Б.Б. Буховцев, С.С. Чесноков - Методика решения задач по механике, страница 11

ь/ . Простейший способ аппроысшззции соотоит в эаиене подинтег- РаЛЬНОВ фУНКППИ Х ЕЕ ЗпаЧЕНИЕЫ В тСЧКЕ Шз > М» . В РЕЗУЛЬПШПШ получаем азгориты, называвшей ЫетсдОы Эйлера (9.10) )лл,„м-+ а(ч, .) а .. четная схема (9.10) весьма проста и экономична. Однако надо ть в вязу, что она ые нсегда устойчнпа по отношению ы ывлны Швшбкаы, допушеныыы на какою-либо ваге вычислений. Исследования взывают, что иетсд Эйлера устойчив, если В~ 4 О лд-С Ьгз з (ЭМ~ЗФ ( (9.11) пРотивном случае сшибки вычислений на отдельных шагах быстро шквплизшстся и могут сильно исыазить рззювие, сделав его неврнгсднны лля практическех делей.

поскольку в выдачах ыеханя- ДШ трзбозазие 'аЕ/Вчз ВО зыполняетса далеко не всегда. д)ввод Эйлера применения здесь не находит. В настоиюе время одним иа наиболее употребительных ва пракчшкэ ыетодов является метод Рунге-кутта. по сути дача он предч.ашияет собой модшрикацию ыетсда эйзюра, в которой уточняется шцпроксиызция интеграла 3 "" й(ш,г) з(ш . О этой цельш на 'с Пвццаы шаге вычисляются четыре числа )(,'"'в в'р В((л„, и„), )(злзз дг 2 (м„р Нзс"'/г, ч.„т аг/а), г )сввмл аш й (ъ„р )от~/г, й „р аг/г), ПаслеДоввтельвые значения чз„, искомой фУнкпии оппелелзвтса вс фОРС7ле 'Цл 7 л ьслР *ел арф 7 (9.12) где 8 (7 Н (лз 2 ), тл) 2 Н ~ч р (, '"' ) (9.19) 99(активная оценка устойчивости ьмтола Рунге-Кутта звтруднвтельна.

Псзтаыу для опрелелення празвжвости выбора вага д"с прыченязш ыа кидом агапе ив двух иегов двойной пересчет: с выбранные и удвоенным зшгемя. Воли расхокдение полученных ршпенвй не превывмет заданной погршззсств. то оставляют ннбранный ввгз в пптцшном случае швг уменьшают вдвое. Матад Рунге-В;7тта очень просто обобщается на случай системы уравнений. Например, для двух уравнений с"7 ~(и,Е,Х) срг вычисления ведутся по барахлам (с, = м-й (Б„)с ~'~ гт„~,'"'// п„~'Р/~) )М, МДГ~(гз„+)Сз~ /г, 77„Р Мр~/г,'П„РДГ/2), дм„Щ +2(св +2(св + (сд ) д))л 6 ~п(~ +2мз р2кзв чрид")/ ай ч 7 и,ми„-ьйз„, гт, 77„Р7Х)У„ Прмыеры численного вналива ~м)ййпд 9 1 Разшта ведет вресладованне цели так, что ее скорость 8)гкмьзнй момент времени направлена на цель, причем колуль сколоти ракеты Н является гостояннмц Пель двзкется ла парабо))с как тело, бршзенное с начальной снорастью Нр под углом с( '.и горизонту.

песта запуска ракеты находится посередине ьшвду „))свальной и хонечной тачхвми движения цели. Провести расчет нес- - шййе)каких тгаеитоугй Ракеты, отличающихса Разнвми моментами ее „ /' удела)ока по отношению к ьшстонахожденню цели. Выбрать траекторию с ..С .Слх)ммвлъной кривизной, Двигаясь по которой ракета Успеет поРавить по условию задачи дзштение ракеты и цели происходит в одной ,'Ь',"т)лаанссти, перпендикУляРной повеРхнссти Земли. Совыестим с втой *"~й) Ыюакостью координатную слоскссть ХОу, начало воординат по°,'~';:$)стим в стартовую точку пели.

сбозначим через х, у коорди',';"Бч)дтш ракеты, через х„, у — координаты цели. Начало отсчета ,ъ;" )фезшни выберем в зюыевт пуска цели, ыозшнт запуска ракеты обоз'. ';.'.,Марвин через йй. ;:;,;-ж С В соответствии со стратегией п(шаледоаания )77 . РГ касательнаы к траенторшн рвхеты в квкднй 1 ч ьюзшнт проходит через точку ш (местанахсздение цели) (рис.

9.1). Следовательно, 8( У„-У Х Рис. 9 1 бм бт -х' ыли ~ У -У (9 14) ",;ййгслользовевшись соствошекзем сючруе ш Н, выразим из „,",(ь:::,)(9;Рл) коьшонентн скорости ракетк Н(х, -х) (9.15) ч'Ы,:*)г-' ы,-.ш зх. чгь-л (х,-зс) ° ()7 у)з 87 (9.18) ж (е) = Ч,ф сои о( ~ .'ту,, ' Р=г ,'с'Р29, э((чя)= ~~, тгкЧ/(Ч.с 9 () Система уравнений (9 2Ч, )-э 5(ьс( с.ояс( агом Ь'Г = С.01. Зде чтобы его изменение вдв ния в конечной точке не ния паране гроз задачи (9.18) ;)эЗО';Ъ;С,р; ение кривизны траек ннэм кь=(Ц( — радиус кривизны искал длины дуги траект ксэмировазись разнос дкфферендиро нанна: Р% ь25 ,( а (сб)х 4 з--2 + и з Вачаэьныа условия для Пеиеты измам ивд СС(тн) э Пге Ь У(Е ) Ч„ где сс,, )( — коорлинаты точки запуска ранетн.

Лвииение дели эо условии задачи списывается ссохноиекнэзм ч (е) - Ч ц е;мс( У, (9.17) 1 2 В качестве масштабов данны и времени выберем дальность полета али и время полета цели от начальной до конечной точки т- — ' ' 2Ч, (9.чр) Введем беэраамернне ноордннатн и нремя по формулам Ъ ~) 1 > 1 = З) м — 2'з †. (9.20) Уэ лс 1 (.1 ч ( 3 т' В этих переменных соотназения (9.17), описыващне движение цели врмьзамют вид 2„° с, ),..(~~ ('П-ра3. Переход к беэразмерннм переменнзм в системе (9Д5) дает ~ Д Ч(ит-Т) ~('~ ) $э " "Н т за.

б ЧИ„-з() тз у(, тт ~зЗг т З% ). ! ~ф хде ч =29/Г, и„.- эс.4., ).ву./(.. подставл в ~Ч~ -'", (9.22) координаты Цвли Как явные фуяюви времеВи (9.21), окончафу) . тельно получаем с( $ Чу(2-К) (9.28) ' 'Р! тг'с, 28г ) =)и С(' ). - р + Р(,"ь- )-т() - безразмерная скорость Ракеты. 23] интегрировалась методом Руиье-Кучма сь н далее ваг подбнраэся таким обраое вызывало относительное измэыение более, чем на (з = 1С' 8. Конкретные выбраны следупыимит ч- м О,вз ф,4) 0,5) 0>Ь) О,З) Озф. торин К проводилось н соответствии = К~~'-~;,.)'1'," '- тРаезтоРнн, Иф з($~Ф с(~)т - диффеоРии.

Производные ги/э(ве з(т~й Фа тнэми операторами по формулам численно- 4 2„т -2 фь»- $„е„(9.~) [Ъ...-%.,)'+ ~6)„„- )„„)* ' где и . э) - значения координат в момент 'с» м ай'. Крививна траекторни ори заданной скоркти раиям дает ее цешцюстреэмтельное ускорение в данной точке: шэ ( = — =кю'. » В закачал преследования выгодно выбирать траектории с наныеньыей кривизной, так как п(м этом равета испытывает минимальные перегрувкк и снижается расход топлива.

Результаты расчетов приведены на рис. 9.2, где иэсбрээаны траашгсрня цели и тРаектоРии ракеты, соответствумэне рваным мо- ек ам эацуска: 7 — 'Шш = 9 3; 2 — 'Шж= 9.4; 3 - 'р = 9.9; 4 — Цш= 9.3; б - Ца = 9.7. ЗРИ Цэ = 9.3 РаКЕта НЕ Уолснаат поразить цель в ноздухе. Заниоимости крнвивпы траентоРэй Ракеты от времени при тех же моментах звпусжв призеденн на ршс. 9.3 Видно, что наммньшвя кривизна траектории постигается при 'Шэ = = 0.7, однако запуск ракеты в атель позднее время сопряжен с рпгжсм, ибо ракета поражает пель уже вблизи понерхности Зевки.

э/я сч аа аэ ся ев э.э ат ээ ээ ае оя са с.з Рис. 9.2 Рис. 9.3 Зщргэв 9э2. Фрннцианыый мэятнвк (маэзмик Фруда] состоит аз Физического маятника, жестко скрепленного с муфтой, насаженной нв в(мэшшшнйся мл (рно 9.4). доли угловая скорость врэценил вала Я такова, что она в любой момент Презссхцягг угловую скорость маятника, то девствуюпиж момент сил трения имеет постоянное направление. Рнс.

9.4 )Ъ одном полупериоде, когда мэяэмэк и ф ям~4 Уравнение врашательного данке Кэ~~у = »,~14( Ит .;" "'„;:,'фде Мчу - ысэент силы трения. Нап .;.~;:",,'ш«р угла ~у выберем соэщдаюкэм с на !г'; ',Кэя определеыня ваянчжны момевта свлы '"«;:; йеторой растянут стеркень, псонсльку ;.«.„!'яэгрузку на курту и вал. Имеем э»Ц = 'У- ся откуда Га «)э«',Фтнсситазьная скорость трушвхся лавер ч. - ®-Ф). ,'~:-...)Йри построевнв матеыатической мэдели '~;;:-(эртьоя случаем, когда угловая скорое 4 йятр э (9.29) разлепив пслскэтельнсто отсче- прэвлением врашания вача. тренин найдем силу 'Т, о эта сила совдает радиальную (9.27) э,~я хностэй мургы и вала равна (9.29] системы ве будем ограничить вела Я все время преТогда скорость )Г будет, нт силы трения выразится глк ср эшш ает угловую скорость мэятника ~ .

обце говоря, знмюпереыенной и моне пшэ )~ тн 7( О, "Ри Эустэ "- О /чгЧ'эь~» ч/ )» ~ 1 ь'» ~(э м $' (9.27) . (9.23) вти осознавания можно переписать в виде «(жшл двикутся в разные сторсэм, момент сиэ трання будет торыоавть эр)ксэение, а на другом. когда маятник и пал движутся в одну сто;фэну - ускорять.

Пронести расчет колебаний маятника Фруда прн (СлеДУюшнх прэлпслоиенвяхз мавтвик преяставляет собой венессшый дмстпэй стержень длины 4 с насаженной на свободном конце точеч'фсй массой»ч; масса муфты нренебрачвэа» мала; рэдэус вала э дсмКичиент )ч, связывавший момент силы трения с радиальной с»агрузжой на мурзу, не зависит от относительной скорости трукюх„шя воверхностей вала и курты. ] аю-зм(~сап«('41Ч ) — ~- пуы (('ФЯ Ю -Ф( (9.29) )й е ю,~~ы(м~(~ при (Й "Йб Ч)(В)= сР «~з(О)= Ч) (9. ЭО) Введем безразмерное время 'С по формуле (9.31) где (Ое = )ЯЯ вЂ” собственная частота маты«зтического вмятинка.

Проводя соответствующее . П соответствующее замену в (9.26), (9.29) и нзодя переменную ф = е(«(сус(.с, получаем окончатель«ю с( «(' Рс' -ы(м«у+ ~й~слбй'4-фе) прм фу'47 («с-)1( 0 Прм ф 4). Начальные уел<мил дзя переменных «() п ф имют вид (9. 32) Ч'(о)-ц)., ф(о) ф, (9. 33) В (9.32), (9.33) приьюнены слехующие обозначения~ ~)= /м — з (Оз )с з Ч> «сб Я у" е сбе (9.Э4) систмьч (9.26), (9.29) полностью опылзвзлт движение йрикпконного маятника при лсбых начальных условных С истазю уравнений (9.32) интегрировалась методом Рунге- Нуттв с юнгом дк= Взз /1СО = О,С628 ( в безразыернвх перез '!, ценных период колебаний свсбспного математического ызатвнка ра;, вен 2ю 6,28). Лзл пераметра (ж, определяющего связь меж~ «,якююьтом силы тренка и рахкальнсй нагрузкой на му$ту, выбрано 9 - юн че е В О.б.

В качестве тестоной рассмотрена захача о движениях маятника ' юри О> = О ( вав неподвижен). На рис. 9.5 приведены расчет'-(дне зависимости угла отклонения мзатника «Р от в)юз«ени ."« {ри . алелузюмх начальных условиях: ф)с=О, ере = 1 - криван 1; - «Рс- — 1.5 - иРиваа 2; «Ре= 2 - кРиваЯ 3; «Р =- 2.5 — куивзн 4. Вцкно, что при выбранном значении параметра трение достаточно велика дкя того, чтсбзы движение маятника носило апериоди: ~~а ческий характер лля всех пачыьнах )тловий.

':;-е-' Отклонения стмпюнарных положений ыкчтяк.- ка от вертикали («Р ( -з Сомзйп)()у« объясняются сюокстыеми сухого трения. Расчеты колебаний маятника для случая "~~+с врызающегс вела проиллюстрированы на рис. 9,6„9.7, где представлены зависимости «Р «Р('Ю при разных типах началь- ньх условий. На рнс. 9.6 изобржкено позе* ев Х' ление первоначально гокоящегося маятника ( (л = б ), выводкьюго из вертикального (:;,~::;,««Рис. 9.5 полсмения ( 'Ре= О ) моментом силы тре,ж~«у(аия. Кривая 1 соответствует О) = О,2, кривая 2 — «О= 0.5, ::,~;:-"прквая Э вЂ” сс = 1.