М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Рассмотрии эту ситуацию на при- а) мере двумерного пространсгпва. Пусть мы цмеем плоскую пластпитгку — область двумерного евклидова просгпрансгпва. Пусть она изготовлена следующим обргпом. Первоначально в ее ценгпральной части было в) круговое отверопие радиуса Нь, и она находи»ась в ненапряженном состоянии. По- Рис. 10.1. Три состояния пластинтом пластинку нагрели, в резулыпате она ки: а) с внутренними напряжения- расширилась, так что радиус отверстия ми; б) освобожденное от внутрен- стал Я~ > яь, и после этого в о»ивер них напРяжений с помощью Разре- за: основной лист и вставка частичстие вклеили круговую холодную вставку ио накладываются друг на друга; Радиуса Вы так что пластинка сгпала в) освобожденное от напряжений сплошной. Если эту сплошную пласлпинку выщелкиванием в трехмерное проохладшпь до первоначальной температу- страистао ры, пю, очевидно, в пластинке возникнут внутренние напряжения даже при отсутствии внешних сил: внешние части пластинки, стремясь при охлаждении сократиться, будут давить на вшпавку, а вставка, в свою очередь, будет сопротивтяться этому сжатию.
Дальше зту пластинку можно растягивать или сжилгать внешними силачи. Пусть мы все же хотим отсчитывать деформации от ненапряжеюгого состояния, то есть принимагпь в качестве начального состояния ненапряженное состояние. Кпк получить ненапряженное состояние плаопинки не нарушая ее сплошносгпи (см. рис. )О. !)? Можно мысленно предсгпавигпь, что вставка и основная часть пластинки освобождены, оставаясь плоскими, частично накладываясь друг на друга (гпак как диамегпр освобожденнои вставки больше отвершпия в основнаи листе).
При этом перемещения между начальным и конечным состояниями не будутп однозначными. Можно получить ленапряженное состонние по другому — дагпь пластинке возможность «выщелкнуться» из плоскости в трехмерное пространство, гпо есть сделаться криволинейной. При этом актуальное состояние — область двумерного евклидова пространства, а начальное (ненапряженное) состояние находигпся в двумерном пространстве с кривизной. Нечто подобное можно себе представить, если внутренние напряжения при отсутствии внешних сил имеются в трехмерном теле, но тогда «выщелкивание» может проводиться только мысленно, в пространство большего числа измерений.
Лекция 10 10.2. Тензор скоростей деформаций Введем тензор скоростей деформации. Этот тензор, так же, как тензор деформаций, вводится в каждой точке среды. 1+ кхг Используем лагранжеву систему координат. Рассмотрим в момент времени ! некоторую точку среды с координатами С' и малую частицу среды, содержащую эту точку. Рассмотрим малые деформации, которые произошли в этой чаРис.10.2.
перемещение стице за время км. Для таких деформаций начастицы за время кх! чальным состоянием является состояние в момент 1, а конечным — состояние в момент !+кз!. Компоненты метрического тензора в начальном состоянии суть 90(!,( ), а в конечном состоянии — де(!+ Ы, ~'). Обозначим компоненты тензора малых деформаций, произошедших за время Ы, через Лег.. Компоненты теизора скоростей деформации е;. в лаграижевой системе координат определяются соотношениями е,. = !пп —. Ьеб (1 0.7) Ш-В 1.'К! Используя формулы ! г ЛЕВ 2 !9С(С + Л! ьФ) 9ГУ( ь )) получим ! 1Гд;, Ег =- —, 2 и'!' где гГд„/с!! — производная по времени при (1 = сопи. 10.3. Связь между компонентами тензоров деформаций и скоростей деформаций Найдем связь между компонентами теизоров деформаций и скоростей деформаций сначала в лагранжевой системе координат.
Дифференцируя по времени соотношения 91 = д! +2ег, получим, что в лагранжевой системе координат г!ес . ! дав гИ 2 и! Если деформации отсчитываются всегда по отношению к одному и тому же начальному состоянию, то д! = сопз!. Тогда в лагранжевой системе координат для ковариантных компонент тензора скоростей деформаций выполняются соотношения г!е;~. ег = —, й 10.3. Связь между теизорами деформаций и скоростей деформаций 75 Отметим, что в пространственной системе координат х такого соотноше- ния нет, де;~' е, д( Покажем зто, используя связи между компонентами тензора деформации в лагранжевой и эйлеровой системах координат.
Связи между лагранжевыми и зйлеровыми координатами точки даются законом движения х( = х'((',(',(, Е). Обозначим компоненты тензоров в системе х через е,", е;, а в систе( (х) (т) ме С вЂ” через е((>, е (>. б Ц Из формулы преобразования компонент тензоров при преобразовании координат имеем (й „> дх' дх' Е. =Е "' д(' д(У' Продифференцируем это соотношение по времени при постоянных лагранжевых кооодинатах. Используем, что а) дифференцирование по Е при ~ = солж и дифференцирование по ( перестановочны; б) — = и', (ее. в) е"= — и ( б ((е г) обозначение индивидуальной производной по времени д( ( яи д(' Получим дек) дх" дх' (,>де" дх' (,>дхь де' +е.
— —, +еч Ж д(( д(У и д(' д(> и д(( д(> г(е(ь;) дхь дх' (,>де" дх'дх' (,>дхь дв' дхд й дс( дс> "> дх' д(' д(> и д(( дхд дс> Переходя от системы (~ к системе координат х~, получим (х> ((> д() д~> Пеод де до (*) к к е, =е. — — = — +еьр — +е„ь —, ьр ц дха дхр гИ ддхо а дхр Лекция 1О Если деформации и скорости малы, то с точностью до малых высшего порядка и в пространственной системе координат верно соотношение ~!сод е ал— 10.4.
Выражение компонент тензора скоростей деформаций через компоненты вектора скорости Выведем выражение компонент тензора скоростей деформаций через компоненты вектора скорости. Для этого запишем выражение компонент тензора малых деформаций Ье;, произошедших за время ех1, через перемещения.
Вектор перемещений между состояниями в моменты ! и !+ Ы обозначим Лей Тогда Ье;. = -(тЕ(Ьиу) + к7 (кзвн)). ! 3 2 (10.8) г' Ьее; '! Так как !пп ~ — ~ = е;, то, согласно определению (!0.7), ш- о(к Ь1,/ ! ес = -('7;е, +!7 и,). 2 (10.9) Формулы (10.9) могут быть приняты за определение тензора скоростей деформаций. Онн верны не только в лагранжевой, но и в эйлеровой системе координат. Действительно, эти формулы связывают е," и е, в один момент времени !.
Но если мы имеем дело только с одним моментом времени, то нельзя сказать, лагранжева это система, или эйлерова. Это зависит только от поведения системы в последующие моменты — будет ли она двигаться вместе со средой, или останется неподвижной. В частности, лагранжеву систему всегда можно выбрать так, чтобы она совпадала с эйлеровой в рассматриваемый момент времени. 10.5. Механический смысл компонент тензора скоростей деформаций Механический смысл компонент тензора скоростей деформаций вдекартовой системе координат следует из формулы Ье;, е;.
= !пп —. ш.о М' В частности, для компонент е„тензора скоростей деформаций имеем (суммирования по ! нет) Ьеп ел = Иш —. ез о Л! ! О.б. Механический аиысл комлонент тенаора скоростей деформаций 77 В лекции 8 было показано, что диагональные компоненты тензора малых деформаций равны коэффициентам относительного удлинения отрезков, лежавших до деформации вдоль соответствующих осей (если система координат декартова). Следовательно, механический смысл диагональных компонент тензора скоростей деформации ен состоит в том, что ен— это скорость относительного удлинения отрезка, лежащего в данный момент вдоль оси ж', Применив такое же рассуждение для внедиагональных компонент, убедимся, что механический смысл е; при 7 ~ т в декартовой системе координат таков: это половина скорости изменения угла между материальными отрезками, лежащими в данный момент времени вдоль осей е и ат соответственно.
Лекция 11 1!.1. Формулы для скорости относительного изменения объема при движении среды 11.2. Дивергенция скорости и ее механический смысл 11.3. Формула Гаусса †Остроградско 11.4. Теорема Коши — Гельмгольца о распределении скоростей в малой окрестности любой точки сплошной среды 11.1. Формулы для скорости относительного изменения объема при движении среды Скоростью относительного изменения объема при движении среды г)В/г)1 называется предел отношения величины относительного изменения малого объема среды Ь)г за время Ь1 к Ы при Ь)г — г О и г1 -+ О; г1В ЬВ,, ЬК(1 + Ы) — ЬЦ1) — = 1пп 1ип — = 1пп Йп (11. 1) й ш- о аг-ю Ы ш-+о дг-+о 2Х(1)Ь1 Величина Ь1г(1 + Ь1) — Ь)г(1) дг.чО Ь$ (1) называется, как известно, коэффициентом относительного изменения объема, которое произошло за время гз1. Используем формулу для ЬВ, верную в случае малых деформаций (деформации, произошедшие за малое время, конечно, малы): Ь тг(1+ Ы) — Ь1г(1) )В= 1пп а - о Ь)г(1) = Д(ле,,) =де~а„, где Лег — компоненты тензора деформаций, возникших за время Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
