЖЕСТВ Прежде чем рассмотреть вопрос о разрешимости систем уравнений, введем некоторые новые понятия. Пусть К вЂ” и-мерное евклидова пространство, точки которого будем обозначать через х=-(хы ..., х„), ʄ— т-мерное евклидова пространство, точки которого будем обозначать у=(у„..., у ), а К"„» — (и+т)-мерное евклидова пространство точек (х, у) =(х„..., х„, у„..., у ). Определение 1.

Пусто А с: К и В сР„. Л4ножество точек (х, у) пространсптва К',,~" таких, кто х е— = А и у ен В, называется произведениеят »> множеств А и В и обозначается АхВ(см. п. 1.2*). Таким образом, А х В = ((х, у): х ~ А, у ~ В). Примеры. 1. Если А=!са, В= =те„, то А>сВ=)с„'хР„=)с,"в+ ° 2.

Пусть п=2 и А — круг; т=1 1ьЗ и  — отрезок. Тогда А Х — прямой круговой цилиндр (рнс. 153). = (х: )х, — х)" ) ( б;; 1= 1, 2, , и) — прямоугольная окрестность точки х(о~; пусть у~ ~ =(у1~~,, у~~') ен )1'„" и В = =Р(у~"; т1„..., т1„)=(у: !уу — у,'"~(тд, 1=1, 2, ..., т) — прямоугольная окрестность точкй у(о>. Тогда АхВ=((х, у): 1хт — х,'"((бь т'=1, 2, ..., и; =Р((х~", у~о>); бы ..., б„, т1ы ..., т1 ) (41.б) является прямоугольной окрестностью точки (х<о~, ум).

Очевидно н обратное: поскольку всякая прямоугольная окрестность точки (х(о~, упн) записывается формулой, стоящей в середине равенства (41.6), то она всегда может быть представлена как произведение прямоугольных окрестностей точек хыч и д<е). Упражнение 4. Доказать, что если множества А~=У' и Всрю являются открытыми множествами соответственно в пространствах Ве и Вю в з то и их произведение Ах — открытое множество в пространстве ВЯ+»'. *' Примевяется танже термин декартово произведение. ЕАЗ.

Неявные функции, олределяемие системой уравнений 35 4!.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим условия, при которых система уравнений Рз(х, у) = О, ! = 1, 2, ..., т, х ~ й", у ~ Р", (41. 7) илн, подробнее, Рт(ти ° ° ~ хл~ ут "°, у~) =О, л з (хт~ хл1 ут1 ° ° 1 ум) =О, (41.8) то (хт, ..., хл, У,, У ) =О однозначно разрешима относнтгльно у„..., у в некоторой окрестности точки (х!'), у'"), в которой Р! (хга), узо) = О, ! = 1, 2, ..., т. Определение 2. Пусть задана система функций и; = ит((т, ..., )л), 1=1, 2, ..., т, имгюгцих в некоторой точке Рн все частные производные первого порядка. Тогда матрица, составленная иэ частных производных этих функций в точке 1!е), ди„ дит дит дб д(л ''' дел диз диа дие дЦ д(т "' д(л дим ди„, ди дтт дсз " дел или, короче называется матрицей Якоби *' данной системы функций. Если та = и, то определитель матрицы Якоби называется определителем Якоби, или якобианом, системы функций и„..., ил по пгргменным тт, ..., (л и обозначается следующим образом**! д(иь ..., и„) дуь " тл) Мы увидим в дальнейшем, что якобнан системы функций естественным образом возникает в различных вопросах теории функции многих переменных.

Прежде чем перейтн к изложению основной теоремы, кратко поясним на простом примере (не оговаривая всг детали) идею ее *' К. Я к об и (!804 — )850 — немецкий математик. *" Применяется также обозначение )т(ть " (л) 2* 36 з 4Ь <<еввно<е функции доказательства и покажем, каким образом в ее условиях возникает якобиан рассматриваемой системы. Пусть в какой-то окрестности точки (хо, уо,-г,) заданы непрерывно дифференцируемые функции г и Ф, причем г (хо, уо го) = 0 Ф (хо уо го) = О. Допустим, что необходимо решить систему уравнений г (х, у, г) = О, Ф(х, у, г)=0 в некоторой окрестности указанной точки, найдя из нее переменные у=<р(х) и г=ф(х), как такие непрерывные функции <р и <<й переменной х, что <р(х,)=уо, <р(хо)=го.

Разрешив для этого, например, первое уравнение относительно г, получим г=р(х, у). Подставив это выражение во второе уравнение и разрешив его относительно у, будем иметь у=<р(х). Полагая ф(х) =! [х, <р(х)1, получим искомое решение: у =- <р (х), г=ф(х). Возникает, конечно, вопрос о том, при выполнении каких условий возможно проделать указанные операции, или, точнее, когда существуют и однозначно определены все вышеупомянутые функции.

(Естественно, при этом надо выяснить, где, т. е. для каких значений переменных х и у, определены эти функции? Этот вопрос мы сейчас не будем подробно анализировать, чтобы не отвлекаться от основной идеи. Он будет рассмотрен при доназательстве теоремы 2 этого пункта.) Для того чтобы одно из данных уравнений, например первое, было разрешимым в некоторой окрестности точки (х„у„г,) относительно переменной г, достаточно, чтобы (см. теорему 1' в п.

41.1) дР (хо Уо го) — ~0 Если г — р(х у) соответствующее решение то для того чтобы уравнение, получающееся в результате подстановки этого решения во второе уравнение, Ф[х, у, ! (х, у)4=0 было разрешимым относительно переменной у, достаточно, чтобы полная частная производная по у левой части получившегося равенства не обращалась в нуль в точке (х„у,), т. е.

чтобы в этой точке — + — ---~0. д<в д<в др ду дг ду Но согласно п. 41.1, др д( ди дк .= де 4>.3. Неявные трункции, онредсяяеные системой уривнений 37 следовательно, подставляя это выражение в предыдущее неравенство, получим, что условие разрешимости можно записать в виде д(Г, Ф) дР дФ др дФ вЂ” =- — — — - — — ФО в точке (х„у, г,). д (у, г) ду дг дг ду ею Из этого условия, очевидно, вытекает, что в точке (хе, уе.

ге) др дФ либо — чьО, либо -- ~0, т. е. одно из заданных уравнений разрешимо относительно г. Таким образом, для заданной системы уравнений неравенство нулю в точке (хо, у„ г,) якобиана (' обеспечивает существод(Р, Ф) д(у, г) ванне в некоторой окрестности точки (х„у„г,) решения вида у=>р(х) г = >р (х). Сформулируем теперь основную теорему этого пункта.

Теорема 2. Пусть функции Р>(х, у) =г>(хт,..., х„, у„..., у )„ 1=1, 2, ..., т, непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестноститочки (х>а> у>е>), где х(е>=(х"', ..., х„"'), у>в>=(уин ..., у"'). Тогда если Рт(х>е>, у(е>)=0, (=1, 2, ..., т, и если в точке (х(е>, у<е>) якобиан ( ' "' ) не равен нулю, то нийд(Рт, ..., Рят) д(ут, " уят) дутся такие окрестности У„и с)я точек х('> и у(е> соответственно в пространствах К и )с„, что для каждого х ен У существует единственное ргитение у=йх) ~К системы уравнений (41.7)." У=~(х) =(Ун=~а(хт, ..;, х„), у=1, 2, ..., т) е>, причем функции (а(х), й=1, 2, ..., т, образующие это реп>ение. непргрывно дифференцируемы на Ц и 7(х>е>) =у>о>. Таким образом, если выполняются предположения теоремы, то условие рт(х, у)=О, .=1,2, ...,,.

(,, у) =и.хи„ эквивалентно условию у=~(х), к~У„, у~Уи. Яи Система функций )а (хт, ..., х„), й= (, 2, ..., т обозначена одним снмволом 1(х), поскольку она задает определенное соответствие: точкам некоторого мноитества пространства )тн указанная система функций ставит в соответствие х опредвлениые точки пространства >Чят, или, как говорят, отображает указан.

У' нос множество пространства Н" в пространство )тв, У 4Н Неявные функции Доказательство. Прежде всего заметим, что.утверждение: решение у = 7 (х) системы уравнений (41.7) удовлетворяет условию Г(х(в))=у<в~, очевидно, непосредственно следует из утверждения о единственности решения у=7(х) е= (7я при х е- :У„и условий Р; (х~в', у<в~) = О, 1= 1, 2, ..., т, х~в~ ~(/я, у(в) е= (7 . е' Для доказательства теоремы применим метод математической индукции. Для случая одного уравнения, т. е. когда т=1, теорема была установлена нами в п. 41.1, Пусть теперь оиа верна для и — 1 уравнений (и)1).

Докажем, что тогда она имеет место и для т уравнений. Покажем сначала, что каждое из уравнений (41.8), например последнее г" (х„..., х„, у„..., у )=О, можно разрешить в окрестности точки (х~в1, уов) по крайней мере относительно одного переменного.