М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 20
Текст из файла (страница 20)
125 17.5. Идеальные жидкости и газы Замечание. Проекция вектора напряжений на нормаль к плошалке, на которой он действует, обозначена через -р, а не через р, лля того, побы давление было, как правило, положительным: нормаль й по условию направлена во внешнюю сторону по отношению к жилкости, на которую действует сила; если р„„< О, то поверхностная сила лавит на жидкость, а если рвв > О, то поверхностная сила растягивает жидкость. Газы не выдерживают растягиваюших напряжений; в капельных жидкостях они иногла наблюлаются при специальных условиях. Но обычно р„„< О, то есть р > О. Итак, из закона сохранения количества движения следует, что на любой площадке в данной точке покоящейся жидкости ~или газа) давление одно и то же. Это удивительное свойство жидкости: мы, например, давим вниз, и при этом получается точно такое же давление, действуюшее вбок и в любом другом направлении.
В твердых телах это не так: если мы давим на кирпич, лежащий на столе, сверху, то на свободные боковые грани никакого давления не возникает. 17.5. Идеальные жидкости и газы При движении в жидкости, вообще говоря, возникают касательные напряжения. Онн называются вязкими напряжениями. Иногда касательными напряжениями можно пренебречь, если они малы по сравнению с силами, вызванными давлением. Тогда используется модель идеальной жидкости.
Жидкость нлн газ иазывавггся идеальными, если в них не только в состоянии покоя, но н при движении отсутствуют касательные напряжения, то есть и при движении Р„'О' й. Тогда с помощью формулы Коши для Р„доказывается, что Рп = Рая Я = — р гт. Как выглядит матрица компонент тензора напряжений в любой жидкости в покое, а в идеальной жидкости — и в движении? В декартовой системе координат имеем -р о о (рг,) = О -р О, то есть ро = — рдб, ΠΠ— р Если матрица компонент тензора в декартовой системе координат имеет такой вид, то тензор называется шаровым. Переходя к произвольной системе координат, получим вид компонент тензора напряжений в идеальной жидкости и идеальном газе: 126 Лекция 17 17.6. Дифференциальные уравнения движения идеальных жидкостей или газов — уравнения Эйлера Выведем дифференциальные уравнения движения идеальных жидкостей или газов — уравнения Эйлера.
Напишем уравнения движения, выполняющиеся для любой среды: а Р— = Ф" + 17 Р '. 61 (17.5) Учтем, что в идеальной жидкости Р = Рд Так как д' относительно оператора хгь ведут себя как константы, то Хгяр = — д 57ьр и уравнения (17.5) принимают вид и Р— =РР— д 'уьр. 6! (! 7.6) Эти уравнения называются уравнениями Эйлера. Так как др х!кр = — ь — зто ковариантные компоненты вектора ага6Р, а — контравариантные компоненты яга6 Р, то уравнения Эйлера в векторном виде записываются так Й7 р — = РФ вЂ” яга6Р. 6! (! 7.7) Уравнение Эйлера в проекции, например, на ось х декартовой системы координат в раскрытом виде выглядит так: г'де, де, де, де,~ др Р~ — +ох +ег +ег / =Р~х — —.
~,д! *дх "ду 'дх,/ ' дх' Уравнения Эйлера в общем случае содержат 5 неизвестных: Р, е„ег, е„р. Действительно, в декарто~юй системе координат (в которой дб = е'~) зто верно, а если компоненты двух тензоров равны в одной системе координат, то они равны и в любой системе координат. 17,В. Система механических уравнений лля баротропных процессов 1а7 17.7. Полная система механических уравнений для несжимаемых идеальных жидкостей Для несжимаемой жидкости верно равенство др — =О, й так как плотность каждой частицы постоянна.
Полная система уравнений для однородной несжимаемой жидкости аключает и себя: 1) уравнение неразрывности дно = О; до 2) уравнения Эйлера р — = рР— дгад р. й Таким образом, имеем полную систему, состояшую из четырех уравнений для четырех неизвестных функций он р. Для несжимаемой неоднородной жидкости, а которой плотность разная в разных частицах, будем иметь систему уже из пяти уравнений с пятью неизвестными: Й7 д1юо = О, р — = рФ вЂ” ягадр, й др Ор Ор — =О, тоесть — +о; —. =О. й д1 дя' Неизвестными функциями здесь являются о;(г, я ), р(К я ), р(К х ).
17.8. Полная система механических уравнений для баротропных процессов в сжимаемых идеальных жидкостях и газах Для сжимаемых жидкостей и газов уравнение неразрывности и уравнения Эйлера др дев +д1тро=О, р — =роа — йгадр ог ' й не составляют полную систему, так как содержат 5 неизвестных, а ураанений 4.
Сушествуют процессы, а которых плотность зависит только от лааления, р = р(р). Такие процессы называются баротропными. Например, если для газа температура во всех точках рассматриваемого объема и ао все моменты времени одинакова, Т = Тю, то из уравнения Клапейрона следует р = ВрТгн р = —, то есть р = р(Р1 р ЛТю * лекция 17 Для баротропных процессов полная система уравнений выглядит так: др, „бе — + 61о рауси О, р — = рФ вЂ” 8габр, р = р(р), д1 ' Ж Здесь р = р(р) — жданная функция.
Эта система содержит 5 уравнений для пяти неизвестных функций ег(а,е~), р(а,х~), р(а, х ). т г.Э. '11заничное условие непроницаемости на поверхности твердого тела, находящегося в идеальной жидкости Для нахождения решения дифференциальных уравнений необходимы так называемые начальные и граничные условия. Если часть границы области, занятой жидкостью или газом, представляет собой поверхность твердого тела (например, поверхность подводной лодки, движушейся под водой, или опоры моста, или самолета в воздухе), то естественным граничным условием является условие, что жидкость или газ не проникают сквозь эту поверхность.
Для этого необходимо, чтобы скорости жидкости и соответствуюшей точки тела вдоль нормали к поверхности тела были одинаковы, то есть в точках поверхности тела выполнялось равенство: Еп1на поаеранссти тела — Ен тела. (17.8) Здесь е„, — это нормальная составляюшая скорости точки поверхности тела. Граничное условие (17.8) называется условием непроницаемости. На самом деле оно означает, что жидкость не только не проникает внутрь тела, но и не отрывается от его поверхности.
Если тело неподвижно, то условие непроницаемости имеет вид М на поверхности тела О. Лекция 18 18.1. Вязкие жидкости и газы. Определение 18.2. Модель линейно-вязкой (ньютоновской)жидкости 18.3. О давлении в вязкой жидкости 18А. Уравнения движения вязкой жидкости — уравнения Навье †Сток 18,5. Полная система уравнений несжимаемой линейно-вязкой жидкости 18.1. Вязкие жидкости и газы. Определение Жидкость или газ называются вязкими, есви в них прп движении возможны касательные напряженна; компоненты тензора напряжений в вязкой жидкости представляются в виде ро = — рдм + то, те = тс(ем, Т), (18.
1) где р — давление, ем — компоненты тензора скоростей деформаций, Т вЂ” температура. Величины т ~ называются компонентами тензора вязких напряжений. Если жидкость покоится, то тб = О. Жидкость или газ называются линейно-вязкимн плп ньютоновскими, если компоненты тензора вязких напряжений ту являются линейными функциями компонент тензора скоростей деформаций ем, т" = Аемеьг. (18.2) Соотношения (18.2) являются обобщением соотношения между касательным напряжением и компонентой тензора скоростей деформаций, полученного экспериментально в опыте, который в литературе называется опытом Ньютона. Опыт состоит в следующем: имеется течение вязкой жидкости в слое между двумя параллельными пластинами, одна из которых движется с постоянной скоростью вщ а другая неподвижна (рис, 18.1). Движение жидкости происходит за счет увлечения ее лвижущейся пластиной и скорости всех частиц жидкости параллельны скорости пластины.
Расстояние между пластинами равно Ь, Было обнаружено, что сила т на единицу площади пластины, с которой надо ее тянуть, чтобы поддерживать ее равномерное движение, пропорциональна скорости ьв и обратно пропорциональна расстоянию Ь: т = р —. Ь' (18.3) 130 Рис. 18.1. Опыт Ньютона. Распределение скорости поперек потока Здесь р — коэффициент„называемый коэффициентом вязкости. Соотношение (18.3) называют законом вязкого трения Ньютона, а жидкости, для которых оно выполнено — ньютоновскими. Кроме того, было обнаружено, что скорость жидкости на неподвижной пластине равна нулю, на движущейся — равна оо, и распределена по толщине слоя по линейному закону.
Если направить ось х параллельно скорости движущейся пластины, ось у — перпендикулярно пластинам (рис. 18. 1), то для скорости жидкости справедливы соотношения: о,= — у, е„=.О, о,=О. !! (!8.4) Заметим, что сила, с которой жидкость действует на единицу плошади верхней пластины, равна (-т): пластина движется с постоянной скоростью, следовательно, сумма силы, с которой мы тянем пластину, и силы сопротивления жидкости равна нулю.
Следовательно, сила, с которой пластина действует на жидкость (на единицу площади), равна т. На языке тензоров т = ркю так как р,о есть проекция на ось х вектора напряжений на площадке, перпендикулярной оси у. Вычисляя компоненты тензора скоростей деформаций, покажем, что оо — = 2екк. й Действительно, ! /до* доо'! 1 со 21 ду дх) 2Ь' Поэтому закон трения Ньютона (!8.3) на языке тензоров записывается в виде: р,„= 2ре,о, или, с учетом определения вязких напряжений, в виде т,„= 2ре,„.
Обобщая эту линейную зависимость, можно предположить, что в случае произвольного движения вязкой жидкости верны соотношения (18.2), то есть 18,2. Модель линейно-вязкой (ньютоновской) жидкости 131 Коэффициенты А' этой линейной связи называются коэффициентами гдг вязкости. Они являются компонентами тензора (четвертого ранга), так как в свертке с компонентами тензора они дают тоже компоненты тензора («теорема деления» из тензорного исчисления).
Для некоторых вязких жидкостей зависимости компонент тензора вязких напряжений от компонент тензора скоростей деформаций являются нелинейными, Такие жидкости называются нелинейно-вязкими или иеиьютоиовскими. Замечание об «опытв Ньютона«, Соотношения (!8.2) для воды, воздуха, нефти и других жилкостей и газов в стандартных условиях подтвержлаются тем, что решения основанных иа этих соотношениях уравнений хорошо описывают реальные течения. Но что касается течения межлу двумя параллельными пластинами, то законы (18,3), (18А) лаже для ньютоновских жидкостей действительно описывают опытные факты только если скорость верхней пластины не слишком велика, а расстояние между пластинами мало, а именно, если следуюшая комбинация параметров, ог>означаемая Ке, Рв«гг Ке = —, й и называемая числом Рейнольдса, ие превышает некоторого критического значения Ке„„„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
