М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Таким образом, выражение для полной энергии объема У сплошной среды таково: (2! .11) Работа внешних массовых и поверхностных сил за время й равна дА(') = / р(Ф ° б) <Лгпг+ ~(Рм б) М йт. (21,12) Работа массовых и поверхностных внешних пар тоже должна присутствовать в законе сохранения энергии, но мы не будем ее писать в явной форме, а будем ее относить к дД"".
Приток тепла извне с(ф) будем разбивать на массовый и поверхностный притоки тепла. Массовый приток — это приток тепла непосредственно к кажлой частице внутри объема среды, поверхностный — приток тепла через поверхность: (с) (е) (с) гйг = дЯ„„, + г)ф„,. Массовый приток тепла происходит, например, за счет излучения или джоулева тепла. Обозначим через д()„„, плотность массового притока тепла, то есть массовый приток тепла на единицу массы.
Тогда (с) С1(с)масс = ~ Г)кссмасср ЛГГ Поверхностный приток тепла происходит при контакте поверхности с телом другой температуры. Процесс передачи тепла через поверхность тела, происходяший за счет контакта с телом другой температуры, называется теплопроводностью. Будем в дальнейшем иногда называть поверхностный приток тепла притоком тепла за счет теплопроводности. Лекция 21 с(9йов = — / Чл с!а с(с (знак минус связан с тем, что й — внешняя нормаль).
Полный приток тепла к объему $г, дается следующим выражением: с(ЯВ~ = о~ 4((„„ср сП' — / (!в Йт й!. (21.13) Приток энергии г(Ц"* также может быть массовым и поверхностным. (вв! (**! ( ° *! л(зв = л(то ивсс + л9»ос ° Например, если на среду действуют пары сил, то работу массовых пар относим к с!Я „„а работу поверхностных пар к дьГй;,*,~, Вводя плотности массового и поверхностного притоков добавочной энергии, получим выражение для полного притока добавочной энергии к объему и', по форме аналогичное выражению для притока тепла: Щ = з~ (!д,'мр(П' — з~ д„' г!аг21, (21.14) Здесь дд*„*„, — массовый приток добавочной энергии на елиницу массы; д„— количество добавочной энергии, которое поступает за единицу времени через единицу плошади поверхности в ту стоРону, куда направлена нормаль к элементу поверхности (!а.
Собирая вместе выражения (21,11) — (21.! 4), запишем закон сохранения энергии для нндивидуальногв объема сплошной среды в виде " 1(" — ! — +и р П = ! р(~т.б) П~+ 1(р..б)(а+ к» в + — р сП' — до с!а + — р сз!' — д„*' ва. (2! .15) Обозначим через д„ количество тепла, которое проходит за единицу времени через единицу площади площадки в ту сторону, куда направлена нормаль к площадке 6. Если й — внешняя нормаль к поверхности Е объема К, то (1„— количество тепла, уходяшего из объема, а ( — дв) —, ~Рнходяшегв в объем за единицу времени через единицу площади.
Приток тепла извне к объему г' через его поверхность Е за время Ф записывается следуюшим образом: Лекция 22 22.1. Закон сохранения энергии для пространственного объема, через который движется среда 22.2, Вектор потока тепла 22.3. Дифференциальное уравнение энергии 22.4, Уравнение притока тепла (уравнение внутренней энергии) 22.5. Закон твплопроводности Фурье 22.1. Закон сохранения энергии для пространственного объема, через который движется среда Привеленная в предыдущей лекции формулировка закона сохранения энергии — первою закона термодинамики — утверждает, что изменение полной энергии индивидуального объема среды Е равно сумме притоков энергии извне в виде работы внешних сил, притока тепла и притока добавочной энергии (отличной от работы и тепла).
Математически это записывается так: "1("' — — +и рпр'= р(Г б)<Лг+ (Р„е~йт+ к„„ т Е и Е т Е Здесь Š— поверхность рассматриваемого объема. Получим из соотношения (22.1) формулировку закона сохранения энергии для пространственного объема, через который движется среда (рис. 22.1). Преобразуем левую часть соотношения (22.1) по формулс дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему: (22.2) !59 22.3.
Дифференциальное уравнение энеРгии Теперь в законе сохранения энергии все члены, кроме тех, которые солержат д„ и д„*, сугь интегралы по объему; соотношение (22,!) принимает вид Это равенство справедливо для любого объема. Применим его к объему среды в Форме малого тетраэдра. Рассуждения, аналогичные проведенным при выводе Формулы Коши для Р„, приводят к следующим формулам Коши для д„* и дн"; г и ил д„=дп;, дн =д пн Здесь и, — компоненты нормали к той площадке, через которую поступают д„и д,, а д и д *' — коэффициенты, не зависящие от ориентации этой площадки. Физический смысл д, д, д в декартовых координатах таков: 2 3 д' — количество тепла, которое проходит через плошадку, перпендикулярную оси л' за единицу времени на единицу плошали.
Аналогичный физический смысл имеют д Величина д — скаляр, не зависит от выбора системы координат, а и; — компоненты вектора. Таким образом, д' в свертке с компонентами вектора дают скаляр. Отсюда следует, что д' — компоненты вектора 2 3 д(д, д, д ). Этот вектор называется вектором потока тепла. Заметим, что д„ = д'п, = (д й) есть проекция вектора д на вектоР й. Итак, вектором потока тепла называется такой вектор д, что количество тепла, проходящее через произвольно ориентированную площадку в данной точке в единицу времени и на единицу плошали, равно его проекции на нормаль к этой плогцадке. Существование такого вектора следует из закона сохранения энергии. Аналогично определяется д*" — вектор потока добавочной энергии; д =(д 'й) Замечание. При формальных выклалках формула Коши выволится лишь для суммы д„+ д„, а не для кажлого члена отдельно.
Но так как процессы лерелачи тепла и добавочной энергии — это разные физические процессы, которые могут происходи~ь независимо лруг от друга, то естественно считать, что формулы Коши верны отдельно для д„и д„* . 22.3. дифференциальное уравнение энеРГии Выведем теперь дифференциальное уравнение энергии. После введения векторов д и д можно преобразовать все поверхностные интегралы, входящие в закон сохранения энергии, в объемные; в частности, Умайи(г'як 160 и г Объединяя все члены в законе сохранения энергии в один интеграл, получим соотношение вида / и' /в' р(Р.в) „,+л„, А б.
Так как это равенство верно лля любого объема, то подынтегральное выражение равно нулю (при условии, что подынтегральная функция непрерывна). Следовательно, В каждой точке среды при непрерывном движении должно выполняться равенство /ег р ( — +п~ = р(Р е)+Ч;(Р е)+ р — — Йхг/+ р — — дгггг *. А1[2 / ' ' а Ф (22 А) Это равенство называется дифференциальным уравнением энергии. 22.4. Уравнение притока тепла (уравнение внутренней энергии) Получим уравнение притока тепла сначала в символической форме.
Запишем первый закон термодинамики 6Е„„„+ АУ = йА~О + йс/Е + пс/** и теорему живых сил — уравнение кинетической энергии (21.6) пЕ„„„= пАа1 + пА1'1. Исключая из уравнения первого закона термодинамики пЕ„чя с помощью теоремы живых сил, получаем АА1й + йоа1 + йо** Это соотношение называется уравнением притока тепла или уравнением виугреиией энергии. Второе название чаще используется в западной литературе. Дифференциальное уравнение притока тепла получается из дифференциального уравнения энергии (22А) с использованием теоремы живых сил в дифференциальной форме, то есть ссютношения л /езх р — ( — ) =р(Р В)+%Ргч В) — РММеы Ф 2 22.6.
Закон теппопроаодностн Фурье 161 Дифференциальное уравнение притока тепла имеет внд г1!!нам . Пд„., р — = р 'Хтгга+ р — — г!!чу+ р — "' — гйчо*", (22,5) й! ' й й Часто это уравнение используется в виде соотношения для изменения внутренней энергии единицы массы за время г!!: д, = -р"'рге„й!+ Ад+ йд*'. Р (22.6) Здесь -р ' чгеь г!! = — — г!А ы ! !й р ! отп есть работа внутренних сил на единицу массы со знаком минус; ! йд = й!!ем, — — сйч д г!! Р есть приток тепла к единице массы; ! од'" = йд„*"„, — — г!!ч д"*" о! Р есть приток добавочной энергии к единице массы. В частности, приток тепла к единице массы за счет теплопроводпостп равен ! Ад,.
= — ' — о!ч д о!. Р 22.5. Закон теплопроаодности Фурье дТ то есть д, = — и —., дап ' т = — и агам Т, где и называется коэффициентом теплопроводности. Для анизотропной среды закон теплопроводиостп Фурье имеет вид 0дт Д =-К дя! * гдв и т — компоненты тензора коэффициентов теплопроводностп. Опыт показывает, что для многих сред для вектора потока тепла д выполняется закон теплопроводиости Фурье. Для изотропной среды этот закон утверждает, что вектор потока тепла о пропорционален градиенту температуры Т, и записывается в виде Лй~цмя 23 23,1.
Уравнение притока тепла при теплопроводности в покоящейся среде 23.2. Совершенный газ 23.3. Второй закон термодинамики 23А. Обратимые и необратимые процессы 23.1. Уравнение притока тепла при теплопроводности в покоящейся среде Уравнение притока тепла — это соотношение, которое выводится из первого закона термодинамики путем исключения кинетической энергии с помощью теоремы живых сил. Первый закон термодинамики имеет вид ЙЕ„„„+ ~Ш = оАН1+ сКГН1+ щ". Вычитая из этого соотношения уравнение живых сил (21.6) дЕ„„„= аАн1+ дА1'1, получаем уравнение притока тепла АгГ АА<й + <цй1 +,ц** Уравнение притока тепла в дифференциальной форме выводится из дифференциального уравнения энергии и лифференциального уравнения живых сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
