М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Кроме того, преобразуем в объемный интеграл второй член в правой части соотношения (!6.2): (и х Ре ! г2гг = / (1"' х Р )пх 1ггг = / гав [и х Р ~ в!И в Е Тогда закон сохранения момента количества движения для объема $' сплошной среды в случае непрерывного движения принимает вил ~( р — ((г хе)+й) — р!г х Р1 — 'Цг" х Р'1 — рй Л'= М„йт. г!! Это соотношение верно для любого объема. Применяя его к малому объему в виде тетраэдра так, как это делалось при выводе формулы Коши для Р„, получим формулу Коши для М,: М„= М'п1+ М пг+ М пз. (!6.3) 1 2 3 Здесь М, М, М вЂ” некоторые векторы, которые в декартовой системе координат суть векторы моментных напряжений, действуюшие на пло- 1 2 1 шадках, перпендикулярных осям а, а, а соответственно; п1, пг, пг— компоненты вектора нормали Я к той плошадке, на которой действует М„.
Формула Коши для компонент вектора Ме имеет вид Ме™ пь (!6,4) 14 2 3, где М вЂ” компоненты векторов М, М, М; М'=-~мц,М21,М31~, М2=~М12,М22М321, М3=1М",Мг-',М333. Запишем матрицу, по столбцам которой стоят компоненты векторов М, йэг !(23. с М11 М12 М11 М21 4422 М23 М31 32 33/ Из формулы (!6.4) и теоремы деления из теории тензоров следует, что элементы этой матрицы представляют собой компоненты тензора, который называется тензором моментных напряжений. Лекция 1б :»20 Итак, тензором »юмеитпых напряжений называется тензор с компоиентамн М', которые определяются формулой (16.4), где М„' — компоненты вектора моментных напряжений на плошддке с нормалью й, а па — компоненты вектора 6.
Замечание. Так же, как йюрмула Коши для Р„, формула (16.3) вышздится по способу Коши в декартовой сисшме координат; однако она верна и в криволинейной -» системе, но тогда М не равны векторам напряжений на координатных плошалках, а определяются формулами М» = М[»э[, где М'» — компоненты тензора момептных напряжений. 16.6. Дифференциальное уравнение момента количества движения Получим теперь дифференциальные уравнения момента количества движения. С использованием соотношения (1б.З) и формулы Гаусса — Остроградского получаем М„йт = ~ М и» [([г = з~ з7»М йт. Е Е и Тогда закон сохранения момента количества движения (1б.2) принимает вид р — [[ага~»[-»[[Г Ф[-:-»[-т [[С Ф!-:-М[)»»=». )'( Ф Так как это верно для любого объема, то для гладких движений, когда подынтегральное выражение непрерывно, оно должно равняться нулю. Получаем дифференциальное уравнение момента количества движения: Р— ([г х Н) + й) = Р(г х Р[+ ~7»(» х Р~1+ РЬ+ з7»М».
([6,5) Ж » Замечание. Выражение »7»М обозначает вектор (акснальпый) с компонентами ~7 Мм 1Г»М» = 1Г М[»э, -» (см. замечание по поводу выражении [[»Р в конце лекции 15). Лекция 17 17.1. Дифференциальное уравнение собственного момента количества движения 17.2. Симметрия тензора напряжений как следствие закона сохранения момента количества движения при некоторых условиях 17.3. Что такое математическая модель среды или явления? 17.4. Жидкости и газы в механике сплошных сред.
Давление 17.5, Идеальные жидкости и газы 17,6. Дифференциальные уравнения движения идеальных жидкостей или газов — уравнения Эйлера 17,7, Полная система механических уравнений для несжимаемых идеальных жидкостей 17.8. Полная система механических уравнений для баротропных процессов в сжимаемых идеальных жидкостях и газах 17.9, Граничное условие непроницаемости на поверхности твердого тела, находящегося в идеальной жидкости 17.1.
Дифференциальное уравнение собственного момента количества движения Дифференциальное уравнение момента количества движения, которое следует из закона сохранения момента количества движения р — ([г хе]+к) =р[г х гп[+ ьгв[г х Р"]+рЬ+ хьМ~; (17,1) й можно упростить, используя уравнение движения гЬ р — =р~+Ч Р . г(1 А именно, умножим уравнение движения векторно на г и вычтем результат из уравнения (17.!), При этом учтем, что Г „! й71 г( „~г1г „! д гх — ~ = — [гхе! — ~ — хе~ = — [гхе], 11~ И [а ~ а Лехция 17 122 потому что Ыг/й = в, [е х е[ = О. В результате получим р — = [(сг~г) Рь[+ ргз+ у лть. й Учитывая соотношения (17.2) 17.2. Симметрия тензора напряжений как следствие закона сохранения момента количества движения при некоторых условиях Рассмотрим «классический случай», когда Б=О, Ма=о, то есть собственный момент количества движения отсутствует и нет массовых и поверхностных пар.
Такая ситуация типична, если нет электромагнитных взаимодействий или частиц, вращающихся упорядоченным образом, или если такие частицы есть, но они вращаются медленно, так что их собственным моментом можно пренебречь, Именно так обстоит дело прн моделировании, например, потоков запыленных газов или течения крови в кровеносных сосудах; частички пыли или содержащиеся в крови эритроциты вращаются за счет неравномерности скорости основного потока, и это вращение учитывается при расчете сил, действующих на частички, но собственным моментом количества движения частичек пренебрегают. В задачах о движении сред, не содержащих большого количества твердых частиц, например, воды, нефти, воздуха, о деформациях и напряжениях ь в металлах и многих других материалах 7г = О, В = О и М = О.
Уравнение собственного момента количества движения в этом случае принимает внд [эххР [=О, или,таккакР =р э;, [эххэ[р =О, (17.4) В этой формуле по индексам 7г и 1 подразумевается суммирование. В раскрытом виде уравнение (17.4) имеет вид [э х эз[(р" — р")+ [э х э [(р" — р")+ [э х%Нр" — р") = О. дг тхг= ь =эх дяь перепишем уравнение (17.2) в виде р — = [эь Рь[+ рЬ + згь1гу». й (17.3) Это уравнение называют уравнением собственного момента количества движения.
Его можно использовать вместо уравнения (! 7.1). 123 17.4. Жидкости и газы а механике сплошнык сред Векторные произведения векторов базиса независимы, поэтому из равенства нулю такой суммы следует равенство нулю всех коэффициентов. Итак, в классическом случае закон сохранения момента количества движения сводится к утверждению, что теизор напряжений симметричен: м ы Заметим, что существуют модели сред, в которых тензор напряжений считается симметричным, несмотря на то, что есть массовые и поверхностные моменты. Тогда в уравнениях собственного момента количества ь движения пропадает член [ук х Р ), а остальные члены остаются. 17.3. Что такое математическая модель среды или явления? В следующей части курса мы рассмотрим некоторые математические модели сплошных сред.
Что такое математическая модель среды или процесса? Это система уравнений и необходимых дополнительных условий, решая которые мы можем рассчитать интересуюшие нас характеристики процесса. Чтобы построить математическую модель необходимо: 1) выделить количественные характеристики среды нли явления, которые существенны для данной задачи; 2) написать полную систему уравнений, из которых можно вычислить интересующие характеристики;- 3) для каждого конкретного явления (конкретной задачи) необходимо указать граничные и начальные условия. Например, если нужно рассчитать сопротивление воздуха при движении автомобиля, то необходимо ставить граничные условия на поверхности автомобиля.
В курсе «Основы механики сплошных сред» мы будем рассматривать только простейшие модели сред: модели жидкостей и газов, а также упругих сред. Простейшими мы их называем в том смысле, что пока будут рассматриваться только механические процессы. В общем случае для получения замкнутой системы уравнений одних уравнений механики недостаточно. Необходимо добавлять уравнения термодинамики. В некоторых случаях механические процессы можно описать, не привлекая в явном виде уравнений термодинамики.
17.4. Жидкости и газы в механике сплошных сред. Давление Жидкости и газы в механике сплошных сред описываются уравнениями одного и того же вида, поэтому в дальнейшем мы часто будем словом жидкости называть как истинные (капельные) жидкости, так и газы. 124 Лекция 27 Жидкостью или газом называются среды, в которых в состоянии покоя отсугствуизт касательные напряжения на любых площадках, то есть на любой площадке в состоянии покоя Р„)! В. В твердых телах это не так: тяжелый кирпич может лежать на наклонной плоскости, удерживаемый силой трения.
Жидкий «кирпич» лежать на наклонной плоскости не может, жидкость будет течь, Заметим, что существуют среды, жидкие на вид, которые не являются жидкостшни в смысле данного выше определения. Пример: жидкая масляков краска, нанесенная на вертикальную стенку; если нанести толстый слой краски, то касательное напряжение на стенке, которое должно уравновешивать силу тялсести, будет большим и краска потечет, но если слой тонкий, то краска течь не будет. Таким образом, «жидкая масляная краска может находиться в покое при наличии малых касательных напряжений и поэтому не является зкидкостью с точки зрения механики сплошных сред. Покажем, что из ЗСК3(, а именно из формулы Коши для вектора напряжений Р„=Р Вы вызюдится, что в жидкостях и газах в состоянии покоя величина вектора Р„ иа всех площадках в данной точке одинакова. Проведем выкладки, исполь- 1 зуя декартову систему координат.
Для компонент вектора напряжений Р (это вектор напряжений на площадке, которая перпендикулярна оси к ) ! имеем у~ н- н 31- г =р э~+р эг+р зз =р эн ! так как рг~, р — это касательные компоненты вектора Р, которые по определению жидкости равны нулю, Аналогично -г ю- -з зз- Р =р эг, Р =р эз, Р„=р„,п (здесь р„„— проекция вектора Р„на нормаль В). Поэтому формула Коши принимает вид -ь н- 22 3ЗР» = Р В» = р э|из +р эгпг+р эзпз.
Кроме того I 2 Р„=Р„„В =33»»(В э, +В 32+ В эз). Подставляя это выражение в формулу Коши, получим следующее соотношение, верное для любых В': Р»»(В Э!+В 32+В ЗЗ) =Р З|В +Р Згп +Р 33В Отсюда Н 22 33 р„=р =р =р = — р и Р„= — рп, где (-р) — обозначение проекции вектора напряжений на нормаль к площадке, на которой он действует. Эта проекция оказалась одинаковой дяя всех площадок в данной точке. Величина р называется давлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
