Б.Б. Буховцев, С.С. Чесноков - Методика решения задач по механике, страница 9

7 В). М Полагая, что в рассматриваемом првввутка времени длина нити й= ( .т))»х не обрацаетоя в нуль, приведем уравнение Лат. ранжа к более удобной Форме Л,~р.' 7 Е плоеного мэтематвчеокого малтиика мазом М * и длинм ю, точка подвеси которого: 'Г+ — '. (("+ в' С-О. . иу.ра(йииврво двикетоя по вертикальной окружности раккуса а с цвет)анной увцоаой скоростью ь) (рис.

7.9); ьн о раб» б) ооверзает вертикальные колебания по закону Задание для оамоотоятельноо ра » Ч( П сов оуй, где а и ь) — эаданэве ДЛЛЛВК г 7 Получить Функцию Вагранка и записать уравнение ' ' .' »р ' положительные числа. движения дия системы: тонкаи палочка массы м и длины с е движется без трения по внутренней повары»соти П»ливлра раднУС Х ~ (рво. 7.Б), Ленжение происходит только в плоскости рисуни, Рйо '7»9 концы палочки от поверхности цилиндра не отравится. »Р й (.М~Р~ ~.'~Й' ( г — ~,/рг 1 (б-сой~Р) з(т" à — э' р„,,у.Е ь (2 — Йт Ч)(р'-( 9(м»(=О.

(» Р Ю. Малые колебания К,:.Р,в'тыве теоретические сведения (7.2 В. Ва(мйа,.р рю р т дэ „н,, явюцвуав ййййй х о л е б а н и я, оовервемые вблизи целовании усъиэ»а г вью~э — го Равновесия. устойчэвову равновесию соответствует таков йы» ~ кие системы, в котором ее потенцкаиьнея энергии учктыиая это, закинем лаграчкиэн системы Полущть ф)тпцыю лагранжа и запкоать уравнение даже- ' и ния дхя системы' 'тонкая палочка ьвсск м реокрывзя который, получзеы характеряотнческое уравненяе $ - й отвпенн относительно Юь.

Оно н>юет 2б действительнвх корней й ь)к, совокузыооть коэфрюиентов раопрелелення Ы ьу ( ( 2> З> '"*й) для частоты (бь исто называет б > поскольку грк одном собствснвом колебвнкк отношение ьюлду аначенюым координат в один и тот ке момент вре>вня нсегдв оотаетоя невзьвнным. Вто и означает, ч>о собственное колебание обладает пРисУЩей емУ копной. КоэфрзЮ>ои>ы о(( з (>С= (> 2, °" $) обычно полагают ревныык едиюце. К>а определения ком((4апионтов раццрЕдвжкзя О(ьу ((м 2> 3» . 6) НвцбХОдЮа рвпытЬ >С систем, кзлдая вз которых содеркнт 5 — Т неоднорюных ур>зневвй б Х(Пр) (>ц (>~ у )о(~ >ч'((~ > ( > КУ>) Х й> > Р= 2>ь»" й > Таким образом, в каждом частном дзякензн нв частоте Иц Произвольны дзе величины> оо и >(>,; остальные величины - Ий н ое (ку ()=2>ь,,н о(,„„1) - опредл >пяты ДйЦВТццййуйй ~ ЦйоюЫ Койстзнты,б>ц к >(; (йе 1 Д> > "> й) в оною очередь, не зевяыт от свойств онотемы, а определяется яз пдкййй(йд„валяй(ф ( начального о>ювення я начальной ююрооти> Чвотныв дв>пеняя слстеыы, при которых все ноордннаты.ьмрмонкчеокн ызменяютоя со временем с опной иэ собственных частот, назнвеютсл уюаюльныэц кцлцбьдюм.

Втя дви>ения ноегдз мокко возбудить >Вчем специального выбора нэчэльыи. уо>озвй. Нэлрныер, если вздеть начальные значеняя поех коордннат н соотзетотню> о й собственной бюрмой, а начальные свор>отя полонвть Ю>- левымы, то в сыотеью возникнут нор>лыьнне(гармоничеокые> колебвнзя ыз у — й частоте. Во многях случаях >экое ввцвюные гнРюнячеоюа двзкенкя нз собственных колебаякй оыотеын позволяет ор>ау определять соотзетствуац>ю честоту.

Еслк >а выдадим Ч гарыозыческых колебаний = ~(ч боб(ц>кг- "'(>ы) > " ~>~ ;: оу>ви которых прцнотевляет дмиенне >юрййй коорзннвты >(„, то : ' этим оемыа мы эццеднм двыкеюю ьоех оотвльяых коордюит >(. ( у = :. = 2,3,...>б). Слвдонл>м>юно, велнчывы $1»-.Р>я, парнас>Ь>ю определяю>не двнявнзе всей екотемы, ыовно пряяять эв новые обобщепные коорцянвты.

Онк наэыэеютов Формулы преабразонвныя от обычных обобщенных координат к пор'ей>: > МЕЛИЮМ ИМОЕ МЩ (~мл>Д> ">Р). " К=1 В нормальных ноорлынвтзх ((= $ ~а„~з + а, $ ° - . + ая ~*) ! Ф П" ~а (бе% юалюУл% -е + ая(дм В ) л з з (:$., н урвзнеюю Лвгреыкв реопздз>моя на $ везввмовыых д(йт от друга 4: «„+ со ~„=о ( ~(-б>г, ... В).

К~дед норыэльнея коорнлнатв север>нет гвразючеокое коюбеыве о соответствующей ей собственной чае>отой. В отличие от норюль~ьз..:, ных квкдвя обобщенная коорцннзте оонеркзет лзнкенве по ела>нову, юбще говоря непер ол е ив(у ко у. Во всегда >юю укв т !>ь твкые лзнейыме комбинация обобвеювх коорцвнзт, которые колеблютоя по чисто гармоюоюокоьщ зыкову не ооботвенных чеототех оыс В пр,отейзем олуюе онотав> о Пййййййй(~й~ ййцййдй уревненяе малых колебаний имеет вэд 'х +олях О Общее рииняе запяоьвзв>ся следующем обрезом. х (Т) - а й ( ~ + Ф), '.":!~~~~~~:-'.:"::.:! Ж, стсмиб( перел пере вй х н ураниении (Н.а), собой кнанрат собственной частоты.

следовательно, (8.5) Тонкая палочка массы эя к длины ) . нодвеиеныая за «. -Ф из полсаенил равновесия путем повороте вокруг центра масс на малый угол (« ( рис. 8.2). найти частоту малых колебаний в систеьв. ',8 8, Рзнйщ(й. Нри понороте палочки вокруг ценна М тра масс на мапл( угол 7«обе ыити отклонятся в разные стороны на угол «р приз)нь Задачи с реиеынямн Найти частоту ксчебаннй системы, изобранвыной 8.1. Ннлиндр радиуса (с и массы тится по ме(юкаэатой горынснталь кости без проскальэынания. Жесткость 7 несомой друнины, прикрепленной к осн 7 лнндра, (ч . Лвикение проискодат в и;ц Рис 8.1 кости рисунка. Нсдояенив центра масс калма описмзается координатой со, связанной с углом поворота циаинди соотнппе пнем СС е («<(7. Начало оточета переменной х аыберем в точке„где прукина нви йорьзиюлаы. Кынвтическая энергия цилиндра и йа 1'«и 8 ха к= — ° — = - —.

а г Н г Нотенщвльная энергия ле)юркай наиной прукины ~ха г ' Лэграыкиаы системы З хл хя (.и — 7М вЂ” — (Ч вЂ”- Н г г Состаэляем урэныеньм дан*ения пялмоим — )ах+ кх = О млы Х+ — х=о ъ л(с Н э 5кч и Ыф.~ Ч72 4Е'г ' (Зр нянеяйчясыая энергия палочки складынается из энергии прицепка заир)(л йермйаль7вй оси, прохолдиэй череа дентр масс, т ' м~(.я К м-~= —.~ 2 )а'2 (8.9) ем~~~'~я)ступйтельногс перемещения сннтра масс в вертикальном:ядпракззм7 7 ~~8х)а ~~4~ )2 а йве* (ЗН (ЗР где со - амплатула, (« - е' тельная йе кеннан частота. Используя начааьные услсмня СС «О) Зс, Х(О) =У„ находим а-7(*) 7М, зт--ю,с >.

«ф.~, ф (-,« Нентр масс палочки поднныается при атом на ыыссту дх= «(ч' — соя)с)" — « — = — — ° )о ( ч' (8.7) 2 мр- Ряс. 8 3 Таким образом, пстеньыалъная энергия сис- 70 71 Последнее выражение извет более внсокий порядок, чем второй, з '».,',,'-,",~:~:".'- ч при мвщзх кслебамзнх возют быть сзброзюно ( в случае зизчых от ',:;:)»П. кионевий от устойчивого оолокения равновесия скорости точек системы такие будут мамам, что непосредственно вытекает из за.

вова сохрзвенэя внергии). Таким образом, лагразжкзн системы моз, но записать в ваде где дС - изменение линза нрукины прк отюю- „эзЗЭН Маятниха. Из рис. 8,5 можно получить дзн в(. слехующее приблизмннае внракеыиез Сз(зч з) х лз(т(ч М.) 4 й 4С П (8.10) С ч- ю-'2~ з(ьмО, 4П ,Е (8.11) и '(з У=О Вч С К-;С' ~. П (8.13) Потенциальыая энергия складывается кз энергии вассы Вз в поле оввз тяжести (8.14) )(4 = кз пе С (11 - пой з(озз — зп бв С и энергия дерормированной прзсзины ~2 % = —, а находим собственную частоту ,„ /зй (8.12] С Вддйдй 8 ф Найти частоту мвщзх колебаний сисзвмыз плоский математический маятвик ллины С и массы ззз, попкрепзмныый в викней точке пружиной жеот- С кости (с .

Система находится в равновесии, когда мвзтнии вертиквзен. дййзнйй. Кинетическая энергия зюятнииа, внраиеныая терев обобщенную скорость зд р с. 8,4. С точностью до членов второго порядка имеем Л,=(С* Г. П мхкзлетотллк с этим лагравииан системы будет з":= вчС вЂ” — ~~~С+ "С) П ° (8.18) Й )кнйзр(йбю;урэюевва малых *слаб й (8.17) и йобачврнзую частоту (8.18) Пй)4)ййгй,'4,„, Найти частоту колебаний точки с массой Мя, лвктувейоя вдоль прмвзй и прав)юпленной к зпзужине, другой конец которой эакрежяен на расстоянии ) от прямой (рис. 8.8). Пружина„имея длину С э, натянута с силой ~. вй» зз.

в дйййддй Свяжем удлинензм пружины 4» ( с хоординатой ПС 1 зв»» 8,8 .'~~'=аде.а (; („(1+ ~',) гС г(- ри ЗЗ~~~')"дайориациях пстенпиальнаа энергия пружины равна П,.Рфà м~ (8.19) ~е (8.2О)",,,'.*.':;,'*:.*": ' - х . г г :": ~,'44 6 ) — г: — 2в ~С )з Ь' )с(" (Ь:.М 2 Лаграищсзн системы ° г р г ). з ея —— 2 (.

2 Уравнение минос ислебаний ОО+ — оймо. г Мс(., (8.21) (8.28) О тония (8.22) —, представим их (с уса (8.27) ения системы с диуия сте- (8.28) Рлс, 8.7 ~((~:,,"и','Кйг' 1, ((' (('г = О аббес(йй,'рейзииа системы (8.28) ' ~~а.'Е) ' боб((б„ф С(~ ) ')й(й(МС)сег Й ССЗ (Сос Х 'т Гд~':-Ф~с Л щгг — собственные ~;4%8нф~вления амплихтд. л , )74,=)У„-~, П„-П,„--З 74 йгййййй)ж Воли длине нацейюрсироианной пружины улисса ( в положенюс равновесия прулина не растянута), то верный неисчазепщий член в потанциельиой энергии имеет четвертый порядсис л= —. — ".