М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Закон Гула для анизотропной и изотропной среды 137 Здесь она и„„„— скорость жилкости на поверхности тела, е, скорость соответствующей точки тела. Условие прилипания означает выполнение следующих условий: 1) Епна паа. лата = Еп тела УСЛОВИЕ НЕПроиицасыости; 7) Етна паа тела = Гтт тела — УСЛОВИЕ ОГСУТСТВИЯ ПРОСКВЛЬЗЫВВНИЯ, Злесь е„— касательная составляющая вектора скорости.
Граничные условия на свободной поверхности пока рассматривать не будем. Обратим внимание на то, что число граничных условий для уравнений вязкой жидкости больше, чем для уравнений идеальной жидкости (см. условия (!7.8)). Это обусловлено тем, что порядок уравнений вязкой жидкости выше: уравнения Эйлера содержат только первые производные скорости по координатам, а уравнения Навье — Стокса — также и вторые производные. 19.2. Модель упругой среды Рассмотрим теперь одну из наиболее важных моделей, используемых для описания поведения твердых деформируемых сред — сред, которые могут деформироваться, при этом могут находиться в покое при наличии касательных напряжений. А именно, рассмотрим модель упругой среды.
Мы говорим, что тело упругое, если деформации, вызванные действием сил, зависят только от этих сил, и исчезают при снятии сил, так что тело при разгрузке возвращается к первоначальной форме и первоначальным размерам. Математическое определение упругой среды таково: среда называется упругой, если компоненты тензора напряжений являются функциями компонент тензора деформаций и температуры, то есть ро = 7'3(ек1, т). Здесь рц — компоненты тензора напряжений, Т вЂ” температура, вм— компоненты тензора деформаций (см.
Замечание в конце лекции). 19.3. Закон Гука длй анизотропной и изотропной среды Среда называется линейно-уПРугой, или подчиняющейся закону Гука, если при постоянной температуре компоненты тензора напряжений являются линейными функциями компонент тензора деформации. Если в качестве начального (недеформированного) состояния выбрано состояние, в котором отсутствуют напряжения, то есть РЗ = О при а1 = О, то эти линейные функции имеют вид Лекция 19 Коэффициенты Аол называютсн модулями упругости или упругими коэффициентами.
Зтн соотношения обобщают простейшую формулировку закона Гука, утверждающую, что при растяжении стержня растягивающая сила пропорциональна удлинению этого стержня, Р Ы. На самом деле закон Гука лля простого растяжения стержня может быть сформулирован более точно. Именно, ясно, что, во-первых, удлинение связано не с силой, а с отношением силы к плошади сечения: если площадь сечения увеличивается в два раза, то для того, чтобы создать то же удлинение, сила должна быть в два раза больше (см. рис.!9.2).
Во-вторых, при одной и той же растягивающей силе величина удлинения зависит от начальной длины стержня; если длина стержня в лва раза больше, то и удлинение в два раза больше. Следовательно, более точная формулировка закона Гука для простого растя- Р 1х1 Я 1о Рис. 19.2. Влияние длины и толщины стержня на величину его абсолютного удлинения при растя- жении где Р— растягиваюшая сила, а Я вЂ” плошадь поперечного сечения стержня. Так как Р/Я = р„(если ось я направлена по силе), а Ы/1о = е„ при малых деформациях, то закон Гука для простого растяжения образца можно записать в виде р" = Аол ем1 (19.2) А" ' — коэффициенты, или модули, упругости.
Для изотровиой среды коэффициенты Абтл выражаются через 2 коэффициента Л и 1т, а соотношение (19.2), то есть закон ГУка для изотропной среды при изотермическом деформировании имеет вид р" = ЛТ,(е)д" + грев; (19. 3) гле Š— коэффициент пропорциональности между напряжением и относительным удлинением при простом растяжении стержня, называемый модулем Юнга, Обобщенный закон Гука ври произвольной деформировании при постоянной температуре для анизотропной среды записывается в виде (19,1), то есть 19,3. Закон Гука дяя анизотропией и изотропной среды !39 здесь 1~(а) — первый инвариант тензора деформаций.
Коэффициенты Л и р называются модулями упругости, или упругими коэффициентами, или коэффициентами Ламе. Конечно, они, так же, как и Абы в формуле (19.2), не имеют никакого отношения к введенным ранее коэффициентам вязкости, хотя и обозначены теми же буквами. Просто исторически так сложилось, что одни и те же исследователи выводили (вернее, постулировали) обший вид связей между напряжениями и деформациями (лля упругих сред) или вязкими напряжениями и скоростями деформаций (для вязких жидкостей). Эти связи для обоих типов сред формально аналогичны, поэтому было удобно использовать одни и те же буквы для коэффициентов упругости и вязкости. Переход от соотношений (19.2) к (19.3) в случае изотропной среды проводится так же, как при выводе аналогичных соотношений для вязких напряжений в изотропной линейно-вязкой жидкости.
Разрешим закон Гука (19,3) относительно компонент тензора деформации е'т. Для этого сначала найдем из соотношений (19.3) связь между первыми инвариантамн 1)(р) =р"дц и Це) = г уц тензоров напряжений и деформаций; 1~(р) = рцуб = (Зл+ 2р)1~(е). Используя эту формулу, из (19.3) получим ат = — РЗ— 1 1(Р)у' ! 2р 2р(ЗЛ+ 2р) (19.4) Введем следующие обозначения: ! !+с' Л о 2р Е ' 2р(ЗЛ+ 2р) Е' то есть введем вместо Л и р два других коэффициента Е и оч р(зл + гр) л л+р ' 2(л+р)' Е называется модулем Юнга, о — коэффициентом Пуассона. Тогда соот- ношения (19.4) примут следующий внд: 1+т! о ат = — РУ вЂ” — 1~(р)д .
Е Е (19.5) Соотношения (19.5), так же как (19.3), представляют собой закон Гука для нзачвепией упругой среды при изотермическом деформированин. 140 Лекция 19 19.4. Механический смысл коэффициентов упругости рп Рис. 19.3. Простое растяжение стержня. Штрнхованная линия — стержень до дефоРмации Далее из (19.5) следует, что при простом растяжении вдоль оси х' кг еы = — — рн = -гге~п Е Обычно при растяжении стержень становится тоньше, то есть !51„,„ч,н < 0 (еы < 0) при Ыьрюк > 0 (еп > 0).
Это означает, что для обычных материалов о" > О. Механический смысл коэффициента Пуассона о таков: это коэффициент пропорциональности между отнОсительным сжатием в поперечном направлении и относительным удлинением в продольном направлении при простом растяжении стержня. Рассмотрим еше механический смысл коэффициента р. Пусть мы имеем простой сдвиг (см рнс. 19.4), то есть состояние, в котором в декартовой системе координат ры ф О, рн = ри, а остальные компоненты рб = О. Тогда из закона Гука в форме (19.5) получаем: !+и Ры еы = — )ги = —, ,и' то есть х' ры = 2)као.
Заметим, что в случае малых деформаций (зто обычно так при выполнении закона Гука) Рис. 19.4. Простой сдвиг. Штрнкованной линией показаны торцы стержня до деформации 1 вы = -Хи 2 Рассмотрим простое растяжение стержня (см. рис, !9.3)„то есть состояние, в котором только р|г Ф О, а остальные рб - -0 (система координат декартова, ось я направлена по оси стержня, все индексы можно писать ! внизу). В этом случае Д(р) = рп, и нз (19.5) получаем 1 ап = -рн, рп = Еан.
Е Следовательно Š— это коэффициент пропорциональности между относительным удлинением ап = Ы/1 и напряжением р = Е/Я при простом и растяжении стержня, 19.4. Механический смысл коэффициентов упругости 141 где 3!и — изменение Угла междУ волокнами, лежавшими до дефоРмации 2 вдоль осей л, л . Следовательно, коэффициент р — это коэффициент пропорциональности между сдвигаюшим напряжением и изменением угла между соответствующими волокнами при простом сдвиге. Поэтому р называют модулем сдвига.
Рассмотрим теперь всестороннее сжатие; при этом р т = -рд !. В этом случае для первого инварианта тензора напряжений верно равенство Д(р) = -зр. Найдем связь между давлением р и относительным изменением объема при всестороннем сжатии, то есть величиной х3)г,г1г. При малых деформациях Ь1г/1г = 1~(е). Из закона Гука получаем: ! +о о 1 — 2о 3(! — 2о) А(е) = Е~(р) — 3 — 1~(р) = 1~(р) = р. Е Е Е Е Следовательно, при всестороннем сжатии связь межау сжимающим давлением р и относительным изменением объема такова: 3(! — 2о) 1г Коэффициент Е К= 3(1 — 2о) называется модулем объемного сжатия.
Для несжимаемой среды К = со, гт = 0,5, так как Ь1г = 0 при р ф О. Для многих металлов о 0,25. Для каучука о = 0,47, это почти несжимаемый материал. Замечание. На самом деле, в этой лекции речь шла о сжимаемых упругих средах. К несжимаемой среде можно прикладывать любое всестороннее давление, не вызывая никаких деформаций. Поэтому лля несжимаемых упругих сред лля компонент тензора напряжений имеют место формулы р" = -ру" +у"(еи, Т).
Величина р ие ывисит от дейюрмаций и определяется я каждом процессе только внешними условиями. Лекция 20 20.1. Система уравнений линейной теории упругости при изотермических процессах 20.2. Уравнения линейной теории упругости в перемещениях — уравнения Навье †Ла 20.3. Граничные условия в задачах теории упругости 20.4. Температурные напряжения и деформации 20.1. Система уравнений линейной теории упругости при изотермических процессах Линейная теория упругости — это теория, в которой изучается пове- дение упругих тел, причем выполнены следующие два условия. !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
