М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 9

Тенэоры деформаций Грина и Альменси Таблица 7 З Началыюе н конечное состояния малой окрестности точки М Начальное состояние Деформированное состояние Тогда Ыэ — гЬ~ — — 2абь(6'<Кт. (7.6) Тензором деформаций Грина (или лагранжевы м тензором деформаций) называют тензор Г— 1 2 =е;'з э где Гм определены формулами (7.5), а э' — контравариантные векторы базиса лагранжевой системы координат в начальном состоянии. Теизором деформаций Альмаиси (или эйлеровым тензором деформаций) называют тепзор (7.7) Е = с; э2э2, (7.8) где е, определены формулами (7.5), а з' — контравариантные векторы базиса лагранжевой системы координат в деформированном состоянии.

Обсудим следующие 3 вопроса: !. Почему величины е;. — компоненты тензора? 2. Почему ео действительно описывают деформации? 3. Зачем введен коэффициент !/2 в определении в формуле (7.5)? Ответ на первый вопрос дается на основе соотношения (7.6). В этом соотношении слева стоит скаляр (так как длина отрезка не зависит от выбоРа системы координат и не меняется при преобразовании координат); справа стоит свертка величин а," с компонентами тензора г!('г!62. Так как соотношение (7.6) выполняется при любом выборе системы координат и д6, ь!62 могут принимать произвольные значения, то е, должны преобразовываться при переходе от одной системы координат к другой по формулам преобразования ковариантных компонент тензора второго Ранга (теорема деления). Ответ на второй вопрос также основан на соотношении (7.6).

Из этого соотношениЯ видно, что если е~ = 0 длЯ всех (,7, то ь!е = ь!эв длЯ 2 2 Лекция 7 любых й(', то есть длины всех отрезков не меняются, деформации нет. И наоборот, если для любых И~' имеем аз = две~, то все е, = О, Наконец, н это главное, если известны еб и выбран какой-то отрезок до деформации (т. е.

известны дав и гГС'), то длина этого отрезка после деформации вычисляется по формуле (7.б). Огвет на третий вопрос найдем, когда будем рассматривать механический смысл компонент е; .. Обсудим еще, почему оказалось возможным ввести два разных тензора (Грина и Альманси) с совпадающими в лагранжевой системе координат ковариантными компонентами. Это действительно разные тензоры, потому что нх (совпадающие) компоненты относятся к разным базисным векторам; очевидно, что зг ~ э . В частности, компоненты этих тензоров с другим строением индексов не равны друг другу: 4 М1 ~ и е.т = еь79, ~.тг = еьУй Почему же одни и те же е; можно считать коэффициентами при разных базисных диадах эе'эт и з'эт, получая при этом тензоры? Это связано с тем, что рассматриваются лаграижевы координаты: при переходе от одной лагранжевой системы координат С' к другой ( г(~ ) векторы базиса как начального, так и деформированного состояния преобразуются с помощью одной и той же матрицы е; ° ц д(л з =э аб' Поэтому обе формулы (7.7), (7.8) определяют инвариантные объекты, представляющие собой линейные комбинации базисных диад — тензоры.

Лекция 8 8.1, Механический смысл ковариантных компонент тензоров деформаций Грина и Альмансн в лагранжевой системе координат 8.2, Главные оси и главные компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси, связи между ними 8.3. Формулы для величины относительного изменения объема при деформироаании 8.1. Механический смысл ковариантных компонент тензоров деформаций фина и Альманси в лагранжевой системе координат Для выяснения механического смысла ковариантных компонент тенюров деформаций Грина и Альманси в лагранжевой системе координат запишем формулу, определяющую этн компоненты; 1 гу = (ру ргу) 2 (8.1) учитывая, что у;~ — — (э; эу) = )э;))зу)созф;л ро — — (э; э,) =)эч))эг)созт)),", гле тД~, ф;) — углы между векторами базиса лагранжевой системы координат в начальном н конечном состояниях соответственно или, что то же Рис.ан. Лагранжева система в точке ля; а) в начальном состоянии, б) а конечном состоянии частицы Лекция 8 56 самое, межлу малыми ктатериальными отрезками, лежащими вдоль ла- гранжевых координатных осей, до и после деформации (рис.

8.1). Таким образом, ((зт! )зу! сох т)т; — !э;! (э,) созД,). (8.2) 2 Введем коэффициент относительного удлинения е малого отрезка, начальная алина которого Нас, а конечная Иа: 4с — 4%ь е= сЬс рассмотрим в начальном состоянии бесконечно малый вектор дгс = с!('эы лежащий вдоль оси ~' (рис 8 2). Рис. 6.2. Малая частица в начальном и конечном состояниях да, -бъо1 %ц!эп — %~"!э1'! '!э1! е~ = — — !. сЬм дс'1э1! !э~! Аналогично, для коэффкщиента относительного удлинения малого материального отрезка, лежац!его вдоль оси С, имеем сЬ! даст И~~1эт! (К~~зт~ )э!) е;= — — — ! с!ао д~')э;! )э;! (в этОй формуле суммирования по т нет).

Следовательно, 1э,( = (! ье;)!э!! (суммирования пот нет). Используя зти формулы, можно переписать выражения (8.2) в виде е, = — ((! -1- е;)(! + еу) соя т)тб — созга!эт~)э ~ ! 2 (8.3) ! ' Его длина гЬс~ = 4( !з~ !. Если этот вектор соответствует материальному отрезку, то в результате деформации он переходит в вектор дг" = И(1э~ с той же самой величиной т(с'; длина тгг есть с!а~ = тзе !э~ ), Поэтому коэффициент относительного удлинения е~ малого отрезка, лежащего вдоль оси (, есть 8.1. Мавднический сагмрл Вил!81гуепг ге двфвйл88ртй, Я или в виде (8.4) г, = — ~созф; —...)!эг~ф. (1+ е!)(1+ еу) ) Рассмотрпл~ механический смысл компонент еи, етт, ем.

При т' = т' писем фи=О,Д;=О, еи = — 1(1 + е;)' — 1] !э!!' = ~ ег -ь -е,' ) ~э", 1~, г 1, г',)'' Таким образом, диагональные элементы матрицы компонент теизора деформаций связаны только с относительным удлинением отрезков, лежащих вдоль координатных осей. Если в начальном положении лаграпжева система координат — декартова, то (э,( = 1, тогда ен = е;+-е; т Если деформации малы, то есть -е, « е;, то с точностью до малых первого порядка еи = еь Итак, в случае малых деформаций диагональные элементы матрицы компонент теизора деформаций — это коэффициенты втносителыюго удлинения материальных отрезков, лежащих вдоль координатных осей лаграпжсвой системы координат (если векторы базиса в пачалыюм состоянии — сдииичные).

Теперь ясно, зачем был введен множитель 1/2 в формуле (8. !), определяющей компоненты тензора деформаций. Без этого множителя диагональные компоненты тензора малых деформаций быпи бы равны удвоенным коэффициентам относительного удлинения соответствующих материальных отрезков. Рассмотрим теперь механический смысл е;у при 1 ~ т'. Формулы (8.3) и (8.4) показывают, что эти компоненты связаны как с относительпыкш удлинениями волокон, лежащих вдоль осев ( и ~/, так и с изменением углов между этими волокнами. Особенно ясным становится механический смысл е; при 1 ф 1 в случае, когда в начальном положении лагранжева система координат — декартова. Тогла !э!( = 1, г~," = я/2 при 1 ~ т'.

Введем обозначение 7Г Хгу = тяф — учу = — — фб. 2 Тогда 1 е; = -(1+е;)(1+е )з!их; при!~2. 2 В частности, если е; = 0 прп ! ~ т', то зз = О, 18; = в/2, то есть иервоначально прямые углы между волокнами вдаль координатных осей Лекция 8 ! егг = Хгг пРи т ФЗ 2 Таким образом, в случае малых деформаций гй при г ~ г — это половина изменения угла межву материатьными отрезками, лежащими вдоль координатных осей ~', (г соответственно, если в начальном состоянии в качестве лагранжевой системы выбрана декартова система координат. Итак, если система координат в начальном положении декартова, то в случае малых деформаций матрица компонент е; такова: 1 1 е~ -Х~г -Х~з 2 2 1 1 2 -Хг~ ег -Хгз 2 (8.5) 1 1 -Хг -Хл е 2 2 Заметим, что в инженерной практике часто лля описания деформаций используется матрица, аналогичная (8.5), но без множителей 1/2 у внедиа~ональных элементов.

В практических расчетах, в которых нет нужды переходить от одной системы координат к другой, это вполне допустимо, надо только иметь в виду, что элементы такой матрицы не являются компонентами тензора. В.2. Главные оси и главные компоненты тензоров деформаций фина и Альманси, связи между ними Выберем в качестве начальной лагранжевой системы главную систему координат для тензора Грина с (это, в частности, значит, что она ортогональная декартова с единичными векторами базиса). Тогда 91г) = О 1 О, (е;г) = О егг О = О Зг О Здесь е; — главные значения тензора Г, Для лагранжевой системы в деформированном состоянии имеем угг = ргг. -ь 2е;, то есть метрическая лагранжевой системы координат остаются прямыми в результате такой деформации.

В случае малых деформаций е; « 1, Вп Х;г Х,г и 8.2. Главные осн и главные коылоненгы гензцогзедзз!Воззыеггнд Ь9 матрица имеет вид !+28, О О (Озз) = О 1+ гЕ, О О О 1 +2ЕЗ Таким образом, в деформированном состоянии лагранжева система снова ортогональная и матрица еб — диагональная. Однако эта система не является главной для тензора деформаций Е, потому что векторы базиса не единичные: !э1! = з/вн = з/1+ ггг = (1+ е;)1э;! = (1+ е;).

(8.б) Введем единичные векторы базиса ег, направленные по осям лагранжевой системы в деформированном состоянии: ! э; э, э е; = = = = =, =э'Ьг1+ 24 й з/1 +2ЕЗ Й (в рассматриваемой системе координат направления векторов э"; совпадают с направлениями векторов э ! и 1эз! = 1/!э;(, так как система ортогональная). Система с векторами базиса ег будет главной для тензора Е; обозначим его компоненты в этом базисе (главные компоненты) через Г.

Тензор Е записывается в виде ! г =г=г =зрз Е=е|гэ э +822э э +еззэ э Ег Ез е,е,+ Е2Е2 + — ЕЗЕЗ = 1 + 2Г~ 1 + 2Ег 1 + 2РЗ = Г~е~ег + Ггегег + Гзезез. Следовательно, связи между главными компонентами тензоров Е и Е таковы; Ег 1+ 2Е; Отсюда Г. 1 1+ 2ЕЗ = =. (8,7) 1 — 2Г ' 1 — 2ГЗ В случае малых деформаций 4 «1 и с точностью до малых высшего порядка Г =Ез =еы то есть главные значения тензоров Грина и Альмансн совпадают. Однако так как базисные векторы в начальном и в деформированном состояниях в общем случае повернуты относительно друг друга, равенство главных значений не означает совпадения тензоров Грина и Альма нси даже в случае малых деформаций. Лекция В ! !+е,= ~,/! — 2е; ! + е; = хl! + 28н (8.8) 8.3.

Формулы для величины относительного изменения объема при деформировании Так же, как тензор деформаций, величина относительного изменения объема есть локальная характеристика; разные части среды могут сжиматься или расширяться по-разному. Говоря о величине относительного изменения объема в некоторой точке среды, мы имеем в виду изменение объема малой частицы, содержащей эту точку. Так как преобразование малой окрестности любой точки среды при любой деформации является аффинным, то относительное изменение объема не зависит от формы объема. Для вычислений удобно взять частицу в форме параллелепипеда. А именно, возьмем в начальном состоянии в качестве лагранжевой системы координат декартову систему, оси которой направлены по главным осям тензора Грина.