М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Кроме того, предполагается, что Г(1, х ) н р определены ц днфференцируемы в у. Согласно формуле (!3.!) из лекции !3, имеем — / ГРАУ =/ дУ+ ГРвийт. г г а(гр) А( / / ае Лекция 15 15.1. Формула Коши для вектора напряжений 15.2. Тензор напряжений 15.3. ДиФференциальные уравнения движения 15.1.
Формула Коши для вектора напряжений Закон сохранения количества движения для индивидуального объема сплошной среды имеет вид — дре1' = Ррг1$'+ Р, г1гг. (15.1) Из этого закона выводится важное следствие, касающееся вектора напряжений Є— так называемая формула Коши. Закон сохранения количества движения с использованием формулы дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему для непрерывною движения может быть записан в виде / — р Л' = / Рр й1г + / Р„йгг, то есть (15.2) Е причем это соотношение верно для любого объема.
Отсюда и выводится формула Коши для Р„. Прежде всего, заметим, что вектор напряжений Р, можно и нужно вводить не только для площадок внешней поверхности рассматриваемого объема сплошной среды, но и для площадок, ко~орые можно провести в каждой точке внутри среды. Действительно, через каждую точку внутри объема И можно мысленно провести поверхность, разделяющую обьем среды на две части. При этом ясно, что одна часть среды может действовать на другую по разделяющей их поверхности (см.
рис. 15.1). Через рассматриваемую точку можно Лекция 15 провести бесконечное множество поверхностей и, соответственно, бесконечно много малых площадок; положение малой площадки определяется вектором нормали к ней. Векторы напряжений на площадках с разными нормалями будут, конечно, разными, см. рис. !5.2, где изображены векторы напряжений на разных площадках, проходящих через центр тяжелого кирпича, лежащего на горизонтальном столе.
Набор Р„, действующих на всевозможных площадках в данной точке, определяет напряженное состояние в данной точке. Рис. 15.1. Вектор налрюкеннй во внутренней точке объема М на площадке с нормалью й Рис. 15.2. Вектор напряжений на различных площадках внутри тяжелого кирпича обусловлен действием незаштриховвнной части кирпича на заштрихованную Следуя Коши, получим из закона сохранения количества движения, что векторы Р„, действующие на всевозможных площадках в данной точке, вычисляются через три вектора напряжений, действующих на трех взаимно-перпендикулярных площадках.
А именно, пусть надо вычислить Р„в точке М на площадке с заданной нормалью и. Проведем в точке М оси декартовой системы координат х, к, х и построим тетраэдр с вер! у 3 шиной в точке М, три грани которого лежат в координатных плоскостях, а четвертая перпендикулярна и (рпс.
!5.3). Векторы базиса системы в' обозначим е;, угол между й и осью и — через йт', высоту тетраэдра, опущенную пз точки М иа грань АВС, — через Ь. Объем тетраэара равен Ьт5о/3, где т.'ка — площадь грани АВС. Выпишем следующие величины, относящиеся к рассматриваемому тетраэдру: 15.1. а кошггфв'вектора напряжений 109 Рис. 15.3. Твтраз2ао Коши ° грань АВС: ее площадь гзп; вектор внешней нормали к ней й; вектор напряжений Р„; ° грань МВС: ее площадь гзп сов йв~; вектор внешней нормали к ней ( — е~); вектор напряжений Р „; 2, ° грань МАВ: ее плошадь 2хп соз п в; вектор внешней нормали к ней ( — е2); вектор напряжений Р „; ° грань МАС: ее площааыго созйв; вектор внешней нормали к ней ( — ез); вектор напряжений Р „, Используя теорему о среднем, можно записать закон сохранения количества движения (15.2) для этого тетраэдра в следующем виде = Р„йп+Р „Ьпсозав +Р „2ьпсозйз +Р „Ьпсозйх'.
Разделим полученное равенство на 2зп и перейдем к пределу при л — > О. Получим, что в точке М выполняется равенство: Рв + Ф вЂ” и сов п и + Р-ег сов н и + Р-в, сов н жз = О. (15.3) В частности, при й -+ е~ получаем Р„= -Р „. Но так как направление оси в может быть выбрано произвольно, то это означает, что для 1 любого направления а Введем обозначения: Лекция 1б Тогда равенство (15,3) записывается в виде Р„= Р' созйт +Р созйе +Р' созйе, — г — з или, так как сов и е, сов и е, сов и е — это компоненты нормали й, то есть сов гз е' = п;, то Р„= Р'п|+ Р пг+ Р'ли (15.4) Равенство 115.4) будем называть формулой Коши. Это не общепринятое название, но оно оправдывается тем, что Коши впервые (в 1822 голу), и именно описанным выше способом, получил эту формулу.
Согласно формуле Коши, вектор напряжений Р„, действующий на площадке с нормалью б, выражается как линейная комбинация векторов напряжений г., действующих на координатных площадках декартовой иа системы координат; па — компоненты вектора и. Формула Коши в краткой записи имеет вид Р„=Р па, 15.2. Тензор напряжений Определим сначала компоненты тензора напряжений, пользуясь декартовой системой координат. Введем в декартовой системе координат "г -з проекции векторов Р, Р, Р на координатные оси, т.е. компоненты этих векторов: Рг г и и зг) Обратим внимание на порядок индексов в обозначениях компонент; второй индекс указывает на площадку, на которой действует соответствующий вектор, а первый — проекцией на какую ось является данная компонента.
Запишем матрицу, столбцы которой составлены из компонент вектоз г 3 ров г', Р, Р соответственно: Определение 1. Тензором напряжений называется тензор, столбцы матрицы компонент которого в декартовой системе координат представляют собой компоненты векторов напряжений на координатных площадках. Формула Коши для компонент Р~ вектора Р„имеет вид 3 га Р,=р па. 115.5) 16.2. Танзер напряжений Рис.!6.6. Вектор Р действует на площадке, перпендикулярной оси х г Рис. 16.4. з' перпендикулярен координатной площадке х х г Из этой формулы следует, что р действительно представляют собой комгь поненты тензора второго ранга, так как они в свертке с компонентами вектора пя дают компоненты вектора Р„' !«Теорема деления» из теории тензоров), Мы вывели формулу (!5.5), пользуясь декартовой системой коорди- нат. Но если при переходе к любой, в том числе и криволинейной системе м величины р будут преобразовываться как компоненты тензора второго ранга, то формула (155) будет верна в любой системе координат.
Поэтому можно дать следующее определение тензора напряжений. Определение 2. Тензором напряжений называется тензор с компонентами р', для которого выполняются соотношения (!5.5) в любой системе координат, причем Р,' — компоненты вектора напряжений на площадке, компоненты нормали к которой суть пх -я Заметим, что в криволинейной системе координат Р не равны век- торам напряжений на координатных площадках. Действительно, вычис- лим по формуле Коши, например, вектор Р„на координатной площад- ке х х . Вектор единичной нормали к этой площадке можно записать ! г в виде и = э /х/дгг (см.
рис. !5.4). Действительно, известно, что контравариантные и ковариантные век- торы базиса удовлетворяют соотношениям (э' э ) = бгг. Это значит, в частности, что вектор э перпендикулярен векторам эг и эг, то есть ко- ординатной площадке 1х, х ), Кроме того, (эт' ( = х/дзг. Значит, для этой площадки й = э /х/дгз, то есть пг =' О, пг = О, пг = !/х/дзз. Поэтому Р !!/ / Гз)Рз Сформулируем еше раз, каков механический смысл компонент тензог3, ра напряжений в декартовой системе координат. Например, что такое р '? В декартовой системе координат р ' — это проекция вектора напряже- гз 112 Лекция 15 ний, действующего на площадке, перпендикулярной оси и, на ось и .
3 2 (рис. !5.5). Если декартовы координаты обозначены и, у, а, то компоненты тензора напряжений обозначаются так: < Ркк Р~у Р*г~! Руу Руу Руу ~ Ргэ Рху Рхк причем, конечно, индексы здесь можно писать как снизу, так и сверху, в декартовых системах координат положение индексов несущественно. В книгах по теории упругости компоненты тензора напряжений часто обозначают не р;, а о; .
Матрица компонент тензора напряжений в декартовой системе координат в этих обозначениях записывается в виде гг„ггку а„х~ ггуэ оуу 'гу*) . охх ггку ггхт Замечание к выводу формулы Коши. Мм получили формулу Р„= Р пь только из условия, что равенство / ~р — — рР) а у" = / Р„йт верно для любого обьема. При этом физический смысл подыитегральиых выра- жений пе был существен. Ясно, что если мы имеем общее равенство вида / А Ир = / Вк Ао, где „— некоторая функция коорлипат и нормали, то, если оно верно лля любого тг, применяя его к объему в ниле малого тетраэлра, получим формулу Коши для В,: В„= В пь Мы будем пользовюъся этим утаержаением при выводе следствий иэ других законов сохранения. 16.3.
Дифференциальные уравнения движения ДиФФеренциальные уравнения движения — это дифференциальные уравнения, которые следуют нз закона сохранения количества движения. Для непрерывного движения закон сохранения количества движения (!5.2) Лекция 1б 16.1, Закон сохранения момента количества движения 16.2.
Момент количества движения для конечного обьема сплошной среды. Массовые и поверхностные пары. Вектор моментных напряжений 16.3. Математическая формулировка закона сохранения момента количества движения для индивидуального обьема сплошной среды 16.4. Формула Коши для вектора моментных напряжений. Тензор моментных напряжений 16.5. Дифференциальное уравнение момента количества движения 16.1.
Закон сохранения момента количества движения й г11 — (птв) = Р. и умножим его векторва слева на радиус-вектор г, Получим с дт61 г- х — ~ = [г х Р], а) или г1 — [г х тб] = [г х Р]. о1 Здесь использовано, что (16.1) — [г" х гпа] = — х тб + г х— причем ! (1г — х тб = [6 х тб] = О.
Ф Величина [г х гпб] называется моментом количества движения (моментом импульса) материальной точки, «г х лп] — момент силы. Сформулируем сначала закон сохранения момента количества движения для материальной точки массы гп. Возьмем уравнение движения 115 !6.2. моменты внешних сил и лад Равенство (!б.!) означает, что скорость изменения момента количества двюкения материальной точки равна моменту силы, действующей на эту точку, Это и есть закон сохранения момента количества движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
