М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для материальной точки он является следствием закона сохранения количества движения. Для индивидуального объема сплошной среды закон сохранения момента количества движения не является следствием закона сохранения количества движения. Он рассматривается как независимый постулат, обобщающий опытные факты, и формулируется так, Скорость изменения момента количества движения индивидуального объема равна сумме моментов внешних сил и нар.
1б.2. Момент количества движения для конечного объема сплошной среды. Массовые и поверхностные пары. Вектор моментных напряжений Момент количества движения для конечного объема Р сплошной среды определяется следующим образом. Разобъем объем на сумму малых объемов с массами рддр Для малой частицы количество движения есть ороК По аналогии с материальной точкой кажется, что момент количества движения бесконечно малой частицы сплошной среды есть г х ор оГ В действительности зто не всегда так, потому что у частицы сплошной среды может быть собственный момент количества движения, связанный не с макроскопическим движением, а с внутренними вращениями, Момент количества движения малой частицы среды по определению равен '1г х б)р Л' + Фр гПг, где?гр Л' — внутренний, или собственный, момент количества движения частицы с массой р ИУ; й — плотность собственного момента количества движения. Каков физический смысл Й? Рассмотрим малую частицу сплошной среды под микроскопом; она состоит из отдельных элементарных частиц — атомов и молекул, которые обладают собственным моментом количества движения, например за счет вращения электронов вокруг ядра.
Если векторы соответствующих угловых скоростей распределены хаотически, то суммарный момент количества движения, связанный с вращением элементарных частиц, равен нулю. Тогда й равен нулю. Если же имеегся некоторая упорядоченность вращений элементарных частиц, то суммарный собственный момент может быть отличен от нуля. Такая упорядоченность может возникать, в частности, под действием магнитного поля. Собственный момент количества движения может быть связан не только с вращением внутри атомов.
Например, если среда предстаюшет собой $16 Лв ц я1Е суспензию, взвесь твердых частиц в жидкости, или просто поток твердых частиц (камней, зерен и т.л.), то собственный момент количества движения может возникать из-за вращения этих твердых частиц. Сумма элементарных моментов количества движения внутри малой РИС. 16.1, МОМЕНТЫ ВЕЛИЧЕСтаа частицы срелы, леленная на массу этой движения элементарных частиц частицы — это плотность собственно- внутри среды го момента й.
Если среда не содержит вращающихся упорядоченно частиц, и нет электромагнитных эффектов, то й = О, Напишем выражение для суммы моментов внешних сил, Для малой частицы с массой рддр момент массовых сил равен [г х Р]р дК Сумма моментов внешних массовых сил, действующих на весь объем р; равна / [г х Р[рпК Поверхностная сила, действующая на элемент поверхности среды оп, равна Узвде, ее момент равен [г х Р„[оп. Сумма моментов внешних поверхностных сил, действующих на всю поверхность Е рассматриваемого объема среды, равна [г х Р„[ оп. Е Таким образом, сумма моментов внешних сил, действующих на объем И с поверхностью Е, равна [г х Р[р гПг + / [г х Р„[ йт.
На среду могут действовать также пары сил. Пары сил можно разделить на массовые и поверхностные. Массовые иарм действуют на каждую частицу в объеме среды. Их момент для малого объема среды пропорционален его массе. Поверхностные пары приложены к поверхности среды. Их момент для малого элемента поверхности пропорционален плошади этого элемента.
Плотность момента массовых пар обозначим буквой Ь; тогда момент массовых пар, действующих на малую частицу с массой р Л; есть лр д$; а действующих на весь объем И вЂ” ~ Ьр оК 16,2. Моменты внешних снл ч пар 117 Момент поверхностных пар, действующих на единичную плошадку, называется плотностью момента поверхностных пар или вектором момептиых напряжений и обозначается М„: скМ М„= 1!тп д оЬа где ЬЛ1 — момент поверхностных пар,действующих на плошадку кха. Момент пар, действующих на бесконечно малую плошадку да, равен Мида. Рис.
16.2. Вектор моментиык Итак, сУмма моментов внешних паР,дей- „а„ря„ения М ствуюших на объем )т, записывается в виде Ьр Й1л + М„до. и Какую природу могут иметь массовые парму Представим себе среду, соСтаятут иЗ «СтрЕЛОК Каилаеал 1яачаглиЧЕННЫХ СтЕржЕНЬКОВ).
ВчагаатлОМ поле каждая стрелка стремится повернуться; этно значит, что на каждую частииу среды со стороны магнитного поля действуют поры сил. Теперь поговорим о поверхностных моментах. В некоторых моделях твердых тел можно представлять себе, что поверхностные чашпицы просто цепляются внешним телом, как некие «шестеренка«, Но может бьопь и другая природа поверхношпных моментов. Для пояснения рассмотрим следующий пример, объясняющий, что такое напряжения и моментные напряжения в газах и в средах, состоящих из вращающихся частиц.
Рассмотрич две стаи птиц, которые летят в одном направлении и в данный момент пролетают одна над другой. Птицы — одной породы, но одна стая недавно отдыхала 1пусть зто будет верхняя); она летпит с большой скоростью, Другая тпая (нижняя) еще не отдыхала и летти с меньшей скоростью. Птицы видят друг друга и„конечно, не сталкиваются, в этом смысле никакого солового взаимодействия между стаями нет, Но представим себе, что какой-то птице из быстрой стаи понравился кто-то из меоленной стаи, и она перелетела в зту стаю.
В свою очередь какой-лю птице из низкней 'тмедленной) стаи понравился к«по-то из верхней стаи, и она перелетела туда. Рис. 16.3. Две стаи птиц, летящих с разными скоростями ив Лекция 16 Что получится в результате такого обмена? Средняя скорость верхней стаи уменьшипюя, а нижней — увеличится. Если мы не различаем отдельных птиц, то можем говорить, что на границе между стаями подействовала сила, для верхней стаи в направлении назад, а для нижней — в направлении вперед.
Аналогично рассматриваются попюки газа, роль птиц играюгп молекулы, которые эа счет хаотического теплового движения перескакивают из слоя в слой, перенося свое количество движения и изменяя таким образом количество движения соответствующего слоя. В механике сплошной среды дважение отдельных молекул не рассматривают, а говорят о силе, которая действует на поверхности, разделяющей два слоя.
Таков механизм поверхноспшых сил в газах. Если птицы еще и крутятся (причем, все в одном направлении), то при перелете из стаи в стаю они приносят свой момент количества движения, изменяя суммарный момент количества движения каждой стаи. Это можно трактовать как действие неких пар — моментных напряжений ла границе раздела. В механике сплошных сред рассматриваются, в числе прочих, потоки камнеи (каменные обвалы на склонах гор), потоки гранулированных сред и т. д.
При описании таких потоков также вводятся напряжения и моменяные напряжения, вызванные перескоком отдельных глыб или зерен из слоя в слой. Конечно, чтобы ощугпилось изменение момента количества движения слоя, нужно, чтобы направления вращения часп1иц были в какой-то глпепени упорядочены. В огромном большинстве сред и попюков пгакой упорядоченности нет, поэтому моментные напряжения не возникают. 1б.З. Математическая формулировка закона сохранения момента количества движения для индивидуального объема сплошной среды Математическая формулировка закона сохранения момента количества движения для индивидуального обьема сплошной среды такова; (!б.2) где й — плотность собственного момента количества движения, Ь, ̄— плотности массовых и поверхностных пар.
Из закона сохранения момента количества движения в интегральной форме (16.2) выводятся для непрерывных движений два следствия: 1) формула Коши для М„; 2) дифференциальные уравнения момента количества движения. !6.4. Тензор моменгнык нелрягхеннй 16.4. Формула Коши для вектора моментных напряжений. Тензор моментнмх напряжений Получим с помоцгью соотношения (16.2) формулу Коши для М„, то есть формулу„выражаюшую вектор моментных напряжений М„на любой плошадке в данной точке через векторы моментных напряжений на координатных плошадках (в декартовой системе координат). Для этого, вопервых, преобразуем левую часть (16.2) в интеграл по объему, используя формулу дифференцирования по времени интеграла по индивидуальному объему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
