kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 5

с'= г 24 й 40. Экстремумы функций многих переменных Пусть теперь квадратичная форма (40.2) является неопределенной; это означает, что существуют две такие точки е(х' = = (бх(, ..., Их'„) и дхл=(с(х1", ..., с(х„"), что А(с(хы ..., дх„'))0„ а А(с(х",, ..., с(х„') (О. Мы не можем х л, на основании этого сразу сказать, что приращение функции ЬГ меняет знак в любой окрестности точки х"', так как точки х'"+ бх' = (х1" + с(хь ...,х'„"' + Йх„') и хпв + йхл = (х)" + и + Йхп ..., х!и+с(х„') могут, вообще говоря, даже и не принадл:жать области определения функции Г.

Однако, нужиьщ нам результат будет следор вать нз того, что квадратичная фор- ма А (пх) сохраняет один и тот же Р ис. 149 знак или равенство нулю на каждой прямой, проходящей через точку х'~, из которой удалена сама эта точка, а значение А ~ — ), Их=еО, Ях~ вообще не зависит от выбора точки на этой прямой.

Рассмотрим точку йх'=(с(хь ..., с(х,'.). Проведем полупрямую, начинающуюся в точке хпл и проходящую через точку хин+ с1х'. Для любой точки х=(х„..., х„) этой полупрямой положим л пх;=хе — хс", 1=1, 2, ..., и, и р= ~/ Я" дх,-'. Тогда (рис. 140) ~=1 Их~ Р - -- = сов аь 1=- 1, 2...,, и, (40.6) где совсс; суть направляющие косинусгя рассматриваемой полу- прямой. Поэтому точка (,;)= — — л)= (сова„..., сова„ ), ухе йхл1 (40.6) ЛЕжащая, ОЧЕВИДНО, На ЕдННИЧИОй СфЕрЕ л1 Я С цЕНтрОМ ХПП, будет одной и той же для' всех точек х этой полупрямой, т. е.

точка (40.6) не зависит от расстояния р между х и х1". Следовательно и значение квадратичной формы (40.2) в точке 1«хе (40.6), т. е. А( — '* " --"-), не зависит от р. Отсюда для любой (р* точки (40.6) имеем (йхе йхл~ ПУсть А( — .~ — ")=1х')О. ВыбеРем Ра)0 так, чтобы пРи р с р, имело место неравенство 2 ~ е (йх) ~ ~ р', что возможно Напомним, чго для направляющих косинусов справедливо равспссво сопя а1+... +сове ал =- ).

.>Олк доствточив>е условия от!гогого гкстреяума 25 а,д адз ада~ а>, а,з адз ) 0> ..., а„азз азз а„ам ... а,„ а„а„... агк а„ат О. а„ а„, ... а„в Замечая, что квадратичная форма А (х) отрицательно определева тогда и только тогда, когда квадратичная форма — А (х) =- ( — аа) хднф~ положительно определена, получаем, пользуясь т, д=! известными свойствами определителя, следующий критерий отрицательной определенности. Для того чтобы квадратичная форма (40.7) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чпюбы а„а„а з )ап адз ам(0, 1 -»О, ам а,з а, азд азз азд азз азз (О, ..., ам а„...

а,„ азд азз ... атп ( 1)я )О. ая, а„з ... ася в силу (40.3). Тогда для любой точки х!з>+ йх, лежащей на полу- пРЯмой(405) итакой, что0(Р=1/ 'д" йхт(Р,, в фоРмУле (40 4) выражение в квадратных скобках будет иметь знак первого члена, и поэтолду Ь~)0. Итак, в любой окрестности точки х!'! им!!отса точки, для которых Ь| -»О. Аналогично, исходя из отрицательного значения квадратичной формы (40.2) в точке (йхт), доказывается, что в любой окрестности точки х(з! существуют точки, для которых Лд(0. Л это и означает, что в рассматриваемом случае х'" ие является точкой экстремума. ( ) При практическом применении этой теоремы возникает вопрос: как установить, будет ли квадратичная форма (40.2) положительно илн отрицательно определенной.

Для этой ц ли может служить, например, так называемый к р и т е р и й С и л ь в е с т р а положительной определенности квадратичной формы, доказываемый в курсах алгебры. Он состоит в следующем, Длл того чтобы квадратичная форма л А(х)=А(х„..„х„)= '~ пах!ха, (40.7) >, д=.! у которой ай=а;ь д, /=1, 2, ..., и, была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы 26 Э 40.

Энстрелеуии функция многих перел.енних Сформулируем теперь теорему 2 для случая двух переменных, выразив условия, накладываемые на квадратичную форму (40.2), в явном виде через вторые частные производные. Теорема 3. Пусть функция )'(х, у) определена и илсеепг непрерывные частные производные второго порядка в некспюрпй окрестнотпи пгочки (хе, уе), которая является стационарной дгя )(х, у), пь е. в ней [к=[э=О (40.8) Тогда если в (л„у„) ). [ээ [ту ~ О (40.9) тв она является точкои строгого экстремума, а илсенно сгпрогвго максимума, если в ней Р'„н(Оч>, и строгого минимуяп, если 7.-.) О. Если же в пючке (ле уе) Гелаев — 1хэ(0 «0.10) пю экспгрелгума в ней нет, Наконец, когда тнтгэе гйтэ=О (40.11) Все частные производные здесь и ниже взяты в точке (хе, у,). Мы непосредственно видим, что при выполнении условия (40.9) выражение в квадратных скобках в формуле (40.12) положительно прн дхт+йут~О, т.

е. А(дх, с(у) является определенной квадратичной формой, а именно положительно определенной при [нн)0 и отрицательно определенной при [,.н(0. Это, конечно, следует и из вышеприведенного критерия Сильвестра. В первом случае, согласно теореме 2, (хе, уе) является точкой строгого минимума, а во втором — точкой строгого максимума.

Если же выполнено условие (40.10), то при Ау=О, йх~О, из (40.12) имее:л з)дп А (йх, 0) = з)йп~„„, а при йл'=[ ~, ду= — )"„„получикг з)йп А.(~тэ, — )'.н)= — з)дп[„.„, откУда следУет, что квадРатичнаЯ "' Очсвнлпо, Яз УслсвЯЯ (40.0) слеДУет, что );н -~0 в точке (хт, Уе). в пючке (х,, ув), то литжет случиться, что экспгремум в ней есть, и лгогкет случиться, что экстпремулса нет.

Действительно, если [„,~0 в точке (х„у,), то квадратичную форму (40.2) в нашем случае можно записать в виде А (йх, йу) =7„.нс(хе+2[„эйхйу+1гэйут= = — — [([,.„. дх+ ~н йу)т+ (~„[э, — [,'-'э) йЩ (40.12) убхк Заленанан об эксгрехулах на лномессвах форма А(с(х, е(у) при выполнении условия (40.10) является неопределенной.

Итак, полностью разобран случай Укн Ф О и Р~,,)ю — П„Ф О. Случай (н =0 1 ~0 и ~. 1 — (.'к ФО исследуется аналогично. ЕСЛИ жЕ Гак=Ген=О, НО ПО-ПРЕЖНЕМУ (кара, — ),'а~О, тО, ОЧЕ- видно, г„чь О, следовательно, в этом случае выполняется условие (40.10) и А (дх, е(у) =2)нее(хс(у. Отсюда сразу видно, что квадратичная форма А(с(х, е(у) йри сделанных предположениях является неопределенной, ибо яйп А (с(х, е(д) =- — з|дп А (с(х, — с(у).

Поэтому достаточно взять сначала е(х и с)у одного знака, а затем разных знаков, чтобы получить значения квадратичной формы разных знаков, По теореме 2 (х„у,) не является в этом случае точкой экстремума. Наконец, случай ),,— -~е =гав=О несовместим спредположением Г )вв — Г,', эьО.

Таким образом, ражюраны все возможные слУчаи пРи выполнении неРавенства )ккОае — 1)вчьО. Для завершения доказательства теоремы нам достатонно показать на примерах, что, когда имеет мгсто соотношение (40.11), экстремум может быть, а может и не быть. У функции г=х'+2хр+у' точка (О, 0) является стационарной, н в ней г„к=гав=-г„„=2, и, значит, выполняется условие (40.11). Замечая, что вг=(х+у)', видим, что всюду г ==-О, причем г=О на прямой х+у=-0; поэтому точка (О, 0) является точкой экстремума, правда, нестрогого.

Для функции г=хуа точка (О, 0) также является стаццонарной, и в ней г„=-г„у=г „=О, поэтому условие (40.1!) также выполняется. Однако в силу того, что в формулу, задающую эту функцию, переменные х и у входят в нечетных степенях, функция меняет знак в любой окрестности нуля, значит, (О, 0) не является точкой экстремума. й 40.3. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ЭКСТРЕМУМАХ НА МНОЖЕСТВАХ Пусть функция ) дифференцируема на открытом ограниченном множестве б и непрерывна на его замыкании 6. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции г на множестве 6 (они существуют по теореме 3 п.

19.5). Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции )' в б, вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно, это возможно (а теоретически возможно это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наиболыпее и наименьшее значения из всех значений в ста- .б 4й Неявнь~а гррггкции цпонарных точках. Г!осле этого следует сравнить эти значения со значещ|ями, которые функция пршпп|ает на границе открытого множества 6, например, найдя, сслп это удается сделать, наибольшее и наименьшее значения функции Г на границе области 6. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольн им и наименьшим значениями на границе множества 6, мы ьгожгм, очевидно, найти искомый максимум и минимум ( на 6.