М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(1) Подчеркнем, что дА и с(А — не дифференциалы работ, а работа (е) (!) на малых перемещениях точек системы. Соотношение (21.!) выражает теорему живых сил для системы материальных точек: изменение кинетической энергии системы точек равно сумме работ внешних и внутренних сил. Отметим, что сумма всех внутренних сил, конечно, равна нулю, но работа их может быть не равна нулю, если точки не связаны жестко между собой и расстояния между ними могут меняться. Получим теперь теорему живых снл для сплошной среды. Запишем дифференциальное уравнение движения для сплошной срелы (которое следует из закона сохранения количества движения) р — = Ф+ЧйФ", гИ (2!.2) -й где Р— плотность массовых сил, тТйР представляет поверхностные й !'й силы,Р =р э;, Лекцию 21 Умножим соотношение (21.2) скалярно на бе11, Получим р — ( — ( й = р(Е ° д й) + (б т7ьР' ) е11, И г'вг -ь ей г, 2 ( или р — — сИ = р(Р йг11) +~7ь(Рь ° е) Ф вЂ” (Р 17Ыт) ей.
(21.3) гЫ ~, 2 / Соотношение (21,3) представляет собой теорему живых сил для сплошной среды в дифферевпиальной форме. Такое название и физический смысл отдельных членов стануг понятными, если проинтегрировать это соотношение по некоторому объему 1г сплошной среды: )'р",( — ',")жеев = 1ее(е иекае1ее,(е' иеик — 1еее' е иаа'. Преобразуем это соотношение. Будем считать, что 1е — зто индивидуаЛЬНЫй ОбЪЕМ. ТОГда В ЛЕВОЙ ЧаетИ МЫ МОЖЕМ ВЫНЕСтн Егггге ИЗ-ПОд Зиака интеграла, основываясь на формуле дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему. Объемный интеграл во втором слагаемом в правой части преобразуем в поверхностный по формуле Гаусса— Остроградского.
Получим е1/ — реПг = / р(Р б) еПгей+ ~(Р" б)пайе1ег — ~(Р 17ьгт) йе1К 2 Как к Е и Перепишем второе слагаемое в правой части последнего соотношения, используя формулу Коши для вектора напряжений ъ Р пь = Р„ и раскроем скалярное произведение в третьем слагаемом имею в виду что -ь и- Р = р з,. Будем иметь г — рек=) р~е.цека-;/[е иеы -1 еееа еик (еке) Е В этом соотношении, очевидно, первые два члена в правой части представляют собой соответственно работу массовых сил е1Аюеее и Работу внешних поверхностных сил е1Аеае. (е) Величина р вг Екии = / ре11 / 2 21.1. Теорема жиеык сил (ураанение кинетической энеРгии) 161 представляет собой кинетическую энергию среды, связанную с макроскопической скоростью точек среды.
Наконец, по аналогии с системой материальных точек, назовем третий член в правой части соотношения (21.4) работой внутренних поверхностных сил; ИАйов = — р™таков Й НК (21. 5) Соотношение (21.4) — это теорема живых спл для индивидуального объема сплошной среды, В символическом виде эта теорема записывается так: Ы„„„= ДАв+ АА', 21.6 то есть утверждает, что изменение кинетической энергии индивидуального объема сплошной среды равно сумме работ внешних и внутренних массовых и поверхностных сил.
Замечание 1. На самом деле, )' — Р вт' — это только часть кинетической энергии среды, так как сюда не входит ки нетическая энергия хаотического движения молекул и кинетическая энергия, связанная с внутренними вращениями (если имеется собственный момент количества двикения). Замечание 2. В соотношении (21.6) правой части, работа массовых сил разбита на работу внутренних и внешних массовых сил. Откуда может возникнуть работа внутренних массовых сил? Ведь в формулировку закона сохранения количества лвижения лля конечного объема среды входят только внешние массовые силы. Но лля получения дифференциального уравнения движения мы рассматриваем бесконечно малый объем, а тогда все сильк действуюшие на этот малый объем, етом числе и действуюшие со стороны других частей среды, становятся внешними лля него и поэтому входят в дифференциальное уравнение движения.
Л после интегрирования по всему обьему среды мы уже можем разделить силы на внешние н внутренние. Таким образом получаем «(А„в„= в(А(„'„1 + в(А~„'~,. Замечание 3. Сделаем замечание по поводу работы внутренних поверхностных сил. Формалыю выражение «(Ап~„= — (т р' втве, вй А(г не похоже на работу, так как силы (напряжения) умножаются не на перемешения, а на производные перемещений. Но если вспомнить, что внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона, то становится ясным, почему работа внутренних сил сводится к произведению сил на разности перемещений соселних точек. Лекция 21 21.2.
Работа внутренних поверхностных сил Рассмотрим плотность работы внутренних поверхностных сил, то есть предел отношения работы внутренних поверхностных сил в малом объеме к массе этого объема, когда объем стягивается в точку. Эту величину называют еще работой внутренних поверхностных сил па едипиву массы. Для малого объема работа внутренних поверхностных сил согласно формуле (21.5) равна -р(" хГьи( й ИУ; масса этого объема ат = р дК Тогда работа внутренних поверхностных сил на единицу массы равна — дА„„, = — -р чье) <(!. (й ! гл Ат р (й Здесь мы ввели обозначение — АА„„для работы внутренних поверхностот ных сил на единицу массы. Эта важная величина, которая в дальнейшем будет входить во многие уравнения механики сплошных сред. Полезно (й представить — зим в других формах.
г(т Сделаем такое преобразование: разобьем (7ьв; па симметричную и антнсиьв(етрнчную части: ! чап( = -(17ьп(+ (7гвь) + -((7лэ; — т7гаь) = ем + ыы, 2 ' 2 ! где ем = -(17ьв; + '7гал) — компоненты те~вора скоростей дефорл1ации, 2 ым — компоненты тензора вихря. Следовательно — вА„„=--р 'рлв(Ф = — -р егьа! — -р ымФ. р)!м)ы!ы йт р р р Если тензор напряжений симметричен, то последний член равен нулю, так как это свертка симметричного тензора с антисимметричным. Таким образом, если тензор напряжении симметричен, р = р, то !ь ы — АА„., = — — р егл А!.
«) (а пт р В лагранжевой системе координат верно равенство ! и) 1 (ь — дАпм = --р (Ы(а. йи р (2!.7) где г(еы — дифференциал по врал~ем(г от компонент тензора деформаций. Поэтому если р = р, то в лагранжевой сопутствующей системе координат выражение для плотности работы внутренних поверхностных сил принимает вид 21.3.
Первый закон термодинамики — закон сохранения энергии 153 Теперь напишем выражение для работы внутренних поверхностных сил на единицу массы для идеальной жидкости нлн идеального газа. В идеальной жидкости р = -рд, — г(А»„= — рд ем й = -рг)ггаг((, м к ( (г) ) а д' ец = 1~(е) = Йн д — первый инвариант тензора скоростей деформаций.
Из уравнения неразрывности имеем ) др д!но = -- —. р ((' Поэтому получаем следующее выражение для плотности работы внутренних поверхностных снл в идеальной жидкости — г(Ая„= — — г(р = рН- = ргйг, р (21.8) г(т "" р' р где У = )ггр — объем единицы массы. Если жидкость или газ вязкие, то такое выражение работы (шнроко используемое в классической физике) уже не получается. 21.3. Первый закон термодинамики— закон сохранения энергии Закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом.
Для всякой системы можно ввести некоторую функнию ее состояния, называемую полной энергией Е. Изменение полной энергии системы в любом процессе может происходить только за счет притоков энергии озоне в различ- ных формах (в виде работы внешних снл, притока тепла и притока энергии в других формах). Символическая запись первого закона для малого участка процесса такова: ггЕ = вА(') + г(Я(') + г(Д"*, где Š— полная энергия системы, ггА — работа внешних снл, г(о ' (е) (») приток тепла извне, г((с** — добавочные притоки энергии (то есть притоки энергии в формах, отличных от работы сил и от притока тепла) за малое время ггг. В качестве г(Г») могут быть, например, энергия, затрачиваемая на намагничивание или поляризацию среды, работа внешних пар н другие виды притоков энергии.
Подчеркнем, что г(Š— дифференциал Е, то есть — Ж, а г»А, г((» (г) (е) гм' Й) — не лифференциалы каких-либо функций, а малые величины— притоки энергии за малое время. В формулировку первого закона термодинамики входит понятие »со- стояниее системы». Что такое состояние системы> Считаем, что существуют 154 Лекция 21 некоторые параметры, которые определяют состояние системы: если эти параметры заданы, то считаем, что задано состояние системы.
Если в системе происходит некоторый процесс, то параметры состояния в общем случае меняются со временем. Циклический процесс — это процесс в результате которого система возвращается в исходное состояние. В таком процессе сумма всех притоков энергии извне равна нулю, так как Следовательно, (2!.9) Замечание. Соатношенне (2!.9) часто принимается за основную формулировку закона сохранения энергию если система возвращается в первоначальное состояние, то суммарный приток внешней энергии к ней равен нулю — энергия це исчезает (как было бы, если бы полный приток к системе был положителен) н не возникает (как было бы, если бы полный приток к системе был отрицателен). Огсюда, в частности, следует невозможность вечного двигателя.
Нетрудно показать, что из того, что соотношение (2 !.9) должно выполняться лля любого циклического процесса, следует возможность введения энергии системы как функции ее состояния. В механике сплошных сред принято разбивать полную энергию на кинетическую и внутреннюю, последнюю обозначают буквой ЕГ: Е =Е,„„+К то есть внутренняя энергия ЕГ определяется как развосп полной и кинети- ческой энергии: г 2 У=5 — Е„„„, где Е,„„= / р — г)К ,l 2 Внутренняя энергия ЕГ включает в себя, в частности, кинетическую энергию хаотического движения молекул, а также потенциальную энергию взаимодействия молекул и, возможно, кинетическую энергию, связанную с вращением частиц внутри среды, После введения внутренней энергии закон сохранения энергии записывается в виде г)Е„„„+ Жг = ИА~') + ~Цй) + й~"*. (2!.!О) 21.4.
Закон сохранения энергии для индивидуального обьема сплошной среды Чтобы написать соотношение, выражающее закон сохранения энергии для индивидуального объема сплошной среды, надо написать выражения для всех членов уравнения (2!.!О). 2)Д. Закон сохранения энергии для индивидуального ооьема 155 Для индивидуального объема сплошной среды обычно вводится плотность внутренней энергии — внутренняя энергия единицы массы, которую будем обозначать через и, Плотность внутренней энергии — это предел отношения внутренней энергии сх(Г малой чдртицы к ее массе рАсУ при стягивании частицы в точку (Ь у' -) О): (."хс( и мс !пп д) ео рс.')У' Внутренняя энергия малой частицы с массой рсПг равна ир сПг, Внутренняя энергия У объема )г сплошной среды есть (.) = / ирсПг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
