М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если же Ке > Ке„„„„ то течение является сушественно более сложным, турбулентным, скорости частиц пульсируют во времени и просграистве, формулы (18.3), (18А) в случае турбулентного течения между двумя пластинами неверны. Замечательно, однако, что и турбулентные течения рассчитываются на основе соотношений (18,2). 18.2. Модель линейно-вязкой (ныотоновокой)жидкооти Жидкость, как было сказано выше, называется линейно-вязкой или ньютоновской, если для нее соотношения между тц и еы линейны, то есть (18.5) гле Ац — константы или функции температуры; А т ' называются кобы ггы эффициентами вязкости.
В общем случае анизотропной вязкой жидкости коэффициентов вязкости 81. Но если тензор тц симметричен (а тензор скоростей деформаций всегда симметричен), то из 81 коэффициента сушественно различных не более Зб, так как фактически соотношения (18.5) связывают в этом случае шесть независимых компонент т~ с шестью независимыми компонентами еи. Если линейно-вязкая жидкость изотропна, то все А ' выражаются цы через 2 коэффициента вязкости. Покажем это.
Изотропность среды означает, что ее свойства по любому направлению одинаковы. Если же среда Лекция 18 анизотропна, то есть в ней имеются какие-то выделенные направления, то эти направления задаются какими-то векторами или тензорами. Сейчас мы рассматриваем изотропную жидкость. Составим свертку (инвариантную по отношению к преобразованию координат): б Вы т ей=А емег. Если нет никаких векторов и тензоров, характеризующих анизотропию среды, то квадратичная форма компонент тензора скоростей деформаций А; знемеб должна выражаться через квадратичные инварианты только этого тензора, то есть г"е, = А„меме" = ЛХ~(е) + 27г1з(е), (18.6) где 1~(е) = еуд'~, 1з(е) = е; еб — первый и второй инварианты тензора скоростей деформаций, а Л,7з — скалярные коэффициенты (третий инвариант Хз не входит, так как он кубический).
Соотношение (18.б) можно переписать в виде; т~ е;, = ЛХ~е;,д" + 2ре; еч = (Л1, у у + 2ре") еб, Приравнивая коэффициенты при е;, получим обобщенный закон трения Ньютона для линейно-вязкой изотропной жидкости: тп = ЛХ~(е)до + 2деб; (!8.7) Л и (з называются коэффициентами вязкости. Соотношения (18.7), связывающие компоненты тензора вязких напряжений и тензора скоростей деформаций в изотропной линейно-вязкой жидкости, называют также законом Навье — Стокса.
Введем понятия коэффициентов объемной и сдвиговой вязкости. Вспомним, что 1~(е) = е;,уу = г1!ту есть скорость относительного изменения объема. Представим тензор скоростей деформаций в виде суммы шарового тензора и девиатора с компонентами еб!а1: сц = — 1,(е)уц ! е~! !.
(18.8) 3 Замечательное свойство девиатора, как известно, состоит в том, что его первый инвариант равен нулю: 1,(е!"1) = О. Поэтому соотношение (18.8) соответствует разбиению деформации на деформацию, связанную с изменением объема (описывается первым слагаемым — шаровым тензором) и деформацию, происходящую без изменения объема (описывается девиатором тензора скоростей деформаций). Деформация, происходящая без изменения объема, называется сдвигом, 18.3. О давлении в вязкой хгидкооти 133 Связи между компонентами тензоров вязких напряжений и скоростей деформаций для изотропной вязкой жидкости (или газа) можно переписать в виде тц = Л1~(е)ум + — 11(е)дц ч-2рец1 1 = Л+ -ц 1,(е)до +2рец1з1, 3 31' Коэффициент р называется коэффициентом сдвиговой вязкости, а 2 1=Л+-р 3 — коэффициентом объемной вязкости (или вторым коэффициентом вязкости).
Для р употребляется также название динамический коэффициент вязкости. Вводится также гг и=— Р— кинематический коэффициент вязкости. 18.3. О давлении в вязкой жидкости Итак, для вязкой жидкости рб = — ру У+тгз, где тц =т У(ем,Т), а р— давление. Давление характеризует часть напряжений, которая не зависит явно ат скорости, в частности, не обращается в нуль в состоянии покоя. Заметим, что сила на единицу площади, действующая по нормали к площадке, в движущейся вязкой жидкости в общем случае не одинакова на разных площадках в одной и той же точке и не равна давлению; например, в изотропной линейно-вязкой жидкости нормальное напряжение равно де, Р„= — р+ ЛД1уд+,и— на площалке, перпендикулярной оси х, и дог Р„„= — Р + Л г11т 6 + /4 дд на площадке, перпендикулярной оси д декартовой системы координат.
Покажем, что в несжимаемой линейно-вязкой изотропной жидкости 1 ц Р=--А(р), А(Р) =Рздб 3 Действительно, в силу несжимаемостн 1~(е) = Фт д = О, рц = -рдб Ч- 2регз, 1~(р) = рцдб = — 3р+ 2Р11(е) = — 3р. В частности, в декартовой системе координат в несжимаемой линейно- вязкой жидкости выполнено равенство Рхх + Ргг + Ргк р= 134 Лекция 18 18.4. Уравнения движения вязкой жидкости— уравнения Навье — Стокса Уравнения движения линейно-вязких жидкостей или газов называются уравнениями Навье — Стокса. Они получаются из универсальных уравнений движения дег р — = рх'+ 17 р'х, Ф (18. 9) если в них подставить выражения для р ~: РВ = — Рдб+ т'~, тб = Л б!т Ву" + 2!хе" (18.10) и использовать выражения компонент тензора скоростей деформаций че- рез производные компонент скорости: 1 е;, = -Яе, + 171е;).
2 (! 8.11) ввх дрхх дРхт дРхх р =ррх+ + + М ' дх ду дх (18.12) Выражения для р„, рхю р„, согласно соотношениям (! 8.!О), (18.! 1), та копы: де, р„= — Р+ Л йт е + 21х —, дх Рху — р д 'д р- — и д, +дх Будем считать, что Л, 1х — константы. Вообще Л, 1х зависят от температу- ры, но если температура меняется в рассматриваемом движении несильно, то можно считать Л, р константами. Тогда дрхх дрхк дРхх др д . д™х — + — + — = — — + Л вЂ” б!т д -> 2р — ' + дх др дх дх дх дх' / д'е.
дзе дзв дзе + 1х( — -1- + — + (, ду' дхдр ддз дхдх ) др д, д /дьх дц де,'! = — — + Л вЂ” г!!тв+ 1х — ( — + + — ) +,иЬех, дх дх дх (, дх др дх ) Тогда в уравнениях движения член хрб может быть представлен через производные давления и вторые производные компонент скорости. Полученные уравнения и будут уравнениями Навье — Стокса. Выведем уравнения Навье — Стокса, пользуясь декартовой системой координат х, у, х. Рассмотрим уравнение движения (18.9) при х = 1, то есть соответствующее координате х: 18.5.
Оиатеагднгвеиеиий несжимаемой линейно-аЯВЯЙЯЕВИОСгн 186 где дзв дгв дгв дв' дрз дх' — оператор Лапласа от е,. Итак, мы преобразовали уравнение (18.12) к видУ г1е, др д Р— = Ре", — — + (Л + Р) — г1!х и + Р~в* е! * дл дк Это и есть уравнения Навье — Стокса в проекции на ось х, Аналогичные уравнения получим в проекциях на оси р и х. Уравнения Навье — Стокса в векторном виде в сручае, когда коэффициенты вязкости — константы, записываются так: дй 1 Л+Р, Р— = Ф вЂ” -йгаг1р+ йгаг! (г1!ге) -!. — г'гй. д! р Р Р 18.6.
Полная система уравнений несжимаемой линейно-вязкой жндкости Полная система механических уравнений дпя несжимаемой линейно- вязкой жидкости с постоянными коэффициентами вязкости состоит из уравнения неразрывности, условия несжимаемости и уравнений Навье— Стокса: г11гй= О, 4' дР др — = — +в — =О, Ф д! дхх (18.13) Й7 /' — = е — — йгаг1р+ игзй, и = д! р Зта система содержит пять уравнений для пяти исвомгпх Функций Р Р и, е, и . Заметим, что второе из этих соотношений нетривиально, если 2 3 жидкость неоднородна. Тогда плотность, хотя и пОстоянна в частицах, но разная в разных частицах; при движении частиц Получается, что плотность в разных точках пространства не одинакова, нс постоянна и заранее не известна.
Если несжимаемая жидкость однородна, то плотность р не только постоянна в каждой индивидуальной частице, но и одинакова во всех точках среды. В несжимаемой однородной жидкости соотношение вР/Ж =- О выполняется тождественно. Оставшиеся четыре уравнения системы (18.13) составляют полную систему для определения четырех искомых Функций р,в,р,е, Замечание. Если коэффициенты вязкости зависят ат температуры, то система механических уравнений не замкнута, так как температуре является дополнительной неизвестной.
Тогда должны быль привлечены еше уравнения термодинамики, Лекция 19 19.1, Граничные условия на поверхности твердого тела в вязкой жидкости 19.2. Модель упругой среды 19,3. Закон Гука для анизотропной и изотропной среды 19.4. Механический смысл коэффициентов упругости 19.1. Граничные условия на поверхности твердого тела в вязкой жидкости Для нахождения решений дифференциальных уравнений, описывающих движение жидкости или газа в ограниченной области, на границах области должны быть заданы так называемые граничные условия. Границы области, занятой жидкостью или газом, можно разделить на следуюшие два типа (рис. 19.1). 1, Твердая граница — поверхность твердого тела.
Предполагается, что ее положение и движение заданы. Такими границами являются поверхности тел, движущихся в жидкости или газе, стенки трубы, заполненной жидкостью или газом, дно водоема. 2. Свободная граница. Положение и движение этой границы заранее неизвестны, должны быть найдены в процессе решения задачи. Пример свободной границы — поверхность моря, при наличии волн она заранее неизвестна. Условие на твердой границе в вязкой жидкости называется условием врвлипання. Оно утверждает, что скорость жидкости на поверхности тела равна скорости точек тела, и записывается так; Е!на лов. тела Етллл. тлйв. 19.1. Дно моря и поверхность лодки — твердые границы; поверхность моря — свободная граница 19.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
