М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 15
Текст из файла (страница 15)
лишь в один (хотя и любой) момент времени, то невозможно различить, является ли 1' движу- 1 щимся (индивидуальным) или неподвижным, то есть просто некоторой выделенной областью пространства. Поэтому формула Рис.13,4. Выделеиныйпрост- (13.2) верна какдля движущегося объема ~", ранствениый объем в потоке так и для пространственного, Пусть (г— Последние два члена в правой части — это значения / на границах отрезка (а; Ь|, умноженные на скорость движения границ в сторону, внешнюю по отношению к отрезку [а; Ь), то есть соответственно на бЬ/Ж и — г(а/ц!. Скорость пЬ/й перемещения границы х = Ь(!) можно назвать с„.
Замечание. При выводе бюрмулы дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему мы рассматривали интеграл по области )г(1 + ху!) — (г(!). При эхом если у(!) нс лежит целиком внутри (г(! + хх!), как например на рис 13.3, все выкладки остаются веРпыми, пРосто /УЪ» = Ьпксм Хх( бУдет положительным лля тех областей, которые «добавляются» к (г(!) за время «М, и отрицательным лля тех областей, которые «удаляются» иэ (г(1) Ф+си) эа время Ж, так как с„по определению есть проекция скорости точки поверхности объема Рис. 1З,З. Подвижный объем 1"(!) на внешнюю нормаль к этой поверхности. С использованием формулы (13.1) закон сохранения массы может быть записан в виде: Лекция 13 96 неподвижный пространственный объем, область пространства, через которую движется среда (рис.
13.4). Дифференцирование по времени и интегрирование по неподвижной области пространства перестановочны, то есть если Ф' — неподвижный объем, то в формуле (13.2) можно просто вынести дифференцирование по 1 из-под знака интеграла, Получаем закон сохранения массы для пространственного объема, через границы которого движется срела: 6 — / р 6к' = — рея 6о. и/ (13.3) Здесь / рбмк' — масса той среды, которая в данный момент находится внутри пространственного объема $; а правая часть уравнения — это масса, поступившая за единицу времени через границы этого пространствен~юго объема. Знак «-» в правой части связан с тем, что вя — проекция б па внешнюю нормаль.
Итак, заков сохраиеиия массы для пространственного объема формулируется так: скорость изменения массы в пространственном объеме равна притоку массы через границы объема в едииицу времени. 13.4. Дифференциальное уравнение неразрывности— следствие закона сохранения массы ре„дп = ~(ри, сов п, х+ рв„сов п, у+ рп, созйз) 6гг = У'ар„др „др,х + — + — )Л" = /(6и рб) 6К дя др дз Следовательно, для непрерывного движения закон сохранения массы мо- жет бьиь записан в виде: Так как это равенство должно выполняться для любого объема, то если подынтегральное выражение непрерывно, то оно должно равняться нулю.
Дифференциальное уравнение, которое выводится из закона сохранения массы, называется уравнением яеразрывиости. Для вывода уравнения неразрывности нужно преобразовать поверхностный интеграл в соотношении (13.2) в объемный. Пусть р, б непрерывны и дифференцируемы в Г Применяем формулу Гаусса — Остроградского.
В декартовой системе координат имеем 13.б. Уравнение неразрывности лля несжимаемой среды 97, Получаем уравнение неразрывности прн эйлсровом описании: др — + г!!т ре = О. д! (! 3,4) Наполшим, что в произвольной системе координат г!!т ре = лт!(ре ). В декартовых координатах уравнение неразрывности записывается так: др дре, дре„дре, — + — + — + — =О й дя ду дл или др др др др — + еэ — + ет — + е — + р г!!т б = О, д! *д* "ду 'дл Полная (индивидуальная) производная по времени г)р/г(! определяется формулой г!р др др др др — = — +е,— +е„— +е,—, й д! 'дя "ду 'да* поэтому уравнение неразрывности можно записать так: (!3.5) Уравнения (!3.4) и (!3.5) представляют собой две различные формы уравнения неразрывности в эйлеровых переменных.
13.5. Уравнение неразрывности длп несжимаемой среды Если среда несжимаемая, то есть объем каждой ипдпвпдуалы1ой Частицы не меняется, то р = сопя! в каждой частице, то есть г!р/г!! = О. Поэтому уравнение неразрывности для несжимаемой среды имеет впд г!!т б = О. Замечание. Несжимаемая среда — это идеализированная модель. На практике все среды сжимаемые, однако часто при движсшш измспспнс обьсма частиц мало н нм можно ирспсбрсчь. Особенно широко используется модель несжимаемой среды при описании движения жидкостсть Но даже газ, если оп обтекает какоето тело с пе слишком большой скоростью, можно считать несжимаемым: налетая па препятствие, частицы, если зто возможно, п редпочитактг разлететься в стороны, чем быть сжатыми.
Лекция 14 !4.!. Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах !4.2. Закон сохранения количества движения !4.3. Силы, действующие на среду; массовые и поверхностные. Вектор напряжений !4.4. Математическая формулировка закона сохранения количества движения для индивидуального объема сплошной среды !4.5. Еще один вид формулы дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему 14.1. Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах др — +рб1тб=б, и! (14.1) где "Р др — =- — + ю т7ьр, г1! д! В лагранжевых координатах С' индивидуальная производная плотности по врсмени есть просто частная производная: др др(1, 4) д! д! 1 2 3 (через С обозначен набор С, С, С ).
Поэтому уравнение (14.1) записывается в лагранжевых координатах так — + р б'в е = О. др(), 4) дС (14.2) Это один из видов уравнения неразрывности влагранжевых коорди- ~ ~атак. Уравнение неразрыв~ юстп следует нз закона сохранения массы. В эйлеровых (пространственных) координатах оно имеет вид 14.1. Уравнение неразрыпиости а лагранжепых координатах 99 Замечание о лагрангкевых координатах. В кпчесшве лагрпггжевых координат пе обязпшелыго брать иачпльпые координагиы часпшцы. Рассмопгрилг пример, кпгда в качесгиве лаграижевой координаты удобно взять иекпшоруго массу. Пусть в пгрубе, закрыпгой с од»той оиороны иеподвизнтгой крышкой, о с другой — подвижной крышкой (поришелг) находится гпз (см.
рис. !4. !). а) Рнс. 14.! . Одномерное движение газа в трубе бр дс, — + р — = О. й дх (!4.3) Обозначим через хо лпчальиые координатны «атпиц, Если ислользовпшь хо в качестве лагранжевой коордшгаты, шо закон движения частиц (гио еслгь зависимость простраиоивенной коордипапил х огл времени и лагрпижевой координата) будет иметь вид х = х(» хо)~ а уравнение неразрывности (14.3) можно запаса»по гггак: др(1, хо) дп, дхо 4-р — * — =О. д1 дхо дх ( 14.4) Если поршень иачииаеш двигаться, то в газе возникаеиг двиясеггие. Пусигь ось х совппдает с осью трубы.
Предположим, чию газ движегггся вдоль оси трубы, шак чтп пя — — и» = О, и = п»(8,х); тогдп частицы, иаходяигиеся в каком-нибудь поперечном сечении, движутся с одной и игпй хсе скоросгиью, и, следовательно, при движении осглаются в некотором пплеречипм сечении. Эгио значит, что координаты (р, я) для каждой часпшцы осгиаюшся постоянными, и меняется со временем только координата х. Уравггеггие неразрывности (!4. !) в этом случае имеет вид Лекция !4 100 О геоидио, можно в качеопое лпгранжевой координагпы частицы взять массу т газа, зиключшвого между неподвижной крышкой и сечением, в котором раслолозкеип доииоя чптпицп. В силу зпкона сохранения массы величигга т пе меияеглся, куда бы ни сдвинулась частица (вместе со своим сечением), лоэлюму может быть выбрана и качесглве лагранжевой коордииишы (см.
Рис, 14. 1). При энгом для мпссы дт, заключенной между близкими поперечными сечениями с иачпльныии координатами хо, хо + дхо и конечными коордвгипгами х, х+ йх в силу закогш сохранения массы имеем дт = Ро дхо = Р дх Поэтому дхо р дх Ро а уравнение иерозрывлосви (14.4) принимает вид 1 д- Р !до, или — — + — — = О. (14. 5) д1 Ро дхо др рз до — + — — =О д! Ро дхо дгпюмииая, чгио дт = ро дхо, и вводя уделыгый объем 1г = 1/р, получаем урааиеиие иерпзрывиосши в виде д)г до, (14.6) д( дт' Отметим, что уравнения в формах (14.1), (14.2) выполняются автоматически, если рассматриваются задачи о равновесии среды, так как и = О, др/д1 = О. Исследование задач о ранновесии составляет основную часть теории упругости: определение деформаций и напряжений в различных коггструкциях (например, в стенах зданий), находящихся н равновесии, является основным предметом этой теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
