kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 14

Пусть (' — непрерывно дифференцируе,аое отображение открытого множества бс: Й" в пространство Я". Если якобиаи отображения р не равен нулю на О, то обрш лсножества 6 при этом отображении также является открытым множеством. Доказательство. Рассмотрим функции Рс(х, у)=?с(х„..., х„) — уь с=1, 2, ..., и. Они определены для всех у=(у„..., у„) е= Йе" и всех х=(х„... ..., х„) е-=б ~Д„".

С их помосцью система равенств (41.73), задающих отображение (, перепишется в виде Рс(х, у) =О, с'=1, 2, ..., и. (41.74) При этом функции рс (х, у) определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (х«о>, у«сч) (за такую окрестность можно взять, например, б х)(в), «вс «о» В(ьы ", Рл»1 В()с, " . 7,» Рс(х г У )=«» н В(х х»1(„ы~ сы»=д(х х)! онФО Таким образом, выполнены все условия теоремы 2 настоящего параграфа о разрешимости системы уравнений.

В силу этой теоремы уравнения (41.?4), или, что то же, система (41.73), могут быть разрешены, и притом единственным образом, относительно переменных х„..., х„в некоторой окрестности точки (хсм, уеи). Более подробно это означает, что суше;, ствуют такие окрестности У,": и Уе, соответственно точек хоп и усвс, э" дл Неявные Функции х[е) ~ У„*, у~е~ е= У„и такое единственное отображение (хе — — д,(У„..., У.), х=у(у) =~ (41.75) Хл=-ул(уе °" вн) отображающее окрестность Ув в окрестность (/*„что для всем у ~ Ув имеет место тождество /1У(У))=У Иначе говоря, для каждой точки у~ У„существует и притом единственная точка х =д (у) е- =У*„, переходящая при отображении ~ в точку у.

Тем самым х ~ Г'(у) П У„', у(у) является отображением, однозначным, непрерывно дифференцируемым и обратным к / на Уе:у=/-. Положим У =У„*ПГ'(Уе). Тогда У вЂ” открытое множество, ибо ана является псрессчением двух открытых множеств У; и /-'(Уе) (аткрытость множества /-'(Уе) следует из того, чта оно является прообразом открытого множества У„при непрерывном отображе- нии /, см. лемму 2 в п. 41.4). Очевидно, что У, отображается взаимно однозначно на У„, а поскольку хии е У",: и Дх~в)) = уии яУ„, то хпп АУ, т.

е. ӄ— йскомая окрестность точки х~в>. Д Замечание 1. Окрестности У„и Уе, фигурирующие в усло- виях теоремы 4, обладают еще тем дойолнительным свойством, что якобиан отображения / окрестности У на окрестность Уе не обращается в ноль на окрестности (/„, а якобиан обратного отображения /-' не обращается в нуль на окрестности У„. Это сразу следует из формулы (41.71). Действительно, в силу того что отображение / взаимно однозначно переводит окрестность У„ в окрестность Уе и того, что / и /-' непрерывно дифференцируемы, можно применить указанную формулу к отображению г, рассмат- риваемому на множестве У .

Согласно этой формуле, произведение якобианов отображений ) и 1-' равно единице и, следовательно, каждый из них не равен нулю. Доказательство следстви я. Пусть у=)(х) — непре- рывно дифференцируемое отображение открытого множества 6 в пространство Ян, а уоч — произвольная точка множества /(6), Выберем какую-либо точку хпч в прообразе точки у~":хцн ен)-'(у<в>), следовательно, /(х~") =у~ей В силу теоремы 4 существуют такие окрестности У„~ 6 и У„соответственна тачек хеи и у~в), чта )(У„)=Ув. Следовательно, Уес /(6). Иначе говоря, для всякой точки у~'~ ен/(6) существует ее окрестность, содержащаяся во множестве /(6).

Таким образом, любая точка множества /'(6) является внутренней для этога множества, что и означает, что /(6) — открытое множество. Д Замечание 2. Если при некотором отображении / для точек хно и у~в~=/(х~е~) существуют соответственно окрестности 1/н и Уе, взаимно однозначно отображающиеся им друг на друга, 4ДР. Особые точки г1 то говорят, что отображение 1' локально взаимно однозначно в точке х101. Если при этом отображение 1 непрерывно на (7„, а Гт непрерывно на У„, то г называется локально гомеоморфным в точке х1В> отображением или локальным гомеоморфгьт,ном.

Если, наконец, указанный локальный гомеоморфнзм является диффеоморфизмом, то рассматриваемое отображение называется локально диффеолторфным в данной точке (определения гомеоморфизма и диффеоморфизма см. в п. 41.4 и п. 41.7). Употребляя эту терминологию, можно сказать, что отображение 1, рассматриваемое в теореме 4, в каждой точке, в которой его якобиан не равен нулю, является локально диффеоморфным отображением. Теорема 8 (принцип сохранения области).

Образ п-лгерной области в и-мерном пространсгпве при непрерывно дифференцируемом опгображенгти с якооианом, не обрагцгиогцимся в нуль, является областью. Доказательство. Пусть 6 — область, 6 ~гт'" и у=1(х)— отображение 6 в )7", удовлетворяющее условиям теоремы. Согласно следствию теоремы 4, множество ): (6) открыто, а по лемме 7 п. 41.4 линейно связно. Поэтому, если 6 — область, то при выполнении условий теоремы множество 1(6) также является областью. 11 Упражнение 12. Построить пример непрерывно днфференцнруемого отображения некоторой плоской облвстн, якобван которого нигде не обрвнгается в нуль и которое не взаимно однозначно. 41.9. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЕМ, В КОТОРОМ НАРУША1ОТСЯ УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ Мы уже знаем, что если координаты некоторой точки х1~1= =(Х',Е1, ..., Хл1В1) удОВЛЕтнаряЮт ураВНЕНИЮ Г(х„..., х„) =О (41.78) дг и в этой точке производная — не равна нулю, то при дх; соответствующих условиях, налагаемых на непрерывность самой функции Р и указанной производной, уравнение (41.76) разрешимо в некоторой окрестности точки х<в1 относительно х; и решение является непрерывно дифференцируемой функцией остальных координат.

Естественно, возникает вопрос: а что будет в случае, когда в точке хгв1 частные производные по всем аргументам обращаются в нуль — определяет в этом случае уравнение (41.7б) какие-либо функции или нету Остановимся на этом вопросе, однако ввиду его сложности ограничимся рассмотрением двумерного случая. у Л!. Неявные фвякяяо Итак, будем рассматривать уравнение Р (х, у) = О, (41.77) где функция Р определена и непрерывно дпфференцируема в не.которой окрестности точки (х„ у,), такой, что Р(хо, уо) =О. (41.78) Пусть Ря(хо Уо)=ру(хо, уо)=0. (41.79) Покажем, что и при выполнении этих условий уравнение (41.77) иногда может быть разрешено в окрестности точки (хо, уо) относительно одной из переменных, так что получится непрерывно дифференцируемая функция', однако это можно сделать, вообще говоря, не единственным образом. Таким образом, условие Р1 (хо уо) + Ру (хо уо) чь О (41.80) которое в нашем случае (см.

(41.79)) не выполняется и которое тюзволяет применить теорему 1 о неявных функциях к одному из переменных, естественно назвать условием однозначной разрешимости уравнения (41.77). Определение 12. Точка (хо, у„), координаты которой' удовлетворяет условиям (41.78) и (41.79), называется особой точкой Уравнения (41.77), Особая точка называется изолированной, если существует ее окрестность, в которой сна является единственной особой точкой. Геометрически это означает, что если уравнение (41.77) является неявным представлением какой-либо кривой, то в окрестности особых точек этого уравнения кривая, вообще говоря, не является графиком некоторой гладкой однозначной функции (как это имеет место при выполнении условия (4!.80)); здесь возможны разные особенности, которые мы сейчас и рассмотрим. Введем для краткости записи обозначения Р,(х, уо)=Р,'"„Р „(х, уо) =Р' Р (х уо)=Р)у.

Теорема 9. Пусть функция Р(х, у) определена и дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности изолированной особой точки (хы уо) уравнения (41.77) и пусть Р,'„Руу — Р1у --~ О. Тогда, если (41.81) Р)вруу — Рру ) Оэ пио (х„ у,) является изолированным реиоением уравнения (41.77), и. е. существует окрестность точки (хо, уо) никакая точка ко. 73 4!.Д Особые точки торой, кроме (ха, у,), не удовле1лворяет уравнению (41.77); если лсв (41.82) то уравнение (41.77) разрешимо в некол1орой окрестности точки (х„, у„), на не однозначно: иметотся две различные дифференцтсруечые функции, удовлвтворятощив уравнению (41.77).

Поэт»юму (хе, у,) называется в этом случае двойной точкой. Например, если (41,83) тО СУЩЕСтВУЮт ДВЕ ДИффЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Гт (Х) И )з (Х), определенные в некоторой окрестности точки х„и такие, что в этой окрестности Р(х, )з(х)) =О, Р(х, )з(х)) =О, причем ),(ха)=' = — ),(хе)= — уе, а производные функции гз(х) и Ез(х) в точке х, являются различными корнями уравнения Р,'л+ 2Р,зй+ Р"„айз = Оа 1. (41.84) Р (х, у) = й ьгР."т (х ха) + 2Рта (х — хе) (у — уз) + Ра~э (у — уе)~) + о (»в), (41.85) Положим х — х, = » сов <р, у — у, = Очевидно, (», гр) — полярные координаты точки (х, у), качестве начала полярной системы коордиаат принята уа).

где»= =» чш ср. причем в точка (ха, ю Корни этого уравнения вещественны и различны в сиду условий (41.82) и (41.83). В доказательстве этого утверждения используется не то, что (хч, уз) является изолированной особой точкой, а лишь то, что она яаляев я просто особой точкой, в которой выполняется условие (4!.81). До к а вате л ь ство.