kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 14

DJVU-файл kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 14 Математический анализ (259): Книга - в нескольких семестрахkudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа) - DJVU, страница 14 (259) - СтудИзба2013-09-15СтудИзба

Описание файла

Файл "kudryavtsev2a" внутри архива находится в папке "Кудрявцев - Курс математического анализа". DJVU-файл из архива "Кудрявцев - Курс математического анализа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 14 - страница

Пусть (' — непрерывно дифференцируе,аое отображение открытого множества бс: Й" в пространство Я". Если якобиаи отображения р не равен нулю на О, то обрш лсножества 6 при этом отображении также является открытым множеством. Доказательство. Рассмотрим функции Рс(х, у)=?с(х„..., х„) — уь с=1, 2, ..., и. Они определены для всех у=(у„..., у„) е= Йе" и всех х=(х„... ..., х„) е-=б ~Д„".

С их помосцью система равенств (41.73), задающих отображение (, перепишется в виде Рс(х, у) =О, с'=1, 2, ..., и. (41.74) При этом функции рс (х, у) определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (х«о>, у«сч) (за такую окрестность можно взять, например, б х)(в), «вс «о» В(ьы ", Рл»1 В()с, " . 7,» Рс(х г У )=«» н В(х х»1(„ы~ сы»=д(х х)! онФО Таким образом, выполнены все условия теоремы 2 настоящего параграфа о разрешимости системы уравнений.

В силу этой теоремы уравнения (41.?4), или, что то же, система (41.73), могут быть разрешены, и притом единственным образом, относительно переменных х„..., х„в некоторой окрестности точки (хсм, уеи). Более подробно это означает, что суше;, ствуют такие окрестности У,": и Уе, соответственно точек хоп и усвс, э" дл Неявные Функции х[е) ~ У„*, у~е~ е= У„и такое единственное отображение (хе — — д,(У„..., У.), х=у(у) =~ (41.75) Хл=-ул(уе °" вн) отображающее окрестность Ув в окрестность (/*„что для всем у ~ Ув имеет место тождество /1У(У))=У Иначе говоря, для каждой точки у~ У„существует и притом единственная точка х =д (у) е- =У*„, переходящая при отображении ~ в точку у.

Тем самым х ~ Г'(у) П У„', у(у) является отображением, однозначным, непрерывно дифференцируемым и обратным к / на Уе:у=/-. Положим У =У„*ПГ'(Уе). Тогда У вЂ” открытое множество, ибо ана является псрессчением двух открытых множеств У; и /-'(Уе) (аткрытость множества /-'(Уе) следует из того, чта оно является прообразом открытого множества У„при непрерывном отображе- нии /, см. лемму 2 в п. 41.4). Очевидно, что У, отображается взаимно однозначно на У„, а поскольку хии е У",: и Дх~в)) = уии яУ„, то хпп АУ, т.

е. ӄ— йскомая окрестность точки х~в>. Д Замечание 1. Окрестности У„и Уе, фигурирующие в усло- виях теоремы 4, обладают еще тем дойолнительным свойством, что якобиан отображения / окрестности У на окрестность Уе не обращается в ноль на окрестности (/„, а якобиан обратного отображения /-' не обращается в нуль на окрестности У„. Это сразу следует из формулы (41.71). Действительно, в силу того что отображение / взаимно однозначно переводит окрестность У„ в окрестность Уе и того, что / и /-' непрерывно дифференцируемы, можно применить указанную формулу к отображению г, рассмат- риваемому на множестве У .

Согласно этой формуле, произведение якобианов отображений ) и 1-' равно единице и, следовательно, каждый из них не равен нулю. Доказательство следстви я. Пусть у=)(х) — непре- рывно дифференцируемое отображение открытого множества 6 в пространство Ян, а уоч — произвольная точка множества /(6), Выберем какую-либо точку хпч в прообразе точки у~":хцн ен)-'(у<в>), следовательно, /(х~") =у~ей В силу теоремы 4 существуют такие окрестности У„~ 6 и У„соответственна тачек хеи и у~в), чта )(У„)=Ув. Следовательно, Уес /(6). Иначе говоря, для всякой точки у~'~ ен/(6) существует ее окрестность, содержащаяся во множестве /(6).

Таким образом, любая точка множества /'(6) является внутренней для этога множества, что и означает, что /(6) — открытое множество. Д Замечание 2. Если при некотором отображении / для точек хно и у~в~=/(х~е~) существуют соответственно окрестности 1/н и Уе, взаимно однозначно отображающиеся им друг на друга, 4ДР. Особые точки г1 то говорят, что отображение 1' локально взаимно однозначно в точке х101. Если при этом отображение 1 непрерывно на (7„, а Гт непрерывно на У„, то г называется локально гомеоморфным в точке х1В> отображением или локальным гомеоморфгьт,ном.

Если, наконец, указанный локальный гомеоморфнзм является диффеоморфизмом, то рассматриваемое отображение называется локально диффеолторфным в данной точке (определения гомеоморфизма и диффеоморфизма см. в п. 41.4 и п. 41.7). Употребляя эту терминологию, можно сказать, что отображение 1, рассматриваемое в теореме 4, в каждой точке, в которой его якобиан не равен нулю, является локально диффеоморфным отображением. Теорема 8 (принцип сохранения области).

Образ п-лгерной области в и-мерном пространсгпве при непрерывно дифференцируемом опгображенгти с якооианом, не обрагцгиогцимся в нуль, является областью. Доказательство. Пусть 6 — область, 6 ~гт'" и у=1(х)— отображение 6 в )7", удовлетворяющее условиям теоремы. Согласно следствию теоремы 4, множество ): (6) открыто, а по лемме 7 п. 41.4 линейно связно. Поэтому, если 6 — область, то при выполнении условий теоремы множество 1(6) также является областью. 11 Упражнение 12. Построить пример непрерывно днфференцнруемого отображения некоторой плоской облвстн, якобван которого нигде не обрвнгается в нуль и которое не взаимно однозначно. 41.9. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЕМ, В КОТОРОМ НАРУША1ОТСЯ УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ Мы уже знаем, что если координаты некоторой точки х1~1= =(Х',Е1, ..., Хл1В1) удОВЛЕтнаряЮт ураВНЕНИЮ Г(х„..., х„) =О (41.78) дг и в этой точке производная — не равна нулю, то при дх; соответствующих условиях, налагаемых на непрерывность самой функции Р и указанной производной, уравнение (41.76) разрешимо в некоторой окрестности точки х<в1 относительно х; и решение является непрерывно дифференцируемой функцией остальных координат.

Естественно, возникает вопрос: а что будет в случае, когда в точке хгв1 частные производные по всем аргументам обращаются в нуль — определяет в этом случае уравнение (41.7б) какие-либо функции или нету Остановимся на этом вопросе, однако ввиду его сложности ограничимся рассмотрением двумерного случая. у Л!. Неявные фвякяяо Итак, будем рассматривать уравнение Р (х, у) = О, (41.77) где функция Р определена и непрерывно дпфференцируема в не.которой окрестности точки (х„ у,), такой, что Р(хо, уо) =О. (41.78) Пусть Ря(хо Уо)=ру(хо, уо)=0. (41.79) Покажем, что и при выполнении этих условий уравнение (41.77) иногда может быть разрешено в окрестности точки (хо, уо) относительно одной из переменных, так что получится непрерывно дифференцируемая функция', однако это можно сделать, вообще говоря, не единственным образом. Таким образом, условие Р1 (хо уо) + Ру (хо уо) чь О (41.80) которое в нашем случае (см.

(41.79)) не выполняется и которое тюзволяет применить теорему 1 о неявных функциях к одному из переменных, естественно назвать условием однозначной разрешимости уравнения (41.77). Определение 12. Точка (хо, у„), координаты которой' удовлетворяет условиям (41.78) и (41.79), называется особой точкой Уравнения (41.77), Особая точка называется изолированной, если существует ее окрестность, в которой сна является единственной особой точкой. Геометрически это означает, что если уравнение (41.77) является неявным представлением какой-либо кривой, то в окрестности особых точек этого уравнения кривая, вообще говоря, не является графиком некоторой гладкой однозначной функции (как это имеет место при выполнении условия (4!.80)); здесь возможны разные особенности, которые мы сейчас и рассмотрим. Введем для краткости записи обозначения Р,(х, уо)=Р,'"„Р „(х, уо) =Р' Р (х уо)=Р)у.

Теорема 9. Пусть функция Р(х, у) определена и дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности изолированной особой точки (хы уо) уравнения (41.77) и пусть Р,'„Руу — Р1у --~ О. Тогда, если (41.81) Р)вруу — Рру ) Оэ пио (х„ у,) является изолированным реиоением уравнения (41.77), и. е. существует окрестность точки (хо, уо) никакая точка ко. 73 4!.Д Особые точки торой, кроме (ха, у,), не удовле1лворяет уравнению (41.77); если лсв (41.82) то уравнение (41.77) разрешимо в некол1орой окрестности точки (х„, у„), на не однозначно: иметотся две различные дифференцтсруечые функции, удовлвтворятощив уравнению (41.77).

Поэт»юму (хе, у,) называется в этом случае двойной точкой. Например, если (41,83) тО СУЩЕСтВУЮт ДВЕ ДИффЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Гт (Х) И )з (Х), определенные в некоторой окрестности точки х„и такие, что в этой окрестности Р(х, )з(х)) =О, Р(х, )з(х)) =О, причем ),(ха)=' = — ),(хе)= — уе, а производные функции гз(х) и Ез(х) в точке х, являются различными корнями уравнения Р,'л+ 2Р,зй+ Р"„айз = Оа 1. (41.84) Р (х, у) = й ьгР."т (х ха) + 2Рта (х — хе) (у — уз) + Ра~э (у — уе)~) + о (»в), (41.85) Положим х — х, = » сов <р, у — у, = Очевидно, (», гр) — полярные координаты точки (х, у), качестве начала полярной системы коордиаат принята уа).

где»= =» чш ср. причем в точка (ха, ю Корни этого уравнения вещественны и различны в сиду условий (41.82) и (41.83). В доказательстве этого утверждения используется не то, что (хч, уз) является изолированной особой точкой, а лишь то, что она яаляев я просто особой точкой, в которой выполняется условие (4!.81). До к а вате л ь ство.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее