М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 10

Рассмотрим малую частицу среды, имевшую в начальном состоянии форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами, направленными по координатным осям, то есть параллелепипеда, построенного на векторах д('зн Ы('эз, И('эз. Объем этого параллелепипеда равен Л = г!('й(~г!(~. При деформации этот параллелепипед переходит в параллелепипед, причем, так как в главной системе е; = 0 при 8 ф у, то деформированный Рис. 8.3. Малый материальный параллелепипед: а! а начальном состоянии, б! в деформированном состоянии Если малы не только деформации, но и относительные повороты, то с точностью до малых высшего порядка тензоры Грина и Альманси совпадают. Поэтому в теориях, предназначенных для описания малых деформаций и малых относительных поворотов, эти тензоры не различают и говорят просто о тензоре деформаций. Отметим еше формулы, связывающие главные компоненты тензоров Грина н Альманси с коэффициентами относительного удлинения е, отрезков, лежащих вдоль координатных осей, которые следуют из (8.6), (8.7): 8.3.

формулы длл величины относительного изменение обьема 61 гт гт з=, параллелепипед будет снова прямоугольным с ребрами г!С эы г(( эг, г!С эз,' его объем равен гП/ = !эг!!эг!!эз!4(гг!4 Ж . С использованием формул (8.6), (8.8) получаем следующие две формулы для величины относительного изменения объема д 4)~ - 4!е д= й~Ъ =ч н2у '-42 чцг — ~, (8.9) гг)т — г(ьто д— г!(те ! — ! чт — /т .,'.4ч -и Здесь гьгм 12 — первый, второй и третий инварианты тензоров деформаций Грина и Альманси. Выражения первою, второго и третьего инвариантов через главные компоненты тензора и через компоненты в произвольной системе координат таковы: 1г —- ег + ег + ез = дг еб, гз 12 =егег+егез+еФг = -(1 — е егг) 1т 2 гз 2 1з = е гагез = бег (е().

Лекция 9 9д. Компоненты тензоров деформаций Грина с и Апьманси Е в пространственной системе координат 9.2. Выражение компонент тензоров деформации через производные ст компонент вектора перемещения 9.1. Компоненты тензоров деформаций Грина 8 и Альманси Е в пространственной системе координат В лекции 7 были введены тензоры с и б с использованием лагранжевой системы координат. Повторим кратко этот вывод.

Рассмотрим малую частицу сплошной среды и какую-нибудь точку М с координатами (' внутри нее. Рассмотрим также точку М' с координатами (' + пГ, близкую к точке М. Вектор ММ в начальном состоянии есть г)ге = И('э;, а в конечном — Йг" = Ы( э;, причем по определению лагранжевых координат компоненты ~Ц векторов Иге и пг — одинаковы. Рассмотрим разность квадратов длин материального отрезка ММ в конечном и начальном состояниях: ~й~'- ~й-0~' = ае'- И80 = Рб ЕйŠ— %ФЕЕ(з = (дб - Мб)д( аЕ. Введем обозначение 1 (рб ро). 2 Тогда г)~ — д~~ = 2е;ф('4~7. (9.1) Так как е;.

в свертке с компонентами тензора д('И~з дают скаляр, то е; — компоненты тензора, причем, если И( понимаются как компоненты вектора г2ге в базисе э; в начальном состоянии, то е; должны быть компонентами тензора тоже в базисе э;. Соответственно, вводится тензор б = гп э'эз — тензор деформаций Грина. 9.1. Компоненты теиэорое деформация Грина ь и Лпьмаиси Г 63 Если же г!(' понимаются как компоненты вектора г!г в базисе э; в леформированном состоянии, то еб должны быть компонентами некоторого тензора в базисе э;.

Соответственно, вводится тензор Е =ебэ э 3 у — тензор деформаций Альманси. Итак, в лагранжевой системе координат для ковариантных компонент как тензора Грина, так и тензора Альманси верны формулы Получим выражения для компонент тензоров деформаций в пространственной системе координат х!. Эта система может быть криволинейной, тогда векторы базиса э; и компоненты метрической матрицы 9, — функции координат. Пусть в начальном состоянии координаты точки М есть хе, а координаты точки М есть хо + пхе Тогда ММ = г(ге = г(хеэг(хе). В конечном же состоянии координаты точки М есть хг и координаты точки М' есть хг+ дх', а ММ = г2г" = г2хгэ!(х').

Здесь, как обычно, под х', когда они выступают как аргументы в обозначении функций от координат, нужно понимать набор х, х, х; например ! 2 3, гьх эг(х ) = ггх э~ (х, х, х ) + гьх ээ(х, х, х ) + Йх э1 (х, х, х ), Рассмотрим разность квадратов длин материального отрезка ММ в конечном и начальном состояниях 4е — т(ае = 9б(х )г!х пх' — 9б(хо)пхог!хе (9.2) где хе, х — координаты одной и той же индивидуальной точки в начальном и деформированном состояниях. Координаты точек в деформированном состоянии связаны с их координатами в начальном положении: х' = х (хе) и, соответственно, наоборот хе — — хе(х ).

Поэтому дхт "хэ = ~ "хгь дхо дх' Их' = — г!хю дх,' 2 2 ! дх дх ь ! г(а — йае = 9Г(х') — — г(хо" 'е — 9б(хе)М!х'. дх дх о о Заменим в первом слагаемом в правой части инлексы суммирования ( на 2г, А на (, а также т' на (, ! на т'. Тогда выражение для разности Вернемся к рассмотрению разности квадратов длин отрезков в деформи- рованном и начальном состояниях. Подставив в равенство (9. 2) выражение лля Йх через Йхе~, получим Лекция 9 квадратов длин малого отрезка после и до деформации запишется в виде сои — с(ао = агдас(х') —, — дсс'(хо)) ссхос!хм дхо дхо Вводя обозначения , дхьдхс дс = — ! дм(х') —.—. — д; (хо) 2 дхо дх(с о с (9.З) 3 ь — с о о Можно также пойти по второму пути вычисления с(в — йоо, выразив 2 2 с(хо через с(хь, тогда по пво = 99(х )ссх ссх дсс(хо)ссхоссхо = = д; (х ) с!х йхс — 9; (хо) — — с2х Их = с с с диод*о ь с сс ц о дед с кс с ~ ~и с дх, дх, о с = 9 (х)-9 (хо) —.— )дхд*у, б дхс дхс) то есть — с2во = 2 асс с!х'с2х (9.б) где ес = -(хд (*с) -дь(*~) — ' — ').

2 ~ с дхс дхс) (9.7) Формулы (9.7) дают выражения для ес; — компонент тензора деформаций Альманси в пространственной системе координат, в чем можно убедиться, если сравнить формулы (9.6) и (9.!), считая в формуле (9.!) лагранжеву систему в конечном состоянии совпедающей с пространственной.

получим следуюшую формулу: !а' — с!во = 29ссдхАхо (9.4) Сравнивая формулы (9, !) и (9.4), в первой из которых нужно предполагать лагранжеву систему координат в начальном состоянии совпадающей с пространственной, видим, что 99, определяемые формулой (9.3), являются компонентами тензора деформаций Грина в пространственной системе координат.

Если пространственная система координат является декартовой, то ды = ссьс,' поэтому для компонент тензора с' в декартовой системе координат верны формулы 9.2. Выражение компонент тензоров деформации через перемещения 65 «=! (9.8) 9.2. Выражение компонент тенаоров деформации череа проиаводные от компонент вектора перемещения Вектором перемещения и" индивидуальной точки среды М называется вектор, соединяющий точки, где находится индивидуальная точка М в начальном и конечном состояниях среды: тд =г"-ге, где га, г — радиус-векторы точки М в начальном и конечном состояниях.

Ясно, что если мы знаем векторы перемещения всех точек, то можно вычислить компоненты тензора деформаций. О Рис. 9.1. Вектор перемещения индивидуальной точки М Будем выводить формулы, пользуясь лагранжевой системой координат ~'. Продифференцируем вектор перемещения по коорлинате ('. дд д.- дг; —. = —. — —. = Э1 — ЭЬ д(1 дс' д(г Из этой формулы получаем дтд 1= 1 дат ° дтд э;=э;+ —., 1 к д~> Если пространственная система координат — декартова, то компоненты метрической матрицы в ней имеют вид д; = 4 . Тогда выражения для компонент тензора Альманси принимают вид ее Лекция 9 Рассмотрим компоненты тензора деформации, используя выражения для компонент метрической матрицы в виде скалярных произведений векторов базиса до — — (э; эу): 1 1 е„= -(д;; — ф~) = — ((э; э,) — (э; э,)).

2 2 (9.9) Воспользовавшись только что выведенным выражением для э;, получим е, = — э, + —,. э. + —. — (э; эу) — эу + — э; + —,. —.. (9.10) Так как векторы»в можно разложить как по ковариантному базису э»..

»в=»в эы так и по контравариантному базису э": Ы = Ю»э"", д»в»» двэ —. =С7Ф э», —. ='7Ф»э . Д(Ф Д($ Подставив зти выражении в равенство (9.10), будем иметь 1( е;. = — ~~7ф» (э» ° эу) +~71й» (э» э,) +(7!»б"'71ф! (эь э')1. р »,' и Ф С учетом того, что (э' ° эу) = д,", получаем выражения ковариантных компонент тензоров деформаций в лагранжевой системе координат через производные от компонент вектора перемещения = — фг79+ 7 ф;+ (7,»б»'(7 гр»). 2 (9.11) Еще одна формула для е;, через и» может быть получена, если в формуле (9.9) воспользоваться выражением для векторов базиса в начальном состоянии через векторы базиса в конечном состоянии и производные вектора перемещения: 1 е; = -((э; э ) — (э; ээ)) = 2 — э; эу — э,— —, э — —.