М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Оно имеет вид Аи = — — ИА1й + Ид + дд*'. (23.1) от Аи Здесь и — плотность внутренней энергии, ди = — й, й — дА® = — -рб чуе; й Йп р есть плотность работы внутренних поверхностных сил, то есть работа Внутренних поверхностных сил на единицу массы; 1 Ае = де„м, — — йч д й Р 1бЗ 23.1. Уравнение притока тепле есть приток тепла к единице массы; йд'* =Ад.*", — — 01чд" 21 Р есть приток добавочной энергии к единице массы. Выпишем дифференциальное уравнение притока тепла (23.1) при следующих условиях. 1.
Среда покоится (б= 0), 2. Добавочные притоки энергии отсутствуют (г1д* = 0). 3. Массовый приток тепла отсутствует (г(д„м, = 0), а передача тепла происходит только за счет теплопроводности, то есть ! НД = — — 01чДМ. Р 4. Для вектора потока тепла д выполнен закон теплопроводности Фурье д = — кагаг1Т. 5.
Коэффициент теплопроводности к постоянен. 1 Так как е" = О, то — рц'чт и, = О, пА10 = О. Уравнение притока тепла Р (23.1) принимает вид ац = ад. Конкретизируем выражение для ои, Обычно внутренняя энергия связана а) с кинетической энергией хаотического движения молекул и б) с потенциальной энергией взаимодействия молекул, которая зависит от расстояний между молекулами и поэтому меняется при деформировании среды. Для деформируемых твердых тел и = п(Т,еб), где Т вЂ” температура, е; — компоненты тензора деформации, Так как среда покоится, то е; = сопзц поэтому Введем обозначение дп са =— ет — ООпе Тогда в рассматриваемом случае Аи = с, ЙТ.
Из уравнения притока тепла для процесса с е; = сопз1 имеем од с, = —. 6Т 164 Лекция 23 Отношение количества полученного телом тепла к изменению его температуры Ж)угСТ называется теплоемкостью. Теплоемкость зависит от массы тела и ат вида процесса. Если, например, процесс адиабатический, то теплоемкость равна нулю. Если изотермический — то бесконечности. Видно, что с, — это удельная теплоемкость, то есть теплаемкость единицы массы в процессе с еа = сапам Рассмотрим теперь выражение для дд при условиях 3, 4.
Имеем 1 к к гСд = — — бги д гСС = — гС!т(ягаг1 Т) = — ЬТ Й. Р Р Р Здесь СхТ вЂ” оператор Лапласа от Т. В частности, в декартовых коорди- натах имеем г11т(ягагСТ) = — — + — — + — — = — + —, + = ЬТ, Таким образом, уравнение притока тепла в нашем случае имеет вид гСТ к ск — = — СЛТ. 'дС р Далее, с учетом того, что среда покоится, гСТ дт „дт дт — = — + а" — = —. Ф дС дв" дС Окончательная форма уравнения притока тепла в нашем случае такова: дТ к — = — С»Т.
дС рс, к Если — = сопзг > О, то это уравнение называется в теории уравнений рс, в частных производных «уравнением теплопроводности», Вообще, уравнением теплопроводности называется уравнение вида ду — = ЛСьу, Л = сапы > О. дС Мы видим, что процесс теплопроводности в сплошной среде описывается «уравнением теплопроводности», но талька в очень частном случае, когда выполнены условия 1-5. 23.2. Совершенный газ совершенным газом (реггесг яаз) называется газ, для которого выполнены два соотношения: 1) р = ССРТ вЂ” уравнение Клапейрона, 1ЕБ 23.2.
Совершенный гав 2) и = суТ+ сопз1 где и плотность внутренней энергии, ск — некоторая константа, Я = Яе/пз — постоянная для данного газа, Яв — универсальная газовая постоянная, пз — молекулярный вес газа. Замечание 1. В классической физике газ, удовлетворяя>щий соотношениям 1) и 2), называют идеальным, а в механике сплошных сред — совершенным. Эго связано с тем, что термин «идеальный газ» в механике сплошных сред уже занят: «идеальный газ» означает «невязкий газ». Будем считать, что газ не только совершенный, но и идеальный.
Тогда уравнение притока тепла имеет вид г)и = — г)р+ «)д, р рз (23.2) потому что плотность работы внутренних поверхностных сил в любом / р идеальном газе или идеальной жидкости равна ( — — г)р (см, лекцию 21, рз формулу (21.8)). Замечание 2. Вообще совершенный газ можетбыть как идеальным, твк и вязким. Зто зависит от того, учитываем мы вязкие напряжения, или нег. Если используется модель идеального газа, то уравнение (23.2) верно лля любых проиессов. Если же используется молель вязкого газа, то оно выполняется только для мелленных процессов, когда работой вязких напряжений можно пренебречь.
Это будет предполаиться в дальнейших выкладках. Рассмотрим физический смысл константы ск. Для совершенного газа рассмотрим процесс, в котором р = сопз1, то есть объем )г каждой частицы — постоянен (например, помещаем газ в банку с закрытой крышкой и нагреваем), Тогда из уравнения (23.2) получаем г)д г)и =г)д, «)и = суЮТ, сг = —. г«Т р = ЯрТ = соп51, Тг(р = — рйТ, г)р = — — ЙТ, — г(р = -Яг2Т.
р т ' р Уравнение притока тепла (23.2) принимает вид су г(Т = — Я г(Т + г)1). Значит, в процессе с р = сопз1 Следовательно, ск — это удельная теплоемкость в процессе с «г = сопз1. Рассмотрим теперь процесс в совершенном идеальном газе, когда р = сопзг (например, газ в сосуде с подвижной крышкой; при нагревании крышка поднимается так, чтобы в сосуде поддерживалось постоянное давление). Проведем преобразование уравнения притока тепла (23.2) для этого процесса. Имеем 1ЕЕ Лекция 23 Обозначая удельную теплоемкость при р = сопв1 через ср, получаем, что ср — — сг+В, то есть Тк = ср — си Это формула Майера. Рассмотрим теперь адиабатический процесс, то есть процесс с йв = О. Тогда ди = — ор, р р2 или, так как то НТ сг ДТ = — г1р.
р Отсюда В 1п Т = — 1и р + 1п Сн сг то есть Здесь введено обозначение 7= сг сг Итак, в адиабатическом процессе в идеальном совершенном газе Т С т! С использованием уравнения Клапейрона Р Т= —, Вр ато соотношение можно переписать в виде р= Срт (23.3) рде С = С~ В = сопв1. Соотношение (23,3) называют адвабатой Пуассона; у — показатель адиабаты. 23.3. Второй закон термодинамики 23.3. Второй закон термодинамики Существуют различные формулировки второго закона термодинамики. Приведем здесь три формулировки, эквивалентные в том смысле, что из каждой из них можно вывести остальные.
Первые две формулировки можно назвать физическими, третью — математической. Формулировка 1. Тепло само собой не переходит от холодного тела к горячему. Более точно это утверждение звучит так. Невозможно устройство, которое работает циклически, причем резуль- татом цикла является только передача тепла от холодного тела к более горячему без затраты внешней энергии. Формулировка 2. Невозможно устройство, которое работает по циклу и производит работу только за счет тепла, полученного от одного тела с фиксированной температурой. Невозможен вечный двигатель 2-га рода.
В лекции 27 мы увидим, как из любой из этих формулировок можно вывести следующую математическую формулировку, Формулировка 3, содержащая понятие энтропии 1) Для каждой термодинамической системы можно ввести некоторую функцию ее состояния Я, называемую энтропией. Энтропия может меняться как за счет притока энтропии извне, так и за счет внутренних процессов.
Для малого элемента процесса ть$ = д,Я+ д,Я, причем И;Я > О. Здесь даЯ вЂ” приток энтропии извне, а д;Я вЂ” производство энтропии внутри системы, 2) д,Я = О„ если процессы, происходящие в системе, обратимы; д;Я > О, если процессы необратимы. 3) Приток энтропии д,Я связан только с притоком тепла или притоком массы к системе.
4) Если для всей системы определена температура, она одна и та же во всех точках системы, и нет притока массы в систему, то о,Я= —, й~ Т ' (23.4) Устройство, о котором идет речь в формулировке 2, называют вечным двигателем второю рода. Поэтому утверждение этой формулировки кратко можно выразить так. ?168 Лекция 23 где Т вЂ” абсолютная температура. Если к тому же процесс обратим, то й~ г?В = о',Я = —, Т' Тогда, обозначая через Вг энтропию в состоянии А, можно вычислить энтропию ЯВ в состоянии В по формуле !' Щ ВВ = ВА+ 1 Т' где интеграл берется по любому обратимому процессу.
Именно эта математическая формулировка 3 используется при постановке и решении задач механики сплошных сред. Формулировка 3 содержит термины «обратимый процесс» и «необратимый процесс», которые должны быть определены. 23.4. Обратимые и необратимые процессы Дадим определение обратимого процесса, Процесс называется обрати:Мым, если выполнены следующие условия: !. Система может пройти этот процесс в обратном направлении, проходя в обратном порядке через те же состояния, что в прямом процессе. 2. При этом все притоки энергии на всех участках процесса и ко всем частям системы в прямом и обратном процессах отличаются только знаком.
Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, то процесс необратим. Процесс теплопроводности — необратим, процесс с трением — необратим. Однако мы можем иногда пренебрегать трением и теплопроводностью и рассматривать идеализированные обратимые процессы. Рассмотрим следующий пример. Пусть имеется система, состоящая издвух частей В| и Вы имеющих разныетемпературы Тм Тм Т1 > Тм Если мы приведем части В| и Вз в соприкосновение, то начнется процесс теплопроводности, часть В1 будет охлажлаться, а часть Вз нагреваться и с течением времени температуры обеих частей станут одинаковыми.
Почему этот процесс необратим? Можно ли провести процесс изменения температур обеих частей в обратную сторону, так, чтобы часть В~ нагревалась, а часть Вз охлаждалась до тех пор, пока их температуры не станут опять равными Т,, Тз? Конечно, можно: надо их разделить и поставить часть В| на печку, а часть Вз в холодильник. Таким образом, первое условие обратимости выполнено. Однако второе условие не выполнено: в прямом процессе система В~ + Вз не обменивается теплом с внешними телами, г291и — 0 169 23.4.
Обратимые и яеобратиагые дргааи;сы а в обратном — обменивается, Заметим, что суммарное количество тепла, отданное и полученное внешними телами в обратном процессе, как и в прямом, равно нулю, сколько тепла отдала печка, столько же тепла получил холодильник. Это следует из закона сохранения энергии, так как в результате последовательности прямого и обратного процесса система возвращается в первоначальное состояние. Но во втором условии обратимости подчеркивается, что для того, чтобы процесс был обратимым, притоки энергии извне в прямом и обратном процессах должны быть одинаковыми по величине и иметь противоположные знаки на всех участках процесса и для всех частей системы, что в данном случае не выполнено. Лекция 24 24П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
