Б.Б. Буховцев, С.С. Чесноков - Методика решения задач по механике

УДК 530.1 С ОД ЕРЖАНИЕ Печатается по постановлении Редакционно-издательсиого совета Московского университета © Издательство Московсхогс университета 1989 г. ОТ7(02)-89 — заказное 12ВЫ 5-211-01235-6 Буховцев Б.Б., Чесноков С.С. Методика решения задач по механике. — М.: Изд-ео МГУ, 1989. — 112 с. 15ВИ 5-211-01235-6. Пособие составлено в соответствии с прсграимой раздела "Классическая механика" курса бнзики по специальности "Прикладная математика". Рассмотрены задачи по кинематике и динамике материель ной точии и системы точек, первым интегралам уравнений движения, неинерциэльным систеиам отсчета, основам спалитической механики, малым колебаниям, численному анализу.

Задачи тщательно отобраны с целью обеспечения минимума сведений и навыков, которые необходимо приобрести студентам при самостоятельном изучении механики. Всего в пособие включено 90 задач различной слшэности, половина из них снабмена подробными решениями. Для студентов Еаиультета вычислительной математики и кибернетики. Рецензенты: канд. бмэ.-мат. наук В.А.Выслаух, канд. физ.-мат. наук А.Е.Ордансвич ' "редиславие........... 4 Й. Кинематика материальной тсчки .......... 5 Ф2. Данника матераьхьной точки, Законы Ньютона ... 12 эЗ. Законы сохранении импульса и энергии.......

20 94. Закон сохранения момента импульса. Вращение тела вокруг неподвижной сон ...... ° . ° .. 29 э5. Двикение в неинерцивльных системах отсчета °... 86 56. Плоское движение твердого тела.......... 44 ру. динамика систем со связями. уравнения Лагранжа .. 53 $8. Малые колебания ................. 65 59, Численный анализ в задачах механики '....... 82 рекомендуемая литература ................ИО Ф1.

Кинематика матщиальнса точки ПРЕДИСЛОВИЕ Уэс. 1.1ьа — в Пособие явлются обобленкем многолетнего опыта преподавания фнвнкн на фанультете вычислительной математики и кибернетики МГУ Она охватывает все разделы семинарских занятий по курсу "Классическая механика", читаемому в соответствии с прсгрюаюми дисциплин длн специальности "Прикладная математика". В нвстонцее врем ~ стабильных учебников н задачников по физике для етой специальна~ ти в неэюй страна не существует.

Поэтому предэагевмое пособие позволит частично восполнить этот пробел. В начале ниякого парагра)ю сообщаются краткие тес)ютмческие сведения по рассматриваемой теме. Затем приводятся рюленян и пот родный анализ чвтырех-нести типовых задач, достаточно полно раскрывающих тему. В конце парагрю(юв даются вадя ль для самостаятег ного реиения. В пособии рассмотрены кннеьатика и динемииа мате(цельной точми и системы точен.

динамика твердого тела, основы аналитическо) механики, малые колебания. Сюда не включены вопросы механики сплавных сред„траэицнонно нэучапщейся на ВМК МГУ «ак свмсстоятельная дисциплина е рампах раздела "Допсляытельные главы физик~ Дхя про(ессионвльной практики будуьнх специалистов-математик~ весьма полезно получение наеыкоэ построении и вналива математических моделей исследуемых явлений.

Поэтоиу в пособие включен $9, посвященный применению численных методов в задачах механики П длагаемый в нем ьютернал мскет быть использован в качестве ре иллюстраций прн анализе задач по всем разделам пособия. Краткие теоретические сведения залатай кинеизтиии является списаиие давления тел. Для опи-. оания дзииения необходиью выбрать какое либо тело, слулащез систеьюй отсчета, относительно которого задников полонения других мл. С этим телом связывают саотюьу координат и устанавливают способ определения полонения иатериэльной точки и способ отсчета момента времени, в историй точна занимает то или иное поло- .: ианЮ. Трв числа, ведающие пололеняе точка в выбранной охотске кссрднэат, называются ее координатэыи. рвссиотрэм наиболее употребительные системы координат. : проявили х у,н радиус-вектора г точдн Р на три извиняю пе(ьжндвкуляриые оси СХ, Оу, ОХ (рис.

Х,уа) . ° расстояние ю от точки Р , '- до полюса О и полярыый )тол у (рьа. 1.1Р). полярные координаты р у проекции точки Р на плоскость ХОУ и проекция радиус-лектора г точки Р ыа ось ОХ (рис. 1.ди). Щмлихйца~ ллй(ммййемь глина г радиус-вектора г точки Р долгота ~ и нирота (г (рис. 1.)г), Рис 1.1,г чу.=Ч вЂ”, му = —, уа Ч'=/Р -ул.

, 'у 11.1) П.З) Неречислим основные кияематнческие караытеристикнц + ОГ= à — Г ь (оса-всч)+~ (Ут-У ) + )ч (йя-Яч)= =(дссм у Ьу+ МАМ тде от ), )с — едяничиые векторы в направлении осей ОХ, Оу, ОХ соответственно 1рис. 1.1,д) «Ь — н Г (Йт УУ+ые, ь ат де ат о „й ямани скорость ьштериальнсй точки Ч лена по касательной к траектории.

дч,Д7,) и;. ь| И с(лц Г Ьпо (у )тЙ. З Раде ВВДач Удобно испольвонать представление ускорения : н ниле -ъ -ь 'чу цт„+ чк„~му + и ьч'„, тде .ь - ш)внятный вектор по касательной к траектории в дан-' ной точке. ць - единачный иектор по вормаци к траектории. Зв.— СатЕЛЬНВЯ ЧУш И НОРМапвиав и/н, СсотаВЛВЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ Вычлсцявтоя пс йсрыулвм Здесь Р " рацнус ирнвнвны траеитор в Задачи с решениями :, вйййхй ь.) МатериалЬнвя точка перемецметса по некоторой траектории в плоскости хсу. звланы ее шлярные коорцинаты рЮ и цГЮ ивл функпии времени.

Найти модуль скорости точки иак Функпип ' времени. Модуль скорости, апрацеляемый черве декартовы коорди- наты частицы, равен Нснольвуем Сняев МЕКЦУ ПОЛЯРНЫМИ КООР- динатвми и декартовьмиц ж-)' 81-Р'~й('~ у р йм»~> + )о»~»ой»)'. ч-,/р-+ э' т* х~+у' р~+ р'»П х Рнс 1.8 (1.4) Х - а, )) м б ~. Рис. 1.4 Окончательно П дтоге тюлучаем (1.9) (1.8) Ноаэсдя ати ныражения н квадрат и скледызая, нахопны Пйййлй А 2 е ° Частица движется н плоскости ХОУ со сноростьв У Ьа»-А О.о, Гдс а И еш — ПОотОяыенс. П ИаЧЕЛЬНЫй МОМЕНТ Фя О ЧаотИца Иахолилась а точке ж= о, у= о. Найти траемтормв частмлт у у(~) Рйййййй По услснмэ задачи йнтэгрируем зти соотнапения: ас(э ~е )"а~('( аг+ ('» ° Иум м(ах+С»)э Уе,)ПМ+(э») йм(У6~ +С»х+СЛ Константы 4» н щ'и находим иэ начальных услоний: пс(о)-(;„-о, у(о)= С, -О. Пт И)= аль у И) = » аоэ с г 2 Нскщсчаем из этих соотношений ареьщ $1 Ф вЂ”, Ум — П Х 6 а а Траекторией частицы является парабола.

'У Д„Колесо РадиУса И канлсЯ беа скольиенаа по гоРи- мнэдьной дороге (рис, 1.3). Найти координаты м,у некоторой тэй~~нроввввой точки А на ободе колеса, энраэнэ НХ ЧеРез угол Нортла Кодаоа ((т . Прн (П'е О ПОЛСМЕННЕ ТОЧКИ А ОП)млада' „„'я дсорхзнатаьа а. О, у О У р)йэййкй. Панасяне точки А удобно рассматривать кач результат слоиаидй.лнух дэмтеннй» крашения колеса иокруг неподнижэой оси и у поступательного паремэщеытя казаса, При понороте колеса на угол ((т нокруг недо)сьэжной оси координаты а Ы точки А нмевт анд )( и I У Ос =- (тй(щ(); х (1.7) у — (б (» — саэ'»)).

Ось колеса, понерзуншегсся на угол»/', перемещается на р»встоннна )(Ч> . Прн поступательном перемещении колеса на это рассчбмлие координаты точки А нзменатся на следуюдиэ нелнчнны: л л (1.8) ~ = )~9', У =(). ~(")е Пц ' ~'- РГ(~-8'М(Д ЫУ'(1) у'+ у э )г ('(- щэ6»т) Тачка А на ободе колеса движется ыо к)мной, наэьнаэмой пнклоидой (рнс. 1.5). У 22 (1.12) З П.1З) к ус — + — 1 +Дгй + (И,-()=(-- ( эллипс) .

(1.13) св 322~а 1.4, В механике часто вотречаютоя олучзи, когда перемещение материэльной ~очки не являетоя овобод!есм, а агрзничено поорез отвом поверхноотвй различных тел, отзркней, нитей н т.п. В этом случае говорят, что не перемещение ьитериельной точки изложены связи. Ззпиеать урввнениз оняэи, неклздыввемой не перемещения, оыорооти и ускорения тел, изабрзженных на рве. 1.6. Рзоомотреть только вертикельные перемещения грузиков и блоков; считать, что нить нереотяжзьа и при двииении оиотенм всегда натяну!в.

Ренениз. Записываем иыралмние для полной длины нити ( кек оунму длин отдеяьных отрезков ! щз (осс-зсз)+пгч+ (х -С-що)+ зсс После упрощений походим =сс+2х„м С, х Рио. 1А С (.-3(ГсеГс)+2хз+2(. ДиЗферзнцировзняе пооледнего ооотнонения дает )), + 2Ук О „Р!з+ 2ьнй О. (1 11) Задание для оамоотоятельной работь Зййечча 1,б, Найти ьквцаь ускорения материзльной точки, если ее двиавниз в плоокооти Х(Р ввдвно полярными хоорцинатзыи р(4), фй) (продолжение задачи 1.1). 22йййй.1 З ННзйти проекыии Ч,=Х ~уеУ окороо*и У точянчр нв ободе квыщегооя по горизонтасьной дороге колеое, вырезки кх через )тол поворота колеса (() и окорооть его центре 7~ (Прззлэлиеыне ЭВДЗЧИ 1. Э).

яйййдь 'Ч„е Р. ((-соб Р)! ~~ -Ч. Ъ( сР ч ч,ттрн- т! зт,е т. 2' Зэ(ВЗЯ л 7- Зенон лвижения нвтернасьной точки в декартовых коорднввтвх имеет вид х сс оойоЛ )(» змв(ноэле 2 () где сс! в оь - положительные конотанты. найти уравнение трзек- терик чвотмэс, келии!пьт и направление уокоренил. 22))ййс„уравнение тряеьгории 2ой зрение 2 Ф )р =-! ! Г. Нй)ййй„ь„Д Радиус-вектор метериасьной точки изменяетоя оо вреьщйем по зекону Г с!~ ~4- ~Ц 3 гдн сс — поотощйрый вектор, а( — палочэтельнзя конотэнтв.

Найт!К1) окарооть н (ч) и ускорение Эз'Ю точки а ззвиозмооти от времени! 2) время и, через которое точка вернетоя в исходноз положение, и путь ф, пройденный телом. ~ййрЭР С ф Частица дэкеется в плоскости ХСу по аакону т Оц ~ СГС (( — ОС'ПХ где а, с( — полаклтасшвые КОНСтантЫ. Найтп.1) Фауну траектории частицы у = у(х); 2) скорость ч (Я) и ускорение ЫСС (чА и зависни>сти от Времени; Э) время тс, через которое угол неКзу скороСтЬЮ Ч и ускорением Ц( будет составлять ОС/4.