М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 11

9.2. Выражение компонент тензороа деформации через перемещения 67 На этот раз используем компоненты ю в базисе деформированного состо- яния; то = токэ", Получаем формулу ец = — (~7;и + ~7 то; — Ч.тдьЧ аь~ . 2 (9.12) Обе формулы (9.1!) и (9.12) верны для компонент з; в лагранжевой системе координат. В пространственной системе координат формулы (9.11) верны для компонент тензора с, а формулы (9.12) верны для компонент тензора Г. При этом в первом случае вектор перемещения то нужно рассматривать как функцию координат его начала: то = то'(яо)э!(нзь), а во втором — как функцию координат его конца; то = ш'(и )э;(и ). Рассмотрим случай, когда производные компонент вектора перемешения малы, т.

е. ч;ток << 1, или хт;зоь17ззо" « ~7;тою Если нелинейными членами в выражениях компонент тензора деформаций через производные компонент вектора перемещения пренебречь (так как они — малые высшего порядка), то получим теорию, которая называется геометрически линейной. Каков физический смысл условия малости производных вектора перемешения? Рассмотрим, например, связь между э; и э;: д э, = э, + —. = э; + ~7;Й"эь = (д," + %7;Й ) эь. д(' 1 1 еб — — -%67+ %фд = -(17гву+ T,йч), 2 2 так как учитываются только малые первого порядка. В декартовой системе координат эти выражения имеют вид (9.13) Векторы э, и э; отличаются за счет !7,то".

Но это векторы базиса лагранжевой системы координат, которые движутся и деформируются вместе со средой. Следовательно, малость производных Тт,ток означает малость деформаций и малость относительных поворотов частицы. Бывают ситуации, когда деформации малы, а относительные повороты не малы. Например, при сильном изгибании металлической пластинки или стержня удлинения малы, а относительные повороты велики. Поэтому теории деформирования пластин, оболочек и стержней', как правило, геометрически нелинейны. Для тел, характерные размеры которых во всех направлениях одинаковы, малость деформаций означает и малость относительных поворотов.

В геометрически-линейной теории выражения компонент тензора деформаций через производные перемещений имеют вид 68 Лекция 9 Выведем еще формулу для коэффициента относительного изменения объема д в геометрически линейной теории. При малых деформациях д = А(е) = еь + ез. + ез.. г з Из формул (9.13) видно, что е1. + е~. + ез. = %'1е + ~гзга + Ч1га = 17;гл' = гйч и". Напомним, что в любой системе координат дивергенция вектора определяется формулой гйтв1 = ч;и'. В декартовых координатах дге двгз дгег фт гд — + — + —. дж др да Итак, в случае малых деформаций и маль1х относительных поворотов коэффициент относительного изменения объема равен дивергенции вектора перемещений: д = б1чгб, Лекция 10 1О.1.

Уравнения совместности для компонент тензора деформаций 10.2. Тензор скоростей деформаций 10.3. Связь между компонентами тензоров деформаций н скоростей деформаций 10.4. Выражение компонент тензора скоростей деформаций через компоненты вектора скорости 10.5. Механический смысл компонент тензора скоростей деформаций 10.1. Уравнения совместности для компонент тенаора деформаций Напишем выражения компонент тензора деформаций через компоненты вектора перемещения (1О.1) е; = -Яв + 171 иЧ + т~;и '7 вь). 2 Видно, что шесть компонент е; выражаются через три функции аь.

Поэтому сн не могут быть произвольными функциями координат„а должны удовлетворять определенным уравнениям, которые символически запишем в внле В;м(е; ) =О. (10.2) Эти уравнения называются уравнениями совместности деформаций, Такое название можно обьяснить следующим образом. Если соотношения 2 -(17;юу + Т~~Щ + 17;ю Т7ушь) = еб Рассматривать как систему уравнений для определеиия яд при заданных с;,, то, очевидно, эта система в общем случае не имеет решения, так как она состоит из шести уравнений, а искомых функций только 3.

Чтобы такая система имела решение, правые части должны удовлетворять некоторым условиям, которые и называются уравнениями совместности. Возможны два способа получения уравнений совместности. Лекция 10 Первый способ состоит в том, чтобы исключит» и, из системы уравнений (!О.1). Это несложно сделать в случае, когда можно пренебречь нелинейными членами в этих уравнениях. Если же нелинейные члены существенны, то проще использовать другой способ, основанный на рассмотрении тензоров кривизны пространств начального и деформированного состояний. А именно, пусть имеем лагранжеву систему коррлинат, тогда компоненты тензора деформаций определяются равенствами 1 сб = — (уб — дб).

2 Известно, что лля компонент тензора кривизны Римана — Кристоффеля В.|„. имеют место формулы й- дГ" дГй. й. |у и а| й а| й Л.„': = —. — — +Г, Г | — ГСГ ц дс| дсз У |а| | где Г|й — символы Кристоффеля, причем й ! й / дун дуга дуб Гб = -У ' (х —. + — — — /. 2 ~, дсУ дс' д(',/ Поэтому Л.ц, явлются функциями компонент метрической матрицы и их й производных по,координатам, то есть Л - дь-( дУ О~, '~' дят ' дСтдСй,/ В деформированном состоянии тело занимает некоторую область евклидова врос цзанства, значит й... ( дУа|| д Уад "з(," дб 'Ж д(й/ Что можно сказать про компоненты ф„.

( дУад д Уад ! чц(, '~' дР ' дгтд~й/ тензора кривизны в пространстве начального состояния? Для компонент Уал имеем соотношения (10.3) лад — Уад 2Сад ЯСНО, ЧТО ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СОФЫ ) ВЕЛИЧИНЪ| )ьйй- ( два» д вар ! "Ц~" дат ' д~тдб / 10.1. Уравнения совместности дпя компонент тенаорв деформаций 71 могут оказаться не равными нулю.

Однако, если начальное состояние связано с актуальным (деформированным) состоянием некоторым непрерывным перемещением в евклидовом пространстве, то тело в начальном состоянии тоже находится в евклидовом пространстве. Тогда должны выполняться равенства 1ктк... 1' овод д вод 1 "'(,~'"' ор ' ого~' / (10.4) + в! 6мы — 6вт;бмк — — О.

дтсм дтср дзен дзвук абзац ОраР О~ ОРк дя др +Р (~ы 6- ~ 6' Л = . (10.5) Здесь используются обозначения о „, ос„, ас,, гаек = —. + — — —, в т д1т д(к др а до — это контравариантные компоненты метрического тензора. Матрица (О'т), как известно, равна матрице, обратной матрице (дт ), то есть ф) = (дб — 2сб) Система (10.5) содержит 81 уравнение, так как 1, 7', я, 1 могут принимать значения 1, 2, 3, но можно показать, что только б из них независимы. В частности, легко видеть, что Вна = — 0 Воы = Вуцк = — Вттм = — В,,ы и т.д. Если деформации малы, то можно пренебречь нелинейными членами и получить линеаризованные уравнения совместности, которые называются уравнениями Сеи — Венана. В декартовой системе координат уравнения Сен — Венана имеют внд д'ага д'вр д'си д'еук д(т'д~' д~'д~к д(та(" д('д~' а в произвольной системе координат: '7 17~ем + 17;Чке ~ — сут7кей — ~7;17~в к = О.

Подставляя в эти равенства соотношения (10.3), получим условия на компоненты тензора деформаций, которые и являются уравнениями совместности. Зная конкретные выражения компонент тензора кривизны через компоненты метрической матрицы, можно написать уравнения совместности для е;т в явном виде. Приведем без вывода уравнения совместности при конечных деформациях, когда в конечном состоянии система координат декартова: Лев ц тб Покажем, как можно получить уравнения (10.б) первым способом, то есть исключением вгь из выражений компонент тензора деформаций через производные компонент вектора перемещений.

В случае малых деформаций и чалых относительных перемещений ! е,г = -Лгвг+ 17гвгг). 2 Будем использовать декартову систему координат, тогда где х = х, х = у, х = х. Следовательно, г 3 ! / двг~ дгиг '! дх' "" ду' *" 2)хду дх)' Отсюда дге„дгвг~ дгеш дггвг дге,г дгвг~ дгвгг 2 — = — + —, дуг дугдх' дхг дхгду дхду дхдуг дх'ду' Складывая первые два уравнения и вычитая последнее, получим д'е„дд'гш д'е,„ дуг дхг дхду Это уравнение из системы (10.6), соответствующее г = !с = 1, г = 1 = 2.

)ь)!алогично можно вывести остальные уравнения системы (!О.б). Подчеркнем, что уравнения совместности выводятся из того факта, что начальное и конечное состояния получаются друг из друга непрерывным перемещением в евклндовом пространстве, то есть из факта существования вектора перемещений, а значит, и соотношений (10.1). Верно и обратное: если выполнены уравнения совместности, то существует вектор перемещения из начальною состояния в конечное (так как оба состояния находятся в евклидовом пространстве), н, следовательно, верны соотношения (10.1). Это означает, что системы уравнений (10.!) и (10.5) равносильны.

При постановке задачи можно использовать либо соотношения (10.1), либо соотиошепия (10.5). Часто, если нужно вычислить только деформации и напряжения, а знание перемещений не нужно, используют соотношения (10.5), а если интересуются перемещениями, то используют соотношения (10.1). Уравнения совместности не выполняются, если начальное состояние выбрано так, что область, занятая телом в начальном состоянии, не может быть получена непрерывным перемещением нз конечного. Например, в теории упругости естественно принимать за начальное состояние то, в котором напряжения во всех точках средьг отсутствуют.

10.1. Уравнения совместности Лля компонент тензорв деформаций 73 Однако, если в среде при отсутствии внешних сил уже имеются внутренние напряжения, например, за счет предварительного неравномерного нагрева, то такое начальное состояние (свободное от напряжений) в общем случае можно ввести, только если разрезать тело на мелкие кусочки и дать им свободно «расправиться», перейти к ненапряженному состоянию (тогда перемещения не будут непрерывными и однозначными), или можно это состояние ввести мысленно без разрезаний, тогда начальное состояние будет, вообще говоря, в неевклидовом пространстве.