kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа)

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ Курс математического Тоут П Допущено Мпннстерствоп высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студептов физико-математических и инженерно. физических специальностей вузов МОСКВА»ВШСШАК ШКО11А» 1оРВ1 ББК 22.16 К 88 УДК 517 (0.75.8) Кудрявцев Л. Д. К88 Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. Мл Высшая школа, 1981, т.

11; — 584 с., нл. В перл 1 р. 80 к. Во втором томе содержитсн ннтегральное н дифференциальное исчисления функции многих переменных. теории днфференцируемых отображений, теория рядов Фурье н преобрааоаанин фурье, элементы функционального анализа и теория обабщенньж функций. Ггрелназначается студентам университетов н физико-математических н инженерно.физических специальностей агузов, а такяге студентом других спецпальжостей для углубленной математической подготовки. 20203 — 121 617.2 К 86 — 81 1702066066 ББК 22.16 © Издательство «Высшап школа»,!981 Настоянная книга является второй частью двухтомного курса математического анализа. В ней изложены вопросы, изучаемые обычно студентами на втором курсе.

Нумерация глав, параграфов н рисунков в этом томе продолжает соответствующую нумерацию первого тома. Глава пятая, с которой начинается этот том, посвящена дифференциальному исчислению функций многих переменных и по су ществу является непосредственным продолжением главы второй первого тома. Дальнейшие главы содержат изложение интегрального исчисления функций многих переменных, теории рядов и интеграла Фурье.

Преобразование Фурье излагается сначала в классическом виде, а затем даются его обобщения для пространства Ц и для обобщенных функций. Заканчивается том неболыним «Дополнением», основная часгь которого касается численных методов для вычисления приближенных значений функций приближенных решений уравнений и приближенных вычислений интегралов.

ГЛАВА ПЯТАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (Продолжение) в 39. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 39.1 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Если функция многих переменных имеет достаточное число непрерывных производных в окрестности некоторой точки, то эгу функцию. в указанной окрестности можно (подобно тому как это было сделано для функций одного переменного) представить в виде суммы некоторого многочлена и остатка, который «мал» в определенном смысле.

Теорема 1. Пусть функция г=)'(х, у) опреде.гена и непрерывна вместе со всеми своими частными нроизводнылги до порядка т включительно (т=1) в б-окргстности точки (х„у,). Тогда для всех Лх и Лу, удовлетворяюгцих условию р = )г Лх»+ Луо б, сущесгпвует такое 8=8(Лх, ЛУ), 0(8(1, что справедлива форидяа Лг=Р( о+Ах У«+АУ) — )( о, Уо)= д, Лх+ д, ЛУ+ ! ( д»г(хо У») Л,»+2 д"1(хо, Во) Л Л + до!(хо Уо) Л»1+ 2! 1 дхо '" дх дд дяо ! г д дг(о! 3! ~ дх+ Удч~ 1( о Уо)+ ° ° ° + ! ' д д((ы — г! + < !)г(Лх д-+ ЛУ -„-1 ) (х„, Уо)+г,(Лх, ЛУ), илгг, короче ы — г + ЛУд ) ~(хо Уо)+ге-г (Лх, ЛУ), (39.1) о=г г г (Лх, ЛУ) = — ! (Лхд + ЛУду) У(хо+ ВЛх, Уо+ВЛУ).

(39.2) Формула (39.1) назъгваегся формулой Тейлора (порядка т — 1) для функции ), функпня г,(Лх, ЛУ) — ее остаточным ч«гном, а его запись в виде (39.2) — остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. аул. Формула Тейлора для фуякяий многия яерамаяяах 8 При л>=1 в (39.1) требует разъяснения смысл первого члена правой части, поскольку в этом случае верхний индекс суммирования равен нулю. В этом случае, по определению, полагается, что этот член равен нулю, т.

е. что формула (39.!) имеет вид Лх =- >'а (Лх, Лд). В дальнейшем всегда, когда встретится выражение, записанное с помощью символа ~', у которого значение верхнего индекса су>лмирования меньше значения нижнего индекса будем также считать, что это выражение равно нулю. Доказательство. Пусть Лх и Лд зафиксированы так, что Р =)ГЛха+ Лд'(Ь, тогда все точки вида (ха+1Лх, д,+)Лд), где 0-=1-=1, лежат на отрезке, соединяющем точки (х„д,) и (х„+Лх, д,+Лд), и поэтому все они принадлежат 6-окрестности точки (х„, д,).

Вследствие этого имеет смысл композиция функций г=) (х, д) и х= — ха+ТЛх д=дю+1Лд 0(1~1 т. е. сложная функция Р(!) =)-(ха+(Лх, да+)Лд), 0«=1 а!. (39.3) Очевидно, что Лг=)(ха+Лх, да+Лд) — ~(ха да)=Р(1) — Е(0). (394) Поскольку функция т имеет в 6-окрестности точки (х„да) ш непрерывных частных производных, то, согласно теореме о производных сложной фушсцнн (см. п. 20.3), функция г" также имеет на отрезке 10, 11 т непрерывных производных и поэтому для нее справедлива формула Тейлора порядка и — 1 с остаточным членом в форме Лагранжа: р(!) р(0) д (0)г+ ()(а+ + ()г '+ 0 < 8 < 1, (39.5) и в рассматриваемой окрестности точки (х„д,) функцию (39.3) можно т раз продифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции (см. замечание 2 в п.

20.4), причем значения получающихся смешанных частных производных не з анис я т от порядка дифференцирования (см. п. 21.1). Выразив производные Р~л> (!) через производные функции т(х, д) и положив в формуле (39.5) 1=1 (см. (39.4)), получим требуемую формулу Тейлора для функции >'(х, д). Действительно, 8 8 ду. Формулы 7'ейлора и ряд Те!глори для функций.акопах иерем. из (39.3) следует, что д( йх дг" йу дх й! ду д! д/(хо+(Лх, Уа+ (ЛУ) д д((ха+(лх, Уа-(-! ЛУ) 1 Отсюда для Г(7), опустив для краткости обозначения аргументов, получим Вообще по индукпии легко установить, что Е<а>(7)=-~Лх — +Ду — 1 1(х,+(Лх, у,+(Дх), (г = 1, 2, ..., пк (39.6) Положив в формулах (39.Б) (=0 при (е=!, 2, ..., и! — 1, будем иметь: р (0) дг (ха Уа) д 1 дг (ха Уа) д р„(0) дд'7(ха Уа) д а ~ 2 да( (хо Уа) д д +да((ха Уа) д а дха ' дх ду ' У ду! и вообще ЕФ!(О) =-(Дху-+Л77 -) ~(ха, Уо), 8=1, 2, ..., ап — 1.

(39,7) Прп 71 = и, заменив 1 на 8(, Е~ы!(80 = — !Д~ — -+Лу ' 7" (к~+8(Дх, у,+8(Д(!7). (398) Подставим теперь (39.7) и (39.8) в (39.5) и положим 7=1; тогда в силу соотношения (39.4) а! — ! Дх=-Р(1) — г (О)= ~~ + а=.! аг — ! —, !Дх —,+ Ду- ) 7(хм уа)+ а= 1 + т! ~~Х д + ДУд ) 7(хо+8 Лх, Уо+8ЛУ), О< 8(1. Д Следствие. В предположениях гпеоргмы 1 справедлива формула Дх=' ~' ь ! !Дхд +Дуд-) ((хо, уо)+г (Лх, Лу), (39,9) и=! Звй. Формула Тейлора для функггай многих нереленных 7 ггричем остаточный член «„(Лх, Лу) может быпго записан в каждом ссз следугои(их видов: (Лх, Лд) =- 'У', о,(Л., Лу) Л.' Лу™, (39.10) » =- о !пп е»(Лх, Лу) =-О, й= О, 1, ..., пг, р= ): Лх'+Луг и-о пла «(Лх, Лу) =- е ( Лх, Лу) о", (39. 11) где 1ггп (Лх, Лу) =-О, т, е.

«(Лх, Лу) --= о (р ). (39.12) Представление остаточного члена форлгулы Тейлора в форме (39.!2) называется его записью в форлге Пеона. Д о к а з а т е л ь ст в о. Положим дЧ( +Ой, уе+Оау! д ((х„уо! дх» дум -» дх» дуни» ' В силу непрерывности всех частных производных порядка пг 1!гп е»(Лх, Лу) =О. р о Преобразуем остаток «г(Лх, Лу) (см. (39.2)), использовав выражение (39.13), следующим образом: С ~ д )(хе+ой., У.+оаг! Л,»Л ., с ум»=о 1УСд")( у)Л Л + гир ~е дх» дум — » У »=о + —, ~~ С»„е»(Лх, Лд)Лх Лу"' »=о = —,(Дх — + Лд — ) )(х„до)+ ~г е»(Лх, Лу) Лх" Лд -", (39.14) »=о где в„(Лх, Лд) = —" е»(Лл, Лу), и потому (пп е„(Лх, Лу) =О. (39.15) р о Подставляя (39.14) .в (39.1), получи»г формулу Тейлора (39.9) с остаточным членом в виде (39.10). 8 й др. Фаряулег Тейлора и ряд Тейлора дляфункцийл1нагиллерея. е! е(Л, Лу)= У е (Л., Лд)('~") (ай) (39.16) Тогда г„(Лх, Лу) = '5; е, (Лх, Лу) Лх" Лу -' = я=е =Р,~ ее(Лх, Лу)( — ) ( — ~) =е(Лх, Лу)р"', е=о и так как ~ — ~ 1 и ~ — ~=1, то из (39.15) следует, что 1'ип е(Лх, Лу) =О.

(1 а е Используя понятие дифференциалов высших порядков, формуле Тейлора можно придать более компактную форму, внешне идентичную формуле Тейлора для функций одного переменного, записанной также с помощью дифференциалов. В самом деле, так как (см. п. 21.2) ее Т(х' У) '(Лхйх+Лдд — ) )(х, У), й= — О, 1, 2, ..., т, д д~м1 то, полагая для краткости М,= — (хе, уе) и М=(х,+Лх, д„+ Лд), формулу (39.9) можно зацисать в виде Лх — ~е и-, е(е) (Ме) + г (М), (39.17) Эта форма записи формулы Тейлора наиболее просза и потому удобна для запоминания.

Сделаем несколько замечаний к доказательствам теоремы 1 и ее сл: дствия. Прежде всего в условиях этой теоремы было лотребовано, чтобы функция ) имела нспрерывные производные до порядка т включительно в некоторой б-окрестности точки (х„у,). Можно было бы потребовать непрерывность в указанной окрестности только производных порядка т, поскольку из их непрерывности вытекает и непрерывность в этой окрестности всех младших производных данной функции, т. е. производных порядков А=О, 1,, т — 1 (см. п. 20.2).

Подчеркнем, что непрерывность частных производных в 6-окрестности точки (хе, у,) была использована, во-первых, для того чтобы встречающиеся частные производные ие зависели от порядка дифференцирования (это было использовано как при доказатель- Покажем, что остаточный член (39.10) можно записать в виде (39.11). Для этого положим УУ.1, Формула Тейлора для функций многих переменных Я стае формулы Тейлора (39.1), так и в самой форме записи этой формулы), и, во-вторых, для того, чтобы функцию (39.3) можно было т раз дифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции.