М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Выведем нз закона сохранения массы уравнения в таких формах, которые имеют смысл как для задач о днижении, так и для задач о равновесии. Они тоже называются уравнениями неразрывности. При выводе используется лагранжен подход: изучается, что происходит с индивидуальной частицей среды при деформировании среды. Рассмотрим малую частицу среды с массой дт. Плотность и объем этой частицы в начальном состоянии суть ро, д1го, а в конечном (актуаль- Здесь неизвестные 1г и и являкгтся функциями времени 1 и массовой лаграижевой коордииаглы т. Это уравнение линейно, в отличие от нелинейных уравнений (14. 3), (14.4), поэтому оно часто используется в газовой динамике.
Екгггь и другие преимугцеолва использования массовой лпгранжевой координоглы. Одним из них является то, что в уравнение (14.б), в отличие от урпвнения (14.4), ие входииг начальное распределение плотности в газе. 14.1. Уравнение неразрывности п лагранжеоык координатак ном) состоянии р, д!г. По закону сохранения массы рс д)г ро д$/в = р д!г, то есть — = — = д+ 1, (!4.7) Р д!го р = рс 1 — 21/+ 413 — 813 (14,8) или Ро Р= '2 «2/ «««/ / —«, 88// , Если деформации малы, то есть (!4.9) 13 « 13 « 1/ « 1, то, пренебрегая малыми высшего порядка, будем иметь уравнение нераз- рывности в теории малых деформаций (14.10) Наконец, получил/ еще одну форму уравнения неразрывности в лагранжевых координатах. Для этого используем известные выражения для элемента объема д)г = /гд д4'д4 д43, д!го = Л К'д4' д43. Здесь д = де! (д;/), д = де! (д« ), дб, д«/ — компоненты метрического тензора лаграпжевой системы координат в деформированном и начальном состояниях соответственно.
Пусть д1/ и д$~~ соответствуют одной и той же частице, только в разных ее состояниях. Тогда, так как лагранжевы координаты индивидуальных частиц не меняются при движении, д( в выражениях для д)г и д)гав одни и те же. Поэтому закон сохранения массы (14.7) дает Рв ъд Р Д' (14.11) Здесь д — коэффициент относительного изменения объема. В теории деформаций были выведены формулы (8.9) дгг — д!гв ! 8 2'-2/,««/«8/,— 2- /Л'о 2 — 28, ««2 — 8/ где /т/, /тт,./т3, 18, 13, 13 — первый, второй и третий инварианты тензоров деформаций Грина и Альманси, соответственно.
С исиользовапием этих формул закон сохранения массы приводит к следующим двум эквивалентным соотношениям, каждое из которых может быть названо уравнением неразрывности в лаграижевых переменных: 102 Лекция 14 Еще одна форма уравнения неразрывности в лагранжевых переменных используется, когда изучается движение или деформирование в декартовой системе координат и', причем с' = на. тогда г1ег (дц) = 1, д = 1, д;.
=дьг —,—., д= бег(до) = г1ег(дзч)ь = ь, д жоао где кз = деГ а функции а' = и (хат) связывают координаты индивидуальной точки до н после деформации. Получаем уравнение неразрывности в виде (14.12) — = 1~!. Р Итак, соотношения (14.2), (14.8) — (14.12) представляют собой различные формы уравнения неразрывности в лагранжевых переменных. 14.2. Закон сохранения количества движения Рассмотрим закон сохранения количества движения (импульса) сначала для материальной точки с массой пт. Запишем для нее второй закон Ньютона пб т — = Р.
гй Так как масса материальной точки постоянна, то это соотношение переписывается в виде ~й~ — =Р, гИ где называется количеством движения или импульсом точки. Теперь второй закон Ньютона можно сформулировать в виде закона сохранения количества движения: скорость изменения количества движения материальной точки равна силе, действующей на точку. Слово «сохранениек в названии закона используется в том смысле, что если на точку не действует сила (Р = 0), то ее количество движения сохраняется. Рассмотрим теперь систему 2тг материальных точек. Для л-ой точки системы выполнено уравнение 1ОЗ 14.2. Закон сохранения количества движения Здесь сила, действующая па точку, представлена в виде суммы внутренней И) силы о<, то есть силы, действующей со стороны остальных точек рассматриваемой системы, и внешней силы оь, то есть силы, действующей со стороны объектов, пе принадлежащих системе.
Складывая этн равенства для всех точек системы и учитывая, что сумма внутренних снл равна нулю согласно третьему закону Ньютона, получаем н (И где <;< = 'У п<ьбь ь=< называется количеством движения системы материальных точек. Закон сохранения количества движения системы материальных точек состоит в утверждении, что скорость изменения количества движения систел<ь< материальных точек равна сумме внешних сил, действующих на точки этой системы.
Рассмотрим теперь индивидуальный объем Р' сплошной среды, ограниченный поверхностью Е. Закон сохранения колнчествадвнжепиядля нидивнауальиого объема сплошной среды формулируется аналогично закону для системы материальных точек: скорость изменения количества движения индивидуального объема сплошной среды равна сумме внешних сил, действующих иа этот объем. Для получения математической формулировки этого закона в случае сплошной среды нужно написать выражения для количества движения объема сплошной среды и для суммы внешних сил, действующих на этот объем.
Рассмотрим прежде всего, как записывается выражение для количества движения некоторого объема К сплошной среды. Учитывая, что скорости всех точек среды разные, разобьем объем К на малые частицы, в пределах которых скорости всех точек можно считать одинаковыми. Масса малой частицы р <Лт, еколнчестводвиже ияестьдрйгколичес о 42 р Рис. 14.2.
Разные частицы лвиження всего объема К сплошной средь< равно обьема могут иметь различ- ные скорости Лекция 14 14.3. Силы, действующие на среду: массовые и поверхностные. Вектор напряжений Силы, действующие на сплошную среду, делятся на массовые и поверхностные. Массовые силы — это силы, которые действуют на частицы внутри объема н для малого объема пропорциональны его массе. Примером может служить сила тяжести. Плотность массовых сил Р— это т отношение силы к массе, точнее ~а масс Р = !1пт |'-~о рЫ Здесь ЬУ,а„— сила, действующая на частицу с массой рЬк". На бесконечно малую частицу действует сила Фр дФ; а на весь объем 1г действует сила ~ Рр юг, Например, плотность массовой силы тяжести есть ьт, где ьт — ускорение силы тяжести.
Другие примеры массовых сил; электромагнитные силы, силы инерции. Кроме массовых сил, на среду могут действовать поверхностные силы. Зто силы, которые приложены к поверхности среды, и для малого элемента поверхности пропорциональны площади этого элемента. Примером могут служить силы давления и поверхностного трения. Плотность поверхностной силы — это предел отношения силы, действующей на площадку, к площади этой площадки при стягивании площадки в точку.
Плотность поверхностной силы называется вектором напряжений. Вектор напряжений, действуаиций на площадке с нормалью Рис.!4.3. Вектор а, обозначается Р„ и определяется формулой напряжений ра '-~а ааа Р„= 1пп а а Ь~т ~ Р„йт. (14.13) Подчеркнем, что индекс и в обозначении вектора напряжений Р„ НЕ ОЗНАЧАЕТ, что сила направлена по нормали к площадке. Если это, Здесь Ьп — плошадь элемента поверхности, ЬУ„„— поверхностная сила, которая действует на этот элемент поверхности.
Для бесконечно чалого элемента поверхности йг поверхностная сила равна Р„всг, тогда на асю поверхность а объема к' действует поверхностная сила !4.5. Вид формулы дифференцирования ло времени интеграла 105 например, сила трения, то она направлена по касательной к площадке. В общем случае иаиравление Р„может быть любым. Инлекс и указывает лишь на ориентацию площадки (в частности, сторону площадки), на которую действует Р„. Нормаль считается направленной во внешнюю сторону по отношению к части среды, на которую действует рассматриваемая поверхностная сила. Если нормаль В направлена во внешнюю сторону по отношению к объему, занятому средой, то формула (!4.!3) дает выражение суммы внешних поверхностных сил, действующих на объем, ограниченный поверхностью Е. 14.4.
Математическая формулировка закона сохранения количества движения для индивидуального объема сплошной среды Закон сохранения количества движения для индивидуального объема сплошной среды утверждает, что скорость изменения количества движения индивидуального обьема свлошной среды равна сумме внешних массовых и поверхностных сил, действующих на этот объем.
Математически он формулируется так; (!4.!4) к„„ х Здесь Р, Є— плотности внешних массовых н поверхностных сил. 14.б. Еще один вид формулы дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему Получим еще один вид формулы дифференцирования по времени интеграла от некоторой функции А(8, х') по индивидуальному подвижному объему У„, удобный, когда подынтегральное выражение А(~, х') имеет специальный вид, а именно, является произведением некоторой функции Я,х') на плотность р: А((,х') = Г(1,х')р(1, х').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
