Б.Б. Буховцев, С.С. Чесноков - Методика решения задач по механике, страница 10

)с (з В В талой системе дзичения масси мс нв будут носись хзразтер гармоничесиих колебаний. ЯйлелйДД найти ссбстиенныв частоты и собственные формы ма- лых колебаний системыс дза плоских мятеже-. (), з )ьг тичесзих ивятюптс дипв 2( и массы м иаидый, оеяззнмсе посередине пружиной жзс- ( таости(с (рис. 8.7) ° длина недо(юрсироназм ной пружины раиссе ртсстоянип ыегиу точками подвеса маятников. Рйййййй. Вмннсм дзе обобщенные иооргнне- тЫ - УГЛЫ ОтИХОНЕНЕЯ Мал Н Н И И нз.

Кинетичесжея анергия системы К.Л„~ (~'. ~') (8.23) ~2 21. Потенциальную анергип запсвем сразу для случая малих отклонений от цолозения раенозесияс г и"-г с Ь,г с.Ь,з((ь:~г)' зв~ 2 ;" .::ИИ(наем уревнения Лагранжа : 4Мф'У, +г-~~Р(+ ~~ (~4-Уд-О а ~СР, (('~Р,-Р,)мО. л "и'йбпзначения ( а — + м 84+ Р(ьт - 3~гг-Р, У,-бр, -ф(г,мО. нера))Нз)(,'что и общем случае малые кслеб петей((и Рнюбоды списываются уравызнимси -~:.:ус+(бтг~гх+и„,(г, -)(„(у,=о, ':",:йяй,Ь гх Ь )724 ~гс )(гг)аг = О. Оран(мейй(8.27) и (8,28), ааходзм, что имеет вид ' ~гооисс"г~ стал ф )+ ~гг~г и( Ъг Я (8.28) частоты, о(сг, с(зг — иоа)фхциеяля определения частот составим опре- ю 1 2 ~з) й ';~"-.'.„',' ""' ' аханье координаты = .".:"'~!„'-'.~ «Рй~~,~+~,), ~2-~~ ~~(~,~+~,), — В (-а)цч-~) ~-К;, '+ „,> ~- 6)*+ „) Е-((хчо)'+ «йч) ~-((22~ + "12) (8.3а) = (-~'+ ~)'- Ь' и эепншем характеристическое уравнение (8.35) „,щ оу,р ~'- 3'-О. (8.30) роизвсльных начальных условий двнжерцинат не носит характер гарвничест собой наложение ксяебанвй на часрешив систему (8.35) относительно $, легко установить, что полусуьма гп всегда созерцают гармонические н аз соответственно, поскольну (в.

3() (8.Э6) ~и-'Жа (8. 31) 8.26) позволяет найти собстзеннме ия, не прибегая х общей теории. В сания (5.26), получаем Отсюда нзхощсз 8 "с-' 4 (8.32) , приходлм х уравнению (8.37) 8.31)). Вычитая из верхнего уравнення начаа чь ю ~~( ~) )~2, полУчаем (8.38) тв Отсюда (Оч у й — и ю(+8 — ч —. ф ц 3 ЪЕ * ' 28 Чтобы найти козФрщпщнты о(, с(зз, образуем систему уряззь ивй шйи [Пцц (лх ((тц) Ыцц- )()(цч ~х )(хч) Й-ь)ц)о( зой Таким образом, собственные йормы колебаний имеют вид на частоте (,Ъ з 11 (, на частоте (бх: 1 1( )1( (-1) Следовательно, дзя возбузщения норзельнзх колебаний на перной частоте нужно отнлонить маятники на одинаковые углы и отпустить, при этом маятники будут колебаться в йэзе без яо,'ормепки пружизы. Нормальные колебанзя на второй частоте возникнут при отклонении маятников на один и тот же угол, но в разные стороны.

двз- кение маятников будет происходить в противоФазе с периодическим слатием и растязщнища пружины. закон изиенення во вреывнк обобщенных координат ' ~~~В.-в ))1 ~ч ~2> ) х лч лх. ,,~),",,ущ что прк задании и „',-',()ычбйкхи обобщенных коо „„,„'-; '~~авхй, а прелставляе ' ~Д!";:~й''„'" и И . Нс, раз в"ь))))йй)йрс' ксорцинат х-' РТ(зюрйрквсоть углов (ь,, и к;э)йый8()йе'йа частотах аз„ щу ю 1Я +РИ щй в )8~ )уц > ьй 38)ф)))(тйоат!:,; АЫЗЛИЗ СиотЕМЫ ( чайущнр(й!Шррщзлькые золебан мом)ф~з! складывая уравне ;;ЗР С'(Р„У,) +~ ~Е ~Р,Т~,~ю() О~)сз)щьвфч))ц)/2 через %„+ ~~~„=о, ',а~я()й~! яцщз $/(2ц (ср.

с( С(Щ(8(ЦМ:Ф,'Ж) никыее и обоз :::-';, йз (2С " й- ) 1, = О, нкнан в ряд Тэйлора в!лизи полевения равновесия й член раэлскення в выравении для кинеткчесрой член в выра>инны для потенциальной энер- (8.42) нын Лагрвмза >1 ) (8.43) +(31 ~)2 =О, овано обоаыачение (бо = .

Сравнивел (8.43) т. 9 тго (' СС вЂ” ~зсВУЧ Уч в 1В>з>~4 > Рис. 8.8 К =К =4 )) =2а),' П вц)х П( кп~вб > 41 24 > М > 11 О> 41 'тч щй)фкфйрм детерминант н записываем характеристическое уравне- тли ф~у Рт)) 1> (.":."'.'-.:.>>2 . 1 + о > :, (()>йч:.-:::43,1 (г- (8.43 ВМ~~()р()дц>юния коаф)н>п> )~>)$ф4~''у)(йз некий 'фф~.'',:"4,'.к„),( Потенциальная энергия И) > (>, = о>е Й+ т(2) (8.45) откупа Я ~4 +, что танке оовпахает с (8.31).

В 1 ') К 1 24 йм ыке линейных комбинаций обсбюенных коорцвнат ф и 'ф которвх справедливы уравнения гарн>ннческнх колебаний, паз ет в данном случае существенно упроствть ревзина закачи. Яййййй 8 8 Найти собственные частоты и собственные йормы нслебанвй онстемыз днойной плоский ')) (рис. 8.8).

Лянка и масса натлсто из ычков равны 1 и в> соответственно. рйййййй. В хачестве обсбюенных коорди мз ,Уды (З и )31.П НР> наты первой и второй точек соответс равны рс 1= ."те т Стоб~) 1 > Ут = Уч + 4 з(в ~21 Кинетическая энергия днойного маятывв )т. Р-,)+ Р(Л-3,>. =ь~Е(4- ай„) ~Е(~- р,— р,). Лагранкиан системы при проивнсльннх отклонениях маятников (.в Мб (~)Ч + ~-+ ~4 ~)2 тсйф-)>1Ъ— — 2 3Е й-с'ВГ >- "уС (4- 7 ) >з ур>авве ;::~~::-." „*,-),4,>т.),)1 :~~!~~бфвз)э кспольз . 'В(асаф>.",. находим (8 Л' :.„11;" -' '- анан распределения амплитуд образуем ля Ствэтз З(й-г) ' (8.52) на частоте И, Вводя норзмлыпв ьоордииаты на частоте И: 1 " 1 (8„45) (-э(2 3 записываем обэве решение оиотемы (8.43) ылйтнюю ооуще тивоп тивоф ые комбинаЦии Углов тл и (ьт, частотах И и И . В итоге мы нзхолим так которые при проиэвольн ни по гарэюничеокме э ие лннейн ых движенья вкоызм на И (8.47) Слацоввтельно, собственные бармы колебаний иммет вид (8.49) %„м а, СИ,1 Е„), ~,= Ы, (И*+'~.) 4Ф~~;т".т- «-"~~~!$фф,,8.9 ~4 ЪЕ зт Э ) 2 э эе '(И тз ' (8.50) )~;'!ЭФйо' " эя того чтобн ооущеотвить нормальное колебание на частоте и, куяно откэонить маятники в одну аторону на угла )тео (верхний) .Д 8 (низкий) и отпуотить без начальной окорооти.

Лвмтэвие .,:. )Вто в будет происходить в базе. Второе нормлльное колебание ствляетоя, если маятники отклонить на те ве углы, но в прюолоиные стороны. При этом маятники будут колебатьоя в про- '::,.',";:э".,"*, азе нв частоте Сбт. - э:,"„.:*.!,4)йа '8.40 Выразим норзэльные координаты через обобыениые: '4"' '-''". (8 51) 'эе29"7~ ), ~,м',Ь.-Ф~.). оамостоятельной юаботы и частоту малых колебаний системы, раооватрен- (рие 7.2).

Вьурча а8 8 Напти чаототу макки иолеба- ний оиотемы, изображенной на рио. 8.9. Елок, соотоящий иэ жеотко скрепленных пки- воз с радиусами м и т', имеет общую ква- су эв и момент ине(щии Т . На вкнвы на- мотаны в противоположных нэпраилениях ни- ти, причем конец одной иа внх привязан к опоре непосредственно, в конец второй- черэз прукину жесткости (4 . Система со- зэриэлт вертикальньм диюэениэ в плоскости рисунка. Ответ: Ъйй)м 89 лНэйти частоту малых колебанай плсокого маятника, поедотавлямзего собой сднорсднмз отерзмнь длины й С, изогнутый посередине под прямым углом и эмрнирно псцзевэнныэ эв верэину угла (Рис.

8.10). в ля. ний оиотеыыз таглиэ отеркень массы кч и длины В, подэвпениьй эа один не концов и подкрепленньы пооерацине двумя пружина- ми яеотксотн (С (рис В.П). Движение про- исхадыт в плоокооти рисунка, в положения равновесия отеркыя пруяиэы не напряжены. Нйййуй 8 11 Найти соботненные састоты и собственные (юрси ьмлых волабаний снстеьш, изображенной на фармцнсжиц(2~4 (с рис. 8.12. Рле точки одинаковой мессы юс мс находятся на глапком горизонтальном сте Р- жне и соединенв друг с другом пружиной жесткости (Се в с неподвииныыи опорвьм Рис.

8.12 ссружвнаьи жесткости (с . В положении равновесия пружины не непряжеии. (8.5с) а йеда Н,Х2 Найти собственные частоты и собственные щорса маМ лых колебаний плоахого математического мвят вика массы т» и ЛЛинн С, точка подевав с которого меосе ц может соверзать движение по горизонтзсъной срезай и соединена с неподвиикой осюрой пружиной жесткости (С (р . 8.13). Рис.

8.13 й 9. Цвсленеью иеьюм в запвчвх механики Краткие теоретические сведения Ввдача о дввкенни системн из )( взаимодействующих 'истиц описывается К векторными уравнсиими, вьмеквющммс ие занонов Ньютона (ам. й 2)с й ( т-. м ~ ~( + Е,. с'е С,~ -, ь) > ф( с начальнвми услсюияыи ь ) (о) т( ('(сб) Ъ' 2 . Э(, Влрсь мт( - масса с- й частицы, г.

— ее Ржиц(с-нектар, 1 — сила взииолействия между с — й к 1 - й чвстицаьм, входящими в систему ( внутренняя сила), Г; — с)чма сил, действующих на с — ю частипу со стороны тел, не вхо3Ющих в сис- ночевы сосне тешет. В хиппи Все ний. Пры постоя пе)ехал ь ( метр. р ~~ма пе(ммекиых пе(иемнквх ходимсс ть диапазона выявления ия задачи.

сунмо. Вопри о в качпсй за- чи (9.1) частим мееет дис безравс внрежения- (9.2) (9.3) .."~~~~'::::(,'йнмиачя смча). В общем виде такая задача ци с ",' "~у более чеи из двух тел, решения в квадратурах ",„))и() с рввзитимс вычислительной техники в задачах ме .Врса ЕРСИМНЗЮтюа МвтаДЫ ЧИСЛЕННОГО авапнва. ;,,сйпэцы(мву применения чнслевннх методов рассмотрим вначале нв ',.~ре 'одного уРавнения ииамики р(г ~ С) по)=с;, — ~(о) У„(91) с(ьх ь с(с ъ т Ф с(Ь 01 :)т )у)()ййшм сбобщвм на случай произвольного чиода уравне ,!(абрисе вапач лля решения на ВВН обычно осуществляв ,,'(ефсвлькых переьмнных, исмющих конкретную размерност в(~(с))йяа, килограмм и т.п.) к так назнввемьм без азме 'ф)(„'; которые образуются из соответствующих размер :;(сз((йм делеии их на заРавее выбРисные масштабы.

неаб ',()Ефсосперехода вызвана, но первых, ограничевностыс ..~~даюьиления чисел на ВВН, а во вторнх, возможностью ))м(зС(ме полезных соотнсманий между пармсетраьм подоб ,С((~физико способствующих ее более глубокому понима )уз))древком выборе масштабов лля пе)юевнных решается щ))ь)уы. отдельно. ,„,, Рассмотрим прсиедеьже к безразмерному виду зада лу)ь)сю характерная1область изменения радиус-вектора '~иФвр ( . а характерное время зедачи (явно Т . Вве "ц(у))(ЫЕ радиус-вектор со и время 'П в соответствии т '.:(9))(( Этом уравнение (9.1) преобразуется х виду с(сх Р мч ".

~-2 — Й (( —" -й, Тг) '"'~йбдябезразыарную силу Ф по с)ориуле ь получаем оиончзшзлыю '~й ф(~Р, ~Я ~/1 -,,(с, ~Д, -(9.4) тле р у' /(.. Ч) ~У4- — начальные Условия дзя безрззые( нвх перемвнанх. Векторная задача (9.4) распадаетса на три ока лярных задачи а проекциях на декартовы оси ыооркинатз з гт,'П/ %(о) ° П вЂ” (О)в~(т, а(Ф /, а(ч уе'(9 ~'йв с)» (~ (Р ~~ ."((о)в'),з р~(о)в Чс „ з( С,(о) П„, -(О)з'(т с(П з(Р 1 е1 .

В одно с дальн кзлярн где в качестызе йримера ,(ш/с(Ч. и заливам дкт(э (9.6) как систеыу двух ревциаль уравнений бсаначение второго и Введем с ураваение ного псрянзя ,'П), Чз(о) в Пз.; 1(с)ш$ . (9.7] рене резани е с тао уразН интегриро вида (9 пении ос юсшц удобно заппы .7) сос и О'ш расово и ль г — =( ~ъч с( 3 с)$ с(ш зная илея уравнений т. е. разб сетки ретиззцией, Осно цавзьных ной зП, внеденин кой диск ейюеы ыы будем рассыатринать ое уравнение вида ) (()(9,9) но пе систем обыкновенных диИв таит в дискретизации на отрезки длиной Особенаости, связанны треть на примере одна Зд)Я, а затеи сбобпкть на Случай оистеыы уравнений, Пусть 1~(л г) ч((п) йз,. (9.9) фрзшшютегрируем уравнение (9.8) по интерналу ш'г зюизш то~юлии 'Шю «тч тг ц„'И» + ) ш(чл,'г) с(ч'. (9.9) равные численные ыетоды отличаются друг от друга подходаыи к З)йпронсимации интеграла в правой части (9.9).