Б.Б. Буховцев, С.С. Чесноков - Методика решения задач по механике, страница 8

Урввнения Легрвнив дают единнй и притом дсстето пю простой метод реяения задач линамики, точнее, ее пе(шой части - состевле ния дифференциельннх уравнений Движения. Их преиьйзыстве ЗВКЮС Ю ются в том, что вх Виц и число не зависят от количестве тел в сэ теме, в определяптся лишь числом степеней свободы. Из уравнений ЛВГРЕНЯВ ЭВРа~юе исюючены исе напереД неизвестные реакции связей. После нехакдения решенвй уравнений Лэгрэтюа ююно, используя выражения зу( дезе(новых коапцинвт чвстиц через обобщенные, поучить декартовы коордиаты как фуниюи времени. затем, подстевив уя(Ф) ( с =т) 2, - ТЮ) в Уравнения двикения, зэпнсеинке )(Вдкртоиых ксорююэтвх ьюино найти, если тРебУетсл, Рюппюж СЮЮВВ.

Всятвзвтичесиой механике чвсто используется поюгмю ~((эйй)уйм(й, вотсрым незнвеется величине Р) = ытьвуя обобщенные импульсы. южно перююсжть урэлнеккя лэгрзк- ~ (.,В очюутотзые нВпотевциельных сип) В ВидВ (Юу ЗВ О(( ЪЦ. Всэрдвнвты» Ог тютсрзх легреытВн системы явно не ВВВисмт ВВВЫ- вэптси)щййзййййий ив уРавнений легрзнкз следует, что если мю))юй(етм ф( являетск циклической, ссстветстиующий ей сбсбщмчыйй видульс сохраняется: Э~ — =о, р)= Э1(,. ( внюм сохрэиения обобщенного импульсе).

Цикличность ксорююат ысюкю)сэ случзях свяээне с сюаютрией силового поля и связей. Пютсщ', Рвцкоквльный выбор Обобпюнных кссрпинвт лслзюи Отрзквть эти 'ОМЮЕТРЩС. Задачи с решенияын йл)(йй(Д;Д., лве гРУзика с массами ис и мчв свЯвенн невесомой не Ркфйюйюсй нитьп, перекинутой через блок с радиусом (( и ыоМЕКЮИ(ЛЫЕРЦИи 1 (ряс. 7.1) . Ось блоке иеподникне, грузики могут х)ййвйещвться только по вержюкчи. нить по блоку не проскельэнвкй~.;н)лее время натянута, трение в поюзнпнкке пренебреииью шюю э((яйтд лигрююлзи системы и получить уравнение лвгрзызв. ~(ЬВЛ)щй. Определюз чюло степеней свободы йэ1 В рэссмэтриввемой си тюю, сос Ояэмй иэ двух ыэтериапьиых точек и твердого тела (блока).

В отсутствие связей ее кон4югурецяя описмвве гся двенадцатьп независимыми координшгвью. Фю Число свяэеэ, сгранзчизэзюрш положение бло)( ки равно пити: треыя сзяэяыи аефикснроиен его О: 7.1 центр и дзе связи залают постоянное нэпрвз- НТ ЛЕННЕ Ооц ВРЗЩЕНКЯ. К)Х>ЫЕ ТОГО, 4 СЗЯВЯ ОГРаННЧХЗЕЮт ПЕРЕЫЕЩЕК> грузкхсв, давая ны воиазююсть лвкгаться только цо зер>якзлз. у условия верастязиисстн наты ллхзы С=тонет вытекает ооотнщщ няе (7 1) м тх +ВН - Лев>ней. ч т. наконец, вслацстзвз отсутствия проскальзывания наты по блоху его поворот однозначно связан с цереыевенхяык кеядого нз грузз. ясв. В втоге получаем, что на рассыатркзаеыую систему каловено нсего 11 связей ы число ее степакей свободы Н 4 В качестхв обобщенной координаты, оннснвеювей цолозеняе сыстеыя. выберем угбл новорота блока >(>, отсчит>щаеы>б> л>х>т>щ часовой стрелки.

Полагая, ччо Ч>= О, когда левый грувкк нях> дктся в верхнею полокенкя, получены >)орыулы> выракающзе декарт> ны ксордзна>ю грузиков х„и Хх черев обобщенную ясорлцкату >(» (7.2) Х -(РР Х,- С-ВН вЂ” ИН. ч > Квнеткчесхая звергяя оястеыы равна (7.3) 2 в>е х> 4 >чхосз 1Й ( ч рз+ 1) ч" Находим потенциальнУю знергню (7 4) ')( -ЗЧЧ~ Х„-З> Щб От ю- (В>4- >И~)ф(У>(— ->ю ~ (~-ХР) и легренязан системы ) ч ч 2>4 ( В цоследнеы ныраяенвы отбр>вено несухестзенное слагаеысе з»$(т"цй) щз>ьт.) Вычжляеы цро>юноцные, входящяе в уравнения Легранка> ':-':;;,",:>1~.:,,:~ц~> Нх+1М '( (Ж)ю ( „Нч . йт 1Я ф.".„.(>ыч-в>г)~ )г.

-ФФ р' ~Й-(,- .)~~=в (7.5) „.'.ч,(г~о,в ууеннеяце (7.5) не входят реакция связей ( в ''-'1)>рябе ощхн натятзння вити слеза ы справа от блока). тем й~г~.йх'у>вялые на люзкенке сястеыы учтеяо псхвостью. ~)~~~,2. (сы> задачу 2А). на горззавтальной плоскости лазят „хщ,' ЗЗ>рй>> М, а на гРани клзза Располагветсл брусок вассы ю> (рао.!Н>4)-, Все,нозерхяссти абсолютно гладкие, Найти лагрвнзз:- ан Ойцйе»Ы К зацноатЬ УРЗЗНеязя Лагрвняа, Лвккев>ю всех тел ц(юцз)з)яйт ю'нлсскостз рисунка, брусох от поверхностя вана ае о>рнй(ю>щцу ': фй))ННйй„', В отсутствие связей ыатеривхькзя точка (брусок) к тввй>(еюччло ( кчвн) обладают девятью стецензын свободы.

легко Лбй)й)чюрл> что число снязей в рассызтрхзаеыой скотные равно се>л>г(й»з)тз 'связей огрзннчязеют перемещение каина так, что он >ахзе~дй>згетхсл тсз>ло поступательно лдсль горизонтальной вряысй>.'>йй(в:,сз>щь ограничивает, дюнанзе бруска в пхоскосты рцсуззй,"щ„дщ>з связь отрекает то условие, что брусок не покидает цснезй>у>зть, клвна) . Оледонательно, с изтеыа имеет 2 степени сзободк "' . В()()Кеы юнстеыу коордянат,кек показано не ряс. 2.4.

В качестве <з>>)бвызц>х координат ныбереы горизонтальную коорди>агу брУскт'',,'„254'„.'в,коорщц>ату острия клина Хх (ряс. 2.5). Веревке>цз))рьюсбрляната бруска у связана с об»овеяны>и ясоршпитаыв 'Йй.,>'Хз соотноюевяеы (2.11) > У, = 9~.( 1Х„Х,). (7.6) Наем'", "двкетвческую енергзю скстеыы> -'(Й=,'юг тю (хч .ь )>2) + ц, з ".~о< хгщ-,„)з щзи фа:~ ((7. (7.13) "«ф угол меиду вертакаиью и хакой либо щикокронанной (п)еыкякулярной оси цххинд(а (рио. 7.2).

Кинетическую 'Нднра найдем с поьющью теоремы Кеаига <й 6): зяеРХЩЩ П )й ф Р + . — = ща <(х-з-) Ж ч- — в. гх д = .Ке', "щ' 2 2 2 2 <7.13) '=-- с — > ф. и чз П з = зщ (4+ и р з 4) — т — юч Фазы м ~ + ~44+ пью() Эж < Потенциальная инертна ранна П = ЗющУ,м )щй ППз< (Х„-Эсх). <7.3) Получаем лзграыииан системы ~ -мч(4+4обиа) Ж вЂ” Ьейщбж( ~„х +<(ь(тьмой ')Ъ <7.3) П нч~~р'((~з ~гх и ззписыааем уразнеаин движения <ср. с (3.13)): ущ((+ьу',<)х',-щь<~х(бг, + и щ6у (=о, и, ен)й(ьхььмя анергыя цилизлра в поле силы тяжести ранна Им щ И- )(.б- ~Ч') (7 14) <Ва:Пзщййщь отсчета потенциальной знергии выбрано положение пений<<'мгыо и' самой нижней точке треекхории цилиндра.) М~ <об„+ <и+ .Ь а)пох- УЬ~о(мО.

В аабтзыхайзтныИ С атнМ Латранжхаы РаЗЕН пйййей '4д, найти лагранжиан и записать уравнение лагранжа (;,Ф" -'щеф г) л- юзщб (р г)уя бой ~<к) (7.15) для однородного цахннхра Рзлиусе г, катящегося бек проокальзы- .:,Я. '-.„. кения по внутренней стороне цилиндрической понерхноотя радиуса а урщ)ййнйй.лвижения цилкклра аапиаетоя в виде Р <рис. 7.3). Рдюйййй. подсчет числа степеней слободы по- :.

"-:~ зщ (П - г) ~ Ф ""~ (П г) ь<м <(з О. <7.13) казывзет, что в рассматриваемой системе Вм 1 . В ХаЧЕОтВЕ ОбОбЩЕННОй ИООРДНкатз, ЙЖЗ)й$4~ Найтк Фуяхпкп Патракжа ХЗЯ ПЛОСКОГО МатЕМатИЧЕСКОГО опиоыиапзый положение цилицд(а, выберем П у ~.',зуез маятника массы Ют и клины С, точка 7( угол ~(~ между юертыкелью н линией, ооеди-:,:; - )< попзеоа ко~~по~о мазза М может оонермать (зг ( казней ооь пилиндричвокой поверхности рахз- .:, *,,( движение по горизонтальной прямой (рис. уса (( и ооь юхиндре. Тогда скорость пея- 7.3). т)щ масс цилщтхра выразится посредством х Щйййщ Выберем оси координат как покзРис.

7.2 Формулы аано на рис. 7.3. рассматриваемая оиотема, К ран,".~.'Ч,. как нетрудно подочктать, обладает двумя </,'м ~<у-г)«з,, (7 11) зтепеняьщ снободы. В качестве обобщенных $ координат возьмем сющение точки подзеоа а угловая скорость крашения цилиндра вокруг его оси определит- ся из соотнощения Х„=Е бр, у„=у . Еьгю,[ ПнИеренцнруя зги ооотноненнн, находим (7.17] н угол отклонання звятннха ~Е .

декартовы координаты массы 333 Х„, У связаны с обобщвнныын коорцннатаьы У посредотноы ооо.ыаенвй '!;...„:,~б,уй3бе, где Ф и а] - взвеотные полохвтазь Язйрз":У рвооьатрвваеыал система навет одну степень овоболы внв.]щзйол~' ( Ю аваа Л~~® а от предылунвй задачи коорлнната точки подвеся в хая;:"„"Вгу вреыевн известна, ояа не является незавноныой переыан, ), Нь~ехен]ю ывятнвгл буден залезать обобщенной коорднаатой .у '(' ~щ,,",'7.

3), рля декартовых коорзннат ыаеон нч имеем (7.22) (7.13] (7.19] '((= — мщох„= -ка)Еооб'у'. (7.25 Е~Фн~[] Уз=У+ Е~соб~Е. Вичвсляеы кхнетвчеекую и потенциальную знергнн системы: Х Л'Х К-~" -Ф+У",)=(М+ фт (Елж ЕУР,,бб[] Нохуч3ны лаграяххвн х (7.20] (.-(5(+ )у.+ е'~. ~еуФ б~» ~~ '5'. 2 Нетрудно видеть, что коорцнната у является циклической, т.к. фунхцвя дагранка от нее явно не заввовт. Соответстауюввй втой коорцкнате обобщенный импульс ]юу - . = (нз + м)у + Зю Е ф сев<у э( Эу =*му. ~ (у+е ' Ч)=му у, х(т предотавлнет собой, очевидно, проекцию поквюго выпульоа онотеыы на горизонтальную ось.

Лля атой величины выполняется закон есхрзнення, поскольку проекция внвзннх М ахезь3ь х в онл на горнзонтахьную ось ранна нулю. ! 3йою(а 7 5, Найти функцию Лагранна для ] плоского ыатеыатнческого маятника ыассь' -е,- Вх ооввраавт заданное дзняенне по за- 7,4 Ю'„. Ебеб Е, у„е абайв3ГЧ.ЕЬ]Н([3 кннМР]йохен внергня ыюьчнвка равна :„'. а3В* У'Ч 2 (7.23] ''зМйЕ 'л - щ Еь] Чв(' цг[ соб3[3)+ нхатхбхь[ихи[. 2 Н~тз](](Ф]ЛЬРВЯ, ЗНЕРГЯЯ Оенцзлазт О (7 19). 3апяоызея л ~Ффй~Ф~'-:..59 вы иметь в в ~пУ. что члены, зависящие только от вре вавы'(-'"Кйазн, Нанрхнвр, ПОСЛЕДНЕЕ СЛаГЕЕЫОЕ В (7.23)). ЫеяяО Онувтить„': йоркозьху в уравнения дввхения онн не нойлут. Окончатель- 'й„ххнаЕ, л2 Хна 63~[>злил]гсов~[3+ )нба Есов](7.

(7.23) 33)щ]з тй„я йапвовть фуницню дагрзнна и найти уравнение днывеннян][байрго ыатеыатнчеокого маятника, нять которого изменяет свою гляну по закону Е Ее+Ъех Ч>:,".:.1:. гпе (Го ° хотхвх (Рве. 7.5). ,2=2.т)у.й РИйййд. рвнвенне оиотщзы, щгеющей одну степень онободы, буден опяоынать обобщенной коорцянатой ~(3 . Поскольку $ 1вп'] 7.5 Е[Х]в|и ф уеЕЦ) соб~(3 (7.24) х охоро~тйхоровть даосы нч выразятся следующим образоых ~'.„'х +у'=е е'Ф =(]', + [е +]~ е) Ф. (7. ] м(»(» е»»»»Ц Ч + нчцо»ьч»эт)(эе»»оой»улэ 7 К . э!"'''" -',' ' и дпвы (, днижется так, что ее концы все 2 в»,й вреыэ касаются вартикалэной и горизонталь- в котором опунено постоянное слагаемое ьмР» /г . Вычисляээ ной гладких вэоокостей (рис.

7.7]. Лвииепроизводные: ф кие проиеходит только в плоскости рисунка. а~. ° ( Ц) —.= ЗП 6+Щ ~ — — (мгм(6 +МУС~О» )( гхццуй Ф М х с(г ( 'В»р Рице 7- В~ — — — Ф- ь»во' 3 2 2 (7.29) + не (6~)~»1)»(т л» = — вчбп (~» ттг»6) в(в го. '.: .. »",~+ за себу (~ в 'ч" 2Е Уравнение Леграэиа выюет вид (~~лай(»':.7,'9 Найти Фуницкю Лагранэа дяя системы. дна тонкиж одноРодньх стержня масон м и длины у кэквя( нч(( +тИ) Ч +г ь» ц(»+ ьг»п»(о((о™~ (т т(у»х»5™»(»»~,- ... юврнирно скреплены н точке А (рис.