Б.Б. Буховцев, С.С. Чесноков - Методика решения задач по механике, страница 6

Наиболее удобным способом описании двизения твердого тела язляетая задание вакона движения центра масс тела и заьана вращения тела вокруг оав. проходящей в каждый момант через пентр масс. ( Пб определении центра масс системы частиц ам. б 3.) Здесь раавыатрннаетая Чавтпнй сЛуяай дзИКения тпердата Гвлв - плоакое движение. Пваьенке твердого тела нааываетая плааиим„ вела кшьдая чаааща тела остается вое время в одной и той же плоакооти Уравнение движения дантра маса таердого тела ( как и любой системы частию, ам. Ф 3) имеет ввд та г = ~ ьг где )а - ьаааа тела, г — радиус - нектар Венгра маса, - сумма внешних аил. действующих на тело.

Венгр ьааа твердого тела двьжатая так, кзк если бы к неЫУ били прилоиены вае вышьние силн и мааса всего тела бьаа бы сосредоточена н дев тре масс. плоеном движении тверлого тела его вращение цроиаходит ,:."":аг Оои, днижушейая вместе с дентраь масс, во ве меняющей ори- 1: ."')зев(П' В ПРаатраыатне. Вращение опиоываетая аледгюшим уравнением " '-.а' таоремай моментов в $ 4) ь Ы и' ь — 1аьл — момент импУльса твеРдога тела относительно / , юрахадншей через центр масс, (ь( — момент внешних аил '~~~уктелько той же ааи.

1е — мььшвт инерции, Пу — угловая ( ~фпть. Важно подчеркнуть, ао вращение твердого тела вохруг днййьшайав ООИ„ЩОХОДШаай ЧЕРЕЗ ЮвнтР Маее, ОннанзаЕтаЯ таЧНО ( тфЦУАКВ, уразнени6ЬЬ чта И Враашнне Вохр)г НедоквзхНОЙ Оаы. ;-'ф» вычналения кинетической энергии твердого тела, аовершаюдаьь):плоское движение, аледует пользоваться теоремой Кевига, аог- ) лаана которой в Чс* 1ь ьа' Ке — .ь 2 2 г)М .Ча — акоуаать ЦентРа ьааа. Задачи а решениями :,'Пкпн Радиуса (( О моментам инеРции 1О аватызаетаЯ е наклеыдай плоакаати.

Считая, что движение плака янляетая плоахим и видение п)Х>исходит без нраакельзызания, найти ускорение Венгра дирка,: Пщаделкть минвыдльнае значение ковЩициента трения„при каэщоы атауготвует щаавальзывеыве. угол наклона плоскости к го- РКЗОИИУ а( ;; Щйрже пвикение диска происходит под дейатвием трех силь аилм тяжести тач анды рееьяьн Х:..',з( .

а и плоскости М и силы трения Г (риа. Б.1) . Уравнение движения центра ьааа диана инеет внд Ф а$ аь ьы, = м бе . 5) - Р. (Б.1) Риа. 6.1 о1ьхкеывая зто уравнение в проекции на оаь ОХ, параллельную на)манной плоаноати, алеем ючььуа = м~ь(ьд — Н. (6.2) Уравнение врмления лисха вохруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс, срезу запишем в проекции нв ось вращения: 12= г(чэ (6. 3) (6.4) Ыс" Ей Сбьединяя ураынения (6.2)-(6.4), наледям усиорение центра масс диска чо в(ад, Ыс = (6.6) 4г 1./(.щ') и силу трения мехлу дисхом и наклонной плосхостьв ле Вне Е= )эгг4. 1 /~ „(йх)) 3' Посхольэу ыахсиывэьно воаиожыое значение силы трения похоя свяаэно с хоэф(вциевгом трения /и ссотысмением = /э й) = /э «э ба сова(, просиельзыванил не будет, если (6.6) Гл ГИех 1» вйв е( Р(',4 1./( Пэ)) б Стсвда находим условие, накладываемое на ховрфзциент трения, где ьо У(.

° [6.7) )ово т / ~'" ьмйх14+1, (евйз3 В частности, вали диск является однородным,то 1 = ве(2 гх и х ) )'~ «че и где й м е(ьз/с(й - угловое ускорение, положительное направление жоторого ухаэано на рис. 6.1 стрелкой. Сила тякести и сила реал, ции иыщст относительно данной оси нулевые мщзенты. При отсутствии проскальзывания между углоыым 2 и линейным эу усжореныяВи существует простая связь: С ханны усхорением булет опусхаться хатуаха массы М с моментом инерции ?а . если ы нити, намотанной на хатувлу, подзевен еще груз массы пч (рис. 6 2).

Ревеыщ Сбознечмю через Т и Т натяже- т 2 ния верхней и нижней нитей, чте и чы - уса хорения центра масс катузмн и грува, 6- уг лопес ускорение катупки. Положительное ней правление т,, соответствующее положительно- му ускорению э),, указано стрелкой. Имеем фяс, 6.2 следумдую систему уравнение: Мттс МЯ+Тт-Тт, (6 6) ис тт» цб — Тх, й (.ТЧ+ "2). Иа уйлсиил Отсутствия просхвльзыэзния нитей получаем следувщхе иыиейатвчвсэие соотыоиенияз (6.9] м(с /(2, иу лщ(с. Реввд' систему уравнений (6,8)-(6.9) находим ответ (6.10) М+бз»-ь1/Рх ти угловое ускорение верхнего блоха в системе, изображеныой на рис. 6.3.

Масон блохов и грузика олнваыовы, блохи предстаэлявт собой олдороджые диски ралнуса проскальзывание вити в блохах отсутствует. ~ц)йййэ Сбозначтм натяжение нити на разных участках хаы показано на рис. 6.3. Введем также следующие обозначения: усхоревие центра масс подввхзого блоха Чэ' ; его Угловое усыореиие 2, З усхоре- ние груээха М) ; угловое ускорение бло- ка с эвкрепхэнной соме й, ПолОжатюльвые направления й и указаны стрелкаьщ, юолокительыые ускорения подзктногс блока к грузика направлены вниз. Имеем систему уравнений аэьы= ю» — т т» 16 Т, П, (6.11', 1й~ »»Тэ Тч)(з( В системе ньщются вве нинеыатические связи 1 Ю(с=Не-Ы(, Ы(= 6.)(.

(Б.12) Решая систему уравнений (Б.П)-(6.12) и учитывая, что 1= 1-м( находим углоное ускорение нерхнего блока 2 д йэ= — „„. (6.13) Ф Е нити, намотанной на спщщыой слнородный цилинж масси М и Радиуса Р, прищщан й грузик массы м . Нить неребрсиена через блок пренебреквысй малой насев у Т (рнс. 6.4) . Найти ускорение грузика ты и ускорение ювнтра масс цылинд) Рис. Б.4 ы(с, Рассмотреть случаи качения цэ лицяра без проскальзывэння и с врос- м3 кажзываныем.

Ещеище еПилинлр сонерзает плоское ~пихание кхсль горизонтальной плоскости под действием натятеныя нити Т и силм тренз сцеплаеиы Р . Поскольку сила трения сцепления всегда прелате» вует проскальзыванию трущихся поверхностей, она направлена вротивопслозщо око(ости возыояного просиахьзывания ( и»анно так, как показано на рис. БА). Заметим, тхо до реюения задачи установить правильное направление силы сцеплеывя удается далеко не нсегда. Вместе с тем, это и несбвзатедьно, посксльну юстинное направление скзы сцепления мотет быть найдено после реаения задачи путем вывлнаа анака получившегося дяя нее выражения. Если Ю(» З= — м— (( 2(1 ре щ;:састеыу (6.14)-(6.16), нвхсдиы 9 „М Я (6.16) 4+ — 2+ — э+3 „„ ЗМ ЪМ Ь) 6 та щэ» учнтнфзя, что сила трения сцепления снаэана с коэффициентом трения р~ ссотнопением ~4) Мц, ыахщрщл что пРоскальзызанза не бУдет, если 4 )ый~м 8+3Ц Рассзюйрим тепеРь слУчай, хогда )м ( Ул мэ„.

ПРи этом возйвкщат,относительное перемещение позе(щыостэй вилики)м и окщасВ'.очках касания. Сила трения дсотигает маисиэщльного значим(й н становится разной ». (ы Мч (6.18) ".~» данных щщачи сила спеплеыия половите.'льна, то ее при.»аэ»- -'~"~ц~щ выбрано прэввлыв, если отрицательно, тс ее матэн~- нов й»(ю);щьзеиие протмвосслсино выбранному. ')6)ивеэще тел ыходязщх В систтлу списывается Оледующиьщ Мы,=т Г, х '-Мй'й= (Т-Г)й юэ э( — вюр — Т вЂ” угловое ускорение пиливлра.

Рассмотрен вначаяе случай,''д(огда сила сцепления достаточна дзя того, чтобы обеспечить отсу)отвис проскальзывания при качении цилиндра. Пущ отсутствии прослыщзыввния справедливы следупюж кенеыатические соотнспес» (6.16) зв Одновременно становятся яесправедливыми иинеыатнческкз соотнося, Ння (6.16). Озяаз падлу УСКОРЕНИНМИ Что, ЬН И Б тснзрз Оа сывзется одним соотношением, которое легко составить, учитывая, что ускорение точки схода нити с цилиндра ( иак и любой его тоь ии) складывается из ускорения поступательного переыезмыяя цилиь дра и линейного ускоренна, связанного с вращением.

Имеем (6.18 Юзт(стй (С. Такам образом, в случае двикения с проскальзыванием систеьм урз пеняй (6.14) должна быть дополнена оостнсаениями (6.18),(Б.19) . В итоге получаем э -аз „. "+ага ~"~ Ьи.ьМ '3 ' В~+~~ зййап(5„~. Оплоиному цилиндру массы М и ралиуса (т сообщенз в)мщение вокруг его оси с угловой скоростью И». Вращзьззайся ць линдр жзадут на горизонтальную новерхность и предоставляют смл му себе. Яилинкр начинает двагатьоя по плоскости, причем номЩе акант трения скольжения мекку цинипи)ом и плоскостью ранен рл Определить, терев какое время Б движение пялинд(м перейкет з чистое хачеыве беэ скозьязнии.

Как перераспредахится кинетическая анергия, которую имел цилинлр перед началом скольтеняят Уймйнквй. Пилиндр движется по горизоиьэльной поверхности пя лействием силы трения сколь|юнит и (Рис. 6 6). Уравнения динамики мзэха м Чс аз з )4 зус ~, Р)о [6.2) р с. 6.6 2)(В,ат) )" б(с Знак "минус" в псслелнем уравнении обусловлен тем, что момент силы трения вызывает отркьмтаиьное угловое ускорение. Выражая из (6.21) ускорение пентра масс и угловое ускоренна пилкндра, под)чаем диббмренциальные уравнения (6.22) :%'.:~/ ай у Сом П)О- -~-"4 Ф.