М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред (1119125), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Связи между ео и ро линейны. Это свойство называется физической линейностью, 2. Деформации, относительные повороты, перемещения, скорости и их производные малы, Это свойство приводит к геометрической линейности. При выполнении этих условий система уравнений лля определения деформациИ и напряжений в упругой среде получается линейной, если в каждом уравнении пренебречь малыми порядка выше первого.
Рассмот- рим эту систему подробнее, Система уравнений теории упругости при Т = сопз1 состоит из сле- дующих уравнений: !) уравнение неразрывности, 2) уравнения движения, 3) закон Гука, 4) выражения е, через производные компонент вектора перемещения или уравнения совместности деформаций. Уравнение неразрывности в случае малых деформаций выглядит так: (20.!) р = ре(! — 4 Се)) где рш р — плотности одной и той же частицы до и после деформации.
20.1. Уравнения теории упругости при изатермияескик процессов теяй Уравнения движения для любой среды имеют вид и Р— =Рг +У»Р . ог В линейной теории упругости уравнения движения упрощаются. А именно, во-первых, используется то, что в этих уравнениях неизвестную плотность р можно заменить на известную начальную плотность Р» при сохранении малых не выше 1-го порядка: т(6 162 т~»1 й~' Р— = Рв — — Рв/~(е) — Ров 21» й сЫ гй ' 2(6' так как Р»1~(е) — — малаЯ втоРого поРЯдка (1~(е) и 2(6 /Ф малы). Ф Во-вторых, выражение для т(6~/Ф можно упростить, используя малость перемещений, скоростей и их производных: ~62 061 0»т — = — + 6" 17к»' г(1 И И' от»' дт»' „; 062' 6' = — = — + 6 С7К62' яв Ф д( 01 ' то есть с точностью до малых высшего порядка (62 П2 1 тй 072 ' Здесь т»' — компоненты вектора перемещения.
Итак, уравнения движения в линейной теории упругости выглядят так: а 2 Рв = Рвр + т»кР д(2 (20.2) Добавим к этим уравнениям закон Гука Р» = Л1~(е)01к+2Р»ы, (20,3) и Н02РажениЯ еге чеРез ~712»к. 1 Етк = -(Х72»К+'~анй). 2 (20.4) Получаем !6 уравнений: 1 уравнение неразрывности, 3 уравнения движения, 6 соотношений закона Гука и 6 соотношений (20.4). Неизвестных функций тоже 16; Р, г»1, ееы р' .
Значит, система уравнений (20.1)- (20.4) — полная (число уравнений равно числу неизвестных). Итак, система ураанепнй линейной теории упругости состоит нз уравнений (20. 1) — (20.4). 144 Лекция 20 Замечание 1. Уравнение (20.1) отделяется от основной системы, так как р ие вхо- дит а уравнения (20.2)-(20.4). Замечание 2. Вмесю уравнений (20.4) можно использовать уравнения соамест- насти (уравиения Сен-Всиаиа): (20.5) ЧгЧугм + ЧьЧ~кц — ЧьЧ,кп — Ч~Чукм = О. 20.2. Уравнения линейной теории упругости в перемещениях — уравнения Навив-Ламе Уравнения линейной теории упругости в перемещениях называются уравнениями Навье — Ламе.
Они получаются так: а) в уравнениях движения (20.2) выразим р'ь с помошью закона Гука через ем', б) подставим ем через Чгиь из соотношений (20.4). Тогда Чар' будут выражены через вторые производные компонент вектора перемешений ю1. Итак, имеем: 1 ем = -Явь+ Чавд. 2 рм = Л71(е)да+ 2рем, (20.б) Нужно вычислить Чьрм, Вместо того, чтобы проделывать вычисления, воспользуемся формальной аналогией с вязкой жидкостью. В линейно-вязкой жидкости выполняютсяя соотношения: (20.7) рм = — рдм+тм, тм =Лб|уедга+2ре», ! 6Ъо = 7~(е), еп, = -(Ч;еа+ Чье;), 2 где е;ь — компоненты тензора скоростей деформаций.
Для вязкой жид- кости было получено (см. лекцию 18): Чатгь = (Л + р)дбЧу Жч д+,идее'. Сравнивая соотношения (20.6) и (20.7), видим, что Чарна в теории упругости по форме будут совпадать с Чат в линейно-вязкой жидкости м при замене скорости о на перемешение гд. Поэтому уравнения Навье— Ламе должны быть формально аналогичны уравнениям Навье — Стокса, за исключением того, что а) в уравнениях Навье — Стокса присутствует член, связанный с давлением, а в уравнениях упругой среды такого члена нет, и б) ускорение в уравнениях теории упругости представлено в упро- шенном линеаризированном виде. Итак, уравнения Навье — Ламе выглядят так: Ог г Рс — = реР + (Л+ 1ь)де Чу 61у гд+ 7аЬе', (20.8) 20.3, Граничные условия в задачах теории упругости 145 или, в векторной форме: дзвт Ро ~, = РеР+ (Л+ Р) агат! (гЛУ цт) + РЬш. (20.9) Для вычисления перемещений в упругом теле можно вместо системы пятнадцати уравнений (20.2)-(20.4) использовать три уравнения Навье— Ламе (20.3).
20.3. 1'раничные условия в задачах теории упругости Задачи теории упругости состоят в определении напряжений и деформаций в телах. Поскольку для этого используются лифференциальные уравнения, то, как всегда, в каждой конкретной задаче должны быть заданы граничные условия на границе, то есть на поверхности тела. Граничные условия в задачах теории упругости бывают трех основных типов.
1. Граничные условия первого рода: задан вектор пт на всей поверхности тела Е: тс!г = У(в !) У вЂ” заданная функция. 2. Граничные условия второго рода: на поверхности тела заданы силы, точнее, распределение сил, то есть задан вектор напряжений Р„как функция времени и координат точек поверхности; Ря~Г, = р(х',1) 1в — заданная функция. (20.!О) Компоненты вектора Р„выражаются через компоненты тензора напряжений рть по формуле Коши: Р„'= р' пь. Поэтому условие (20.10) в компонентах имеет вид: р' пь(в = р'(в', 1), 1о' — заданные функции.
(20.11) Условия (20.1 !) можно переписать как условия на тв, если использовать закон Гука и выражения вб через гаы 3. Граничные условия третьего рода, встречающиеся наиболее часто: на одной части поверхности тела (на Е ) задан вектор пт, а на другой части (на Ер) — Р„, Е = Ер + Е,„. Эти условия записываются так Р.!к, = Ф, Ъ. = У В разных задачах могут быть и другие условия. Например, если упругий металлический брусок стоит на гладкой абсолютно жесткой неподвижной плоской подставке, то при любых действующих силах перемещение точек нижнего основания бруска по нормали к подставке равно нулю (если брусок не отрывается от подставки), а по касательной перемещение 14б Лекция ко происходит без сопротивления, то есть граничные условия на нижней по- верхности бруска записываются в виде: тлк) =о = О, Ркк)к=о = О Ргк)к=о = О, если система координат декартова, ось л перпендикулярна подставке, уравнение подставки л = О.
20.4. Температурные напрйжений и деформации Рассмотрим стержень, на который не действуют никакие силы. При нагревании он меняет свою длину Пусть То — начальная температура, а Т вЂ” температура в рассматриваемом состоянии. Величина удлинения образца при нагревании пропорциональна изменению температуры: Ы вЂ” = а(Х вЂ” То), где а — коэффициент линейного тепловою расширения. Если ось х ! направлена по оси образца, а относительное удлинение мало, то И вЂ” = ан.
Таким 'образом, при отсутствии снл величина а1~ в стержне не равна нулю: си —— а(Т вЂ” То) Рассмотрим теперь тело произвольной формы. Если материал изотропен, то при нагревании в отсутствие сил все отрезки удлиняются одинаково, поэтому изменения углов межлу ними не происходит. Поэтому при изменении температуры Т в отсутствие сил для компонент тензора деформаций выполняется равенство а; = а(Т вЂ” То)бб, если система коорлинат декартова, и аб = а(Т вЂ” 7о)ЯО, если система координат произвольная. Деформации, которые вызваны только изменением температуры в условиях, когда на частицы среды не действуют силы, называются температурными деформациями.
Если действуют силы и температура меняется, то деформации равны сумме деформаций, вызванных напряжениями, и деформаций, вызванных изменением температуры, то есть !+и ~т О = — РΠ— рА(Р)рг + а(Т вЂ” ТоМ (20.12) 20.4. Температурные налраагениа и деформации 147 Соотношения (20.12) называют обобщенным законом Гука прн переменной температуре, или соотношениями Дюамеля — Неймана. Из (20.12) видно, что если еб — — О, то есть тело заключено в жесткую оболочку, но Т меняется, то возникают отличные от нуля напряжения, которые вычисляются через (Т вЂ” Те).
Такие напряжения называются температурными напряжениями. Температурные напряжения могут быть очень большими и приводить к разрушению конструкиий, В частности, чтобы избежать температурных напряжений, железнодорожные рельсы укладывают, оставляя между ними зазор, дающий рельсам возможность свободно удлиняться и укорачиваться при изменении температуры. Эта лекция, а также следующие лекции 22-27 посвящены термодинамике сплошных сред.
Лекция 21 21.1. Теорема живых сил (уравнение кинетической энергии) 21.2. Работа внутренних поверхностных сил 21.3. Первый закон термодинамики — закон сохранения энергии 21.4. Закон сохранения энергии для индивидуального обьвма сплошной среды 21.1. Теорема живых сил (уравнение кинетической энергии) Теоремой живых сил называют соотношение, определяющее изменение кинетической энергии системы. Название теоремы связано с тем, что в старые времена кинетическую энергию называли живой силой.
Этот термин был введен Лейбницем в конце 17 века. Получим сначала теорему живых сил для системы Ф материальных точек. Запишем закон сохранения количества движения (закон Ньютона) для Ф-той точки с массой ть.' ьба -(е) (() п)ь — = Р +Р— к Мы разделили силы, действующие на й-тую точку, на две группы: Рь "(() внутренняя сила, то есть сила, действующая на Й-тую точку со стороны других точек этой же системы, ль — внешняя сила, то есть сила, дейи(О ствуюшая на зту точку со стороны объектов, не принадлежащих системе.
Чтобы получить теорему живых сил, умножим уравнение движения скалярно на перемещение точки за время Ф, то есть на бь Ф: ,(;„— "')а=(г," ьа),-(Л" ьа). Далее, бл.— 21.1. Теорема жнвык сна (уравненне кинетической энергнн) 149 Это равенство легко обосновать, раскрывая скалярное произведение в декартовой системе координат следующим образом (для краткости индекс )г опускаем): Таким образом, из закона сохранения количества движения выводится соотношение „й„г А — й = (Рй ) ей с(1) + (Рй(') ей !(1), 2 то есть изменение кинетической энергии точки за время Й равняется сумме работ внешних и внутренних сил. Если мы просуммируем такие равенства для всех точек системы, то получим Ф г(( ~; — '") = ~ (Ф," ей А() + ~ (Ф„" е, А(), й=! й=! й=! ил)а, в символической форме г(Е„„„= АА(') + !(А(', (21.1) гда г Фй окин = 7 Гнй 2 й=! — кинетическая энергия системы материальных точек, дА — работа (е) внешних сил, а !(А — работа внутренних сил над всеми точками системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
