Б.Б. Буховцев, С.С. Чесноков - Методика решения задач по механике, страница 12

Видно. что незатухающие колебания (автожле- ",~'„";))Зння) иаятннка суцествувю нан в клесс«п«зоном случае, когда «Иц))юла трения убывает при воз)потанин относительной скорости .~~",~рущехся понерхностей (см. ь1 ), С. 455), так н в рассыстрен« "'Ной здесь модели, когда сыта треюя завысит тсвько от знака око:(мсти, но с ростом скорости не ьюняется. Вцзиыо, для всзнкгловеВия автсколебаний достаточной лвляется зависимость радиальной : -ф„-:;)мгрузки на муфту от квадрата угловой скорости «митнике (9.27) .

рпс. 9.7 нлмсстрирует случай, когда маятнику, находящемуся в верФйкельнсм полоклнжи ( ч, = О ) сообщается начальная угловая Ржсп«ютв. Рзвпаа УГЛОВОВ СНОРССтн Вапа ( )Сс =ЕЗ). НРИВаа 1 СО- Ркс. 9.6 с]ь] б]]х+Г,) ]4 ]и,+ 1св[]]тМб] Рис. 9.7 ответствует СО = 9.5, кривая 2 - ЬО = 1. Вс нсех рассмотренньх вдесь случаях колебания маятника зплмоься почти гарэюническнми и п]оисходэт около положения, отклоненного относительно нертнквля. За одну половину периода, когда вэл я ызятняк вращаются з протнвопслоэных направлениях, работа ыоментв силы трепе, равна энергии, отнятой у ыаэтнкка] за вторую половвну периода, когда маэтннк и вал врэяаются в одном направлении, наоборот, работе момента сил трения добавляет энергэю наэтнкку.

Пры стационарных колебаниях отнятая и добавленная энергии н суме лолнсстью компенсируют друг друга. ., 3д]]йуд.9,3 Тележка масон ]ч]э двэмется по гладиму гориэон:— тельному столу оо скоростью ]] . В мОЫент времени х-" б паэстречу телатле вачэнпет Н 53Фь сс оно]хютью Ткэ гсукзсвгальввэ струйка поды, масса единипы клыка кото]юй — — и хэ . Отруйке ударяется о выступ на ааквей стенке тзлеики и накапливается внутри яее (рис. 9.3].

Пчнтаа вэаннодействие струйки Рис. 9.8 со стенкой телексы ыеупругкм, найти, нвк б]пет меняться со врмсенем скорсоль тележкк ] ср. с задачей 3.4]. лйй]рщ В задаче 3.4 рассмотрен случай, аогда вода не нанаплнаается в талеэке. При атом масса тележки постоянна и дир]юрендкальное уравнение для скорости тележки \] имеет выэ [3.13): ~]]у в — „,-- — [и+Ю, и<с]сну,. Когда в тележке накаплиьается вода, ее месса не будет постолв:— ной. Через времн ]. после начала взаимодействнэ струн и телехлн она станет равной М и + 1ь 4 а, с оН В атом выракеннн с]эе]с]т кисет смысл относительной око]поти тележки к струи, поатоыу Ф ]4=]. + ~6(итар,] ]~.

о , ". В рассматриваемом здесь случае вместо ]9.35) мы кмевм интегро,, дэф$еренцкэльное уравнены В качестве масштаба вреэенэ в данной зедаче удобно выбрать вре!, мя ], проходящее до остановки тележке, когда в ней ые накатан— . веется нада. Интегрируя ]9.35), находки ()( М»У -В1((У»тч] )ТУ» М» + ~2 (]У» + ]]» ) (9.38) М» (]» Ь]у» ((у»+]у») (9.39] (9.40) и ]к» и.л, ' ~/; К~~. ' Т' ы Ст)» (] 4" Т и»(У 4+ ((У ))У,)С (9.41) (9А2) У, Ъ и, (]; (аа( (9.43) откуда, полагая (] (Т) = О, подчаем Выедем беаравмервие ~рости чэлежви чь, струи 9 н безразмерное врмя Г по Э»раулем Тогда вьракенке (9.38) преобразуется следуеиим сбраивп В последнем соатнсаюнии упобяо выделить параыетр .(. (],/]у„ значение которого при выбраннод нормировке отличает одну задачу от другой ( пареьмтр подобия].

Имеем м ('г)= »( 4-'г ( -а 44,8т' началыюе значение безразмерной скорости телеглн чч» выразится чарва параметр»( как ".;.,'Нормировку (9.40) и параметр подобия (ЭА1) естественно исподь- ," эовать татин в квтегредиу]еренпкалънсы уравнении (9.37]. При ~!' зтсм ыы мыячеем с( + 4 / М + ( ] ) к ( '( (+(1 (Ы»лл ))о( ' о 4((о) = —" :„уравнение (9.44) иатегрнрсвелось методом Рузге-Вутта с иегов ДТ. 0.4 . Интаграч по времени с переменным верхним пределом Ч.:.. 'П«м М ВТ- ВнзжЛЯЛСя Ывтсдои транвдий, СОГЛаСНО КстОР»ыу Т(Т)з(~-=ВТ( — +~а+ -.-+~«ел — «) (945) О ~~= 1(,)д'Р).

;~»]:: Результаты расчетов лля двух значентй параметра»( предстатьиены '" на рис. 9.8 ( о( 0.8) и рис. 9.9 ( с( = 2), где ввобракеыы :,;эависзвмсти скорости тележки чь от времени 'и . спловные лини:в от,,о,'зосячоя к случае, ногда вода глкаппсаается в телеике, ытрихбвыа ,Г ( рассчитанные по Э»рауле (9.42) ] — к случаю, когда вода нм на- ' Каплиеается. В силу выбранной норчкровки времени все ытркхомые ;;, лавки пересекают ось абсцисс в савой точке - прк 'с' = 1. Сплав.; нае линии проходят нние итрнховых, т.к.

накзплинекцаяся вояа ;, 'уменькмет ускорение тележки. Чем вьые начальная сксрссть телаэ- Т)'ки (балыке параметр с( ), тем бслыке проходит времени до о~тано! 'вки тележки. а,'и >а * ° >') г =2 —" ев 2 :. Потенпизльная знергин релна >.зл, г>ут ~и — .«-и)>" = -щз Пслучаен уравнения йагранжа Рнс. 9.9 с(т. Ъ 7 с( >(> с(с (9.80) (9.46> Г+ ЗС 4 У» - ( = ~.>У=С о — м. = — — 5 >ом >>т — — 9 >т с('с > ) юйдййй Я,~.

Дза грузика одинаковой массы пз связаны невесомой нерастткзмой нитью, перекщстой через блок пренебрежимо малой массы (р>с.9.1С). У йевый грузик отклонен от положения ран>у яовесия на неко>ор>щ угол в плосности чертежа и отпуден, а правый перемещается только вертикально. Рвдзус блока > достаточно мвл, так что изыенением длины ле- Х Ржс. 9.19 ного отравив нити Г за счет перемещания точки охода нити с блока можно пренебречь >(> ~ т. .

Опрелелять, жвк будет двигаться левый грузик. когда систему предоставь> семой себе. А~а Ураннение связи, нзклахываеной нитью на пслоканне грузиан, извет ввд Система и>щет две степени свободы. В качсстве обобщенных коор- динат выберем велвчвны Р и >(> . Формулы преобразования от обоб- щенных иоорд>н>ат к декартовым таконы> СС„~' 4>(с, )>„я-у.. > зе>монтаны кинетическую знергню системы П мз3Ƅ— $х = > 3>'соб>У Ф М вЂ” 3 и -я>~) . ";,дагранжиан системы выест внд т (-мЬм — + мз>г -х- — в ~г + м~~ сох ~ (9.47) г 7з,г.

- м»"ф +и ~ м р соя>(> 0> (9.48) (' су >(> .т у" >(>) 4- > 4 > 5>'м щт = О, , Ззедеы безра>мерные переменные Г > ". 'где Г = >"(о) > щ>, = УЯ~7ге и сведем (9АВ) к системе »,уравнений верного поразив — = 1('Ссх>(-4)+ й.р>Х с( в> 2 2 ! Начальные условия мьевт вкд »('(о) = '(а > 5 (о) с "'> 7 (о) а 7е ° (9 51) Результаты численнохо интзгрир»мания системы (9.50)-(9.51) с матса м'Г= 2д/100 = 0.0625 >Чмдстазленн на рис.

9.11 длн двух значений начального угла отклонения левого грузика: >»с = 0.5 (снн>нные линии) и (Го = 1 ( штриховые линии) при >) = О. Тем изсбра»мнн а траектории двикення левого грузика на плоскости переменных р >(». Видно, ч»о раскачиваясь, пений грузик совершает смм>юе двийение> угол отклонения уменьшается, а длина левого отрезка нити возрастает, одновременно правый грузик псдвиьвется вверх. Аналогичная кар>вна нзблккается, если неотклоненноьч> левому грузику сообщается горизонтальная скорость ( рис 9.12»~с .

0.5 - сплоеная линия, и = 1 — штриховая ливия) . >е -е.з и о.а О о,з -о,ь Рис. 9.11 р Р с. 9.12 Зй~й 9»5 Рассмотреть двняенне двоякого плоского маятника рис. 9. 15 прн прокввсльных начальных отклсненнкх. Численные решения сравнить с аналитическими реаенияма, пслученньма з задаче З.б п(м малых откланенияк. „сАйв>НУ~ ЛагРанкаан системы в>меч вид ( см. ведачУ 5.5) (--"' (Р.'1Г' Р ~' '~~ )5') ~ —,~Ь+ ~'д, '.;Ваыисызаем уравнения Лзгравиа> 2~»+ ~асор[~»-Рй)+ ~»и в(в ~Р»-~АД 4 ~ е(нР О М. (9,55) ~„сой(~у»-~х)».

~ьх ~у» 5(в(~„-~$ )4 лз>найм(1 'О отличие от линеарнзоваыннх уравнений (5.43), зги уравнеаия спра- ,)»Д>КЛКВЫ ПРИ ЛВОЫХ УтпаХ Отн»спаяна МаатавКОВ >3, И >За . ВНЗ;йем безразварное время Г го Ч>ЗД»(ле .= )Я~Уе (9.54) ~,"й сведем систему (9 55) н четырем уравнени>п> первого порядка> »(Ял ф Ра» ))х =")~а я(и(>)й -)>зуь -бе(мм л»Щ я 'Ъ-е) „, -А, ' р~,-),)- .(,. Д)оследиие два уравнения системы (9.55) вуино разреиить относадчлььо >(ф />('г и»(ф /»Рг .

В атоге получаем >се ьт» (9.58) (9.59) Рзс. 9.14 >ОЗ ,(А. (-6(в ((3 ~ - )22 > 1) 1 Сей ((31-/32)+ (9.56) 2 4;„2( ) +)(2>дд> — 2Ь(з/>4 + в( (да дай (Рч )32)>>> -"~~-*- „„.,( ) ~а(ь(~1-Р~ЗЯ'~32-42'~ой(рт-(32ЛТ 4Т юе ( 1-132 +5(М (31СОН((31 -(32>1 Л>М(32 Д). Начальные условия в абиев случае имеют вип )>31О > )>32(а) р(чда > ~4(а)= ф фсо) ф (9.57) Оистмм урзвюннй (9.56) интегрироюлась методом Рунге-Кутта с дагом 6'Н = Хд /?ОО = 0.0628. Распнет)мны двнкения юятннкв нз ОтнлОненнО>'О палаиеиил без >мчальпой скорости ФЮО, Ф.м~, прзч м дл н чальных вна й у л в );2(О и (Ого о ь онана соотнсмения, ссатветствупине юрмальаым юле6анинм в лннейыам случае ( см.

ваначу 8.6) в навивав>пм собатвенныын формвзмд >()га =Ч~~(31р > ~ Да= "Ьа)ята- Результаты расчета колебаний двойаого митника при Очр е О,6 предатавкены на рис. 9.14. Важно, что даже при давольно больших НаЧаЛЬНЫХ ОтКДОНЕыаЛХ ( )3 а- -28С,63 (ддр= .> 4ОО,5 ) Капвбааия вматника явлахтаы почти гарионическимн, прюем саотношания макну аыплнтудамн верхнего и нижнего ьмятннков практачеани постоянны но времени. При дальнейшем увеличении )316 ( и, соответственно, (с3 ( .(2 (Ота ), двнженне маятника прнобретаот более сложный > да о характер. Результаты расчета при (319 — -1 ((316=57,2) (3 2)-- + 81 ) изобра>МНН на рза. 9.15.

Хотя ссютнашения макду (ОХО и ., "(326 ( ф>рм начальных отклонений) такие дм, нак и раним, дви- ..Лэние становится качественно иньм — юпериодичееюм; в сватаю ,. Нознилепт иолебаню одновременно на юсиакьквх частотах. Мевя- ,'-Ются ва врезмни не тОлькО свми мзнлатудн иархнзда н нвкнега ма '., ятвиков, но и саотнсмення меюу нами. Мы вадим, что понятие соб'.,'ственной бармы системы как свойстю данюй системы в елучае ве,лнаейных колебаний теряет смысл.